9.2.4總體離散程度的估計(jì)新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差）數(shù)據(jù)分析2.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)梳理·讀教材01題型突破·析典例02知能演練·扣課標(biāo)03目錄CONTENTS01知識(shí)梳理·讀教材?

?

有甲、乙兩種鋼筋，現(xiàn)從中各抽取一個(gè)樣本（如表所示）檢查它們的抗拉強(qiáng)度（單位：kg/mm2），通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)樣本的平均數(shù)均為125kg/mm2.甲110120130125120125135125135125乙115100125130115125125145125145

問題

哪種鋼筋的質(zhì)量較好？

?

?

?知識(shí)點(diǎn)

總體離散程度的估計(jì)1.平均距離

絕對(duì)值2.方差、標(biāo)準(zhǔn)差

方差標(biāo)準(zhǔn)差3.總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差

4.樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差

提醒

標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義：①標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會(huì)超過極差；②標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍是[0，＋∞）.標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)相等，說明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性；③因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.?

?1.下列數(shù)字特征不能反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度、波動(dòng)情況的是（

）A.極差B.平均數(shù)C.方差D.標(biāo)準(zhǔn)差解析：平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的離散程度.故選B.2.已知有樣本數(shù)據(jù)2，4，5，6，8，則該樣本的方差為（

）A.5B.4C.2D.0

3.國家射擊隊(duì)要從甲、乙、丙、丁四名隊(duì)員中選出一名選手去參加射擊比賽，四人的平均成績和方差如下表：甲乙丙丁8.58.88.88方差s23.53.52.18.7則應(yīng)派

?參賽最為合適.

解析：由表可知，丙的平均成績較高，且發(fā)揮比較穩(wěn)定，應(yīng)派丙去參賽最合適.答案：丙02題型突破·析典例?

?題型一標(biāo)準(zhǔn)差、方差的計(jì)算與應(yīng)用【例1】

甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，從中各抽取6件測(cè)量，數(shù)據(jù)如下：甲：99

100

98

100

100

103乙：99

100

102

99

100

100（1）分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；

（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.

通性通法

?

?1.現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，其平均數(shù)為3，且這10個(gè)數(shù)的平方和是100，那么這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是（

）A.1B.2C.3D.4

2.一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘2，再都減80，得一組新數(shù)據(jù)，若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2，方差是4.4，則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（

）A.40.6，1.1B.48.8，4.4C.81.2，44.4D.78.8，75.6

題型二分層隨機(jī)抽樣的方差【例2】

甲、乙兩支田徑隊(duì)的體檢結(jié)果為：甲隊(duì)體重的平均數(shù)為60kg，方差為200，乙隊(duì)體重的平均數(shù)為70kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1∶4，那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差分別是多少？

通性通法

?

?

在高一期中考試中，甲、乙兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計(jì)如表：班級(jí)人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差甲302乙203

A.2.2B.2.6C.2.5D.2.4

題型三方差、標(biāo)準(zhǔn)差與統(tǒng)計(jì)圖表的綜合應(yīng)用【例3】

甲、乙兩人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績得分情況如圖所示：（1）分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；

（2）根據(jù)圖形和（1）中計(jì)算結(jié)果，對(duì)兩人的訓(xùn)練成績作出評(píng)價(jià).

通性通法折線統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)學(xué)特征的求解技巧

根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖研究樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的統(tǒng)計(jì)意義有關(guān)，但一般情況下，整體分布位置較高的平均數(shù)大，數(shù)據(jù)波動(dòng)性小的方差小.?

?甲、乙、丙三名學(xué)生在一項(xiàng)集訓(xùn)中的40次測(cè)試分?jǐn)?shù)都在[50，100]內(nèi)，將他們的測(cè)試分?jǐn)?shù)分別繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，記甲、乙、丙的分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關(guān)系為（

）A.s1＞s2＞s3B.s1＞s3＞s2C.s3＞s1＞s2D.s3＞s2＞s1解析：比較三個(gè)頻率分布直方圖知，甲為“雙峰”直方圖，兩端數(shù)據(jù)最多、最分散，方差最大；乙為“單峰”直方圖，數(shù)據(jù)最集中，方差最小；丙為“單峰”直方圖，但數(shù)據(jù)分布相對(duì)均勻，方差介于甲、乙之間.綜上可知s1＞s3＞s2.?

?1.甲、乙兩名同學(xué)參加了一次籃球比賽的全部7場(chǎng)比賽，平均每場(chǎng)得分都是16分，標(biāo)準(zhǔn)差分別為3.5和4.62，則甲、乙兩名同學(xué)在這次籃球比賽中，發(fā)揮更穩(wěn)定的是（

）A.甲B.乙C.甲、乙相同D.不能確定解析：因甲、乙平均每場(chǎng)得分相同，都是16分，而甲的標(biāo)準(zhǔn)差3.5小于乙的標(biāo)準(zhǔn)差4.62，即甲每場(chǎng)比賽的得分波動(dòng)較乙的小，甲發(fā)揮更穩(wěn)定.故選A.2.若數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1，2x2，…，2x9的方差為（

）A.2B.4C.6D.8解析：數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9的方差s2＝2，則數(shù)據(jù)2x1，2x2，…，2x9的方差為22s2＝8.故選D.3.樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為0，1，2，3，m.若該樣本的平均值為1，則其方差為（

）D.2

4.（多選）高一某班的同學(xué)在學(xué)習(xí)了“統(tǒng)計(jì)”后，進(jìn)行了交流討論.甲同學(xué)說：“平均數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)最主要的指標(biāo).”乙同學(xué)說：“眾數(shù)刻畫了總體中個(gè)體的穩(wěn)定或波動(dòng)程度.”丙同學(xué)說“方差越小，表明個(gè)體越整齊，波動(dòng)越小.”丁同學(xué)說：“兩組樣本數(shù)據(jù)對(duì)比分析時(shí)，極差較大的一組數(shù)據(jù)其方差也較大.”其中說法正確的是（

）A.甲B.乙C.丙D.丁解析：平均數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)最主要的指標(biāo)，甲的說法正確；方差刻畫了總體中個(gè)體的穩(wěn)定或波動(dòng)程度，乙的說法錯(cuò)誤；方差越小，表明個(gè)體越整齊，波動(dòng)越小，丙的說法正確；兩組樣本數(shù)據(jù)對(duì)比分析時(shí)，一組數(shù)據(jù)極差較大不能說明其方差也較大，丁的說法錯(cuò)誤.故選A、C.

答案：乙

甲03知能演練·扣課標(biāo)?

?1.已知一組數(shù)據(jù)為－1，1，2，4，4，8，通過該組數(shù)據(jù)得到如下結(jié)論：①中位數(shù)是4；②平均數(shù)是3；③