第四講空間直線、平面垂直的判定與性質知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點一直線與平面垂直1．直線與平面垂直(1)定義：若直線l與平面α內的________一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．任意(2)判定與性質

判定定理性質定理文字語言如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直(線線垂直?線面垂直)垂直于同一平面的兩直線平行圖形語言l⊥al⊥ba∩b＝Pa∥b過一點垂直于已知平面的直線________________.過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，________________叫做這個點到該平面的距離．一條直線與一個平面平行時，這條直線上_________________________，叫做這條直線到這個平面的距離．如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．有且只有一條垂線段的長度任意一點到這個平面的距離2．直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的________，叫做這條斜線和這個平面所成的角．若直線與平面平行或直線在平面內，直線與平面所成角為______，若直線與平面垂直，直線與平面所成角為_______.銳角0知識點二平面與平面垂直1．二面角的有關概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的______________所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內分別作與棱________的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角θ的范圍：θ∈[0，π]．兩個半平面垂直2．平面與平面垂直(1)定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是____________，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定與性質

判定定理性質定理文字語言如果一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直．(線面垂直?面面垂直)兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.(面面垂直?線面垂直)直二面角α⊥βa⊥ba⊥β歸

納

拓

展1．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．2．若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法)．3．垂直于同一條直線的兩個平面平行．4．一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．雙

基

自

測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)直線l與平面α內的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.()(2)垂直于同一個平面的兩平面平行．()(3)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.()(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.()(5)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．()(6)若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數(shù)條直線，則α⊥β.()××√×√×題組二走進教材2．(必修2P164T15)(2022·廣州中學教學研究會調研)如圖1，正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，D是EF的中點，如圖2，沿SE、SF、EF將正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3重合，重合后的點記為G，則在四面體S－EGF中()A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEFA[解析]

由題意知SG⊥GF，SG⊥GE，GF∩GE＝G.∴SG⊥平面GEF，故選A.3．(必修2P152例4)(2022·河南許昌質檢)在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M，N分別為AB，BC的中點，則直線MN與平面DCA1所成角的大小為()A[解析]

連接AC、AD1，設AD1∩A1D＝H，連HC，易知AH⊥平面A1DC，MN∥AC，∴∠HCA即為MN與平面DCA1所成的角，題組三走向高考4．(2022·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則()A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1DA[解析]

正方體中DD1⊥EF，又AC⊥BD，EF∥AC，∴BD⊥EF，∴EF⊥平面BDD1，EF?平面B1EF，從而平面B1EF⊥平面BDD1，∴A正確；若平面B1EF⊥平面A1BD，則BD⊥平面B1EF，∴BD⊥B1E，又BB1⊥BD，∴BD⊥平面BB1E，又AD⊥平面BB1E，∴AD∥BD這與AD、BD相交矛盾，∴B錯誤；取A1B1的中點H，則AH∥B1E，由于AH與平面A1AC相交，故平面B1EF∥平面A1AC不成立，C錯誤；取AD的中點M，很明顯四邊形A1B1FM為平行四邊形，則A1M∥B1F，由于A1M與平面A1C1D相交，故平面B1EF∥平面A1C1D不成立，D錯誤．故選A.5.(2023·新課標全國Ⅱ卷)如圖，三棱錐A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC的中點．(1)證明：BC⊥DA；[解析]

(1)證明：連接AE，DE，因為E為BC的中點，DB＝DC，所以DE⊥BC①，因為DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，所以△ACD與△ABD均為等邊三角形，∴AC＝AB，從而AE⊥BC②，由①②，AE∩DE＝E，AE，DE?平面ADE，所以BC⊥平面ADE，而AD?平面ADE，所以BC⊥DA.∴AE2＋DE2＝4＝AD2，∴AE⊥DE，又∵AE⊥BC，DE∩BC＝E，DE，BC?平面BCD，∴AE⊥平面BCD.以點E為原點，ED，EB，EA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：設平面DAB與平面ABF的一個法向量分別為n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，考點突破·互動探究空間垂直關系的基本問題——自主練透1.(2024·江蘇部分四星級高中調研)設m，n，l是三條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，在下列命題中，真命題為()A．若m⊥n，n⊥l，則m⊥lB．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γC．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥βD．若m∥n，m∥α，則n∥αC[解析]

若m⊥n，n⊥l，則m∥l或m，l相交或m，l異面，所以A錯誤；若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ或α，γ相交，所以B錯誤；若m⊥α，m∥n，則n⊥α，又n∥β，則α⊥β，所以C正確；若m∥n，m∥α，則n?α或n∥α，所以D錯誤．故選C.2．(多選題)(2022·湖南名校聯(lián)考)對于不同直線m，n和不同平面α，β，有如下四個命題，其中正確的是()A．若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥βB．若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥βC．若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥βD．若m⊥α，m⊥n，則n∥αBC[解析]

選項A，若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α與β可能相交可能平行，故A不正確；選項B，若m⊥α，m∥n，則n⊥α，又n?β，所以α⊥β，故B正確；選項C，若n⊥α，n⊥β，則α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故C正確；選項D，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故D不正確．故選BC.名師點撥：解決這類線、面位置關系判定的問題一般是利用正方體模型或畫圖分析解決，其實最好的辦法是筆當線，紙、手掌當面動態(tài)演示．【變式訓練】1．(多選題)(2022·江蘇泰州調研)已知直線l與平面α相交于點P，則()A．α內不存在直線與l平行B．α內有無數(shù)條直線與l垂直C．α內所有直線與l是異面直線D．至少存在一個過l且與α垂直的平面[解析]

α內的直線與l相交或異面，A對，C錯；直線l與它在平面α內的射影m所確定的平面β與平面α垂直，D對；平面α內與射影m垂直的直線也與l垂直，顯然這樣的直線有無數(shù)條，B對．故選ABD.ABD2．(2024·河南名校聯(lián)考)已知m，n，l是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，m⊥l，m⊥α，n⊥l，n⊥β，則下列命題錯誤的是()A．若m⊥n，則α⊥βB．若m∥n，則α∥βC．若m∥β，則α∥βD．若m⊥β，則n⊥α[解析]

若m∥β，則m⊥n，所以α⊥β，C錯誤．C直線與平面垂直的判定與性質——多維探究角度1線、面垂直的判定[解析]

解法一：取AD的中點O，連接SO，OE，OF.因為四邊形ABCD是矩形，O，E分別是AD，BC的中點，所以EO綉AB，所以EO⊥AD.因為△SAD是等邊三角形，所以SO⊥AD.因為SO∩OE＝O，所以AD⊥平面SOE.因為SE?平面SOE，所以AD⊥SE.因為SA＝2AB，所以△SOE是等腰三角形．因為F是SE的中點，所以OF⊥SE.因為OF∩AD＝O，所以SE⊥平面ADF.如圖，連接AE，DE，因為E為BC的中點，所以AE＝DE＝2.所以SD＝DE，SA＝AE.又F為SE的中點，所以DF⊥SE，AF⊥SE.因為DF∩AF＝F，所以SE⊥平面ADF.解法三：由解法一易得AD，OE，SO兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系O－xyz，角度2線、面垂直的性質(2023·廣東潮州模擬(節(jié)選))如圖，在斜三棱柱BCE－ADF中，側面ABCD⊥側面ABEF，AB＝AD＝AF＝2，∠ADC＝∠AFE＝60°，M為CD上的中點．證明：EM⊥BF.[解析]

連接AE，AM，由AB＝AD＝AF＝2，∠ADC＝∠AFE＝60°，可知四邊形ABCD，ABEF均為含60°的菱形，故AE⊥BF當M為CD的中點時，則AM⊥AB，又側面ABCD⊥側面ABEF，AB＝側面ABCD∩側面ABEF，故AM⊥平面ABEF，從而AM⊥BF，AE∩AM＝A，所以BF⊥平面AEM，又EM?平面AEM，故EM⊥BF.角度3直線與平面所成的角(2022·江蘇無錫高三期末)正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，則直線B1M與平面A1C1B所成角的正弦值為()D[解析]

解法一：連接B1D1交A1C1于H，連接BD，DB1，DB1∩BH＝O，BH∩B1M＝N，易證B1D⊥平面A1C1B.∴∠B1NO即為B1M與平面A1C1B所成的角，且B1O⊥ON.設正方體棱長為1，名師點撥：1．證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊圖形中的垂直關系．如：直徑所對圓周角是直角；菱形對角線互相垂直；等腰三角形底邊上的中線、頂角平分線垂直底邊．等等．(2)若知某些線段長度，常利用勾股定理的逆定理．(3)利用直線與平面垂直的性質．(4)向量法：a⊥b?a·b＝0.2．證明線面垂直的常用方法(1)線面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.(2)面面垂直的性質定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.(3)性質：①a∥b，b⊥α?a⊥α；②α∥β，a⊥β?a⊥α.3．求直線與平面所成角的方法(1)定義法：①作，在直線上選取恰當?shù)狞c向平面引垂線，確定垂足的位置是關鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角；③求，通過解三角形，求角．【變式訓練】證明：PA⊥平面PBC.則∠APB＝90°，所以PA⊥PB，同理PA⊥PC，又PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC.證法二：因為△ABC是底面圓O的內接正三角形，且AE為底面直徑，所以AE⊥BC.因為DO(即PO)垂直于底面，BC在底面內，所以PO⊥BC.又因為PO?平面PAE，AE?平面PAE，PO∩AE＝O，所以BC⊥平面PAE.又因為PA?平面PAE，所以PA⊥BC.設AE∩BC＝F，則F為BC的中點，連接PF.因此PA2＋PF2＝AF2，從而PA⊥PF.又因為PF∩BC＝F，所以PA⊥平面PBC.證法三：空間直角坐標系法所以AP⊥BP，AP⊥CP.又BP∩CP＝P，故AP⊥平面PBC.(1)證明：BD⊥PA；(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．[解析]

(1)證明：在四邊形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因為CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，因為PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，又因PA?平面PAD，所以BD⊥PA.(2)解法一：連接PE，又PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AB.∴AB⊥平面PDE，∴平面PAB⊥平面PDE.∴∠DPE為PD與平面PAB所成的角．解法二：如圖，以點D為原點建立空間直角坐標系，設平面PAB的法向量n＝(x，y，z)，兩個平面垂直的判定與性質——師生共研證明：平面PAD⊥平面ABCD.[證明]

證法一：取AB的中點F，連接BD，DF.在四邊形ABCD中，BC⊥CD，AB∥CD，故四邊形ABCD為直角梯形，又AB＝2BC＝2CD＝2，又由CD∥BF，CD＝BF，所以四邊形BCDF為正方形，故BD⊥PD.由PD∩AD＝D，PD?平面PAD，AD?平面PAD，從而BD⊥平面PAD，又BD?平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.證法二：取AD的中點O，AB的中點F，連接PO，BO，DF.在四邊形ABCD中，BC⊥CD，AB∥CD，故四邊形ABCD為直角梯形，又AB＝2BC＝2CD＝2，故CD∥BF，且CD＝BF＝BC＝1，所以四邊形BCDF為正方形，所以△PAD≌△FAD，從而∠APD＝∠AFD＝90°，由AO∩BO＝O，AO?平面ABCD，OB?平面ABCD，從而PO⊥平面ABCD，又PO?平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.名師點撥：1．判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．(一般在一個平面內找交線的垂線，證此線與另一面垂直．)2．在已知面面垂直時，一般要用性質定理進行轉化．在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直．3.【變式訓練】(2024·廣東珠海實驗中學適應性考試(節(jié)選))如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，△APD是等腰直角三角形，∠APD是頂角．求證：平面PAB⊥平面PCD.[證明]

因為平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥CD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因為AP?平面PAD，所以CD⊥AP，因為△APD是等腰直角三角形，∠APD是頂角，所以AP⊥PD，又PD∩DC＝D，PD?平面PCD，DC?平面PCD，所以AP⊥平面PCD，又AP?平面PAB，所以平面PAB⊥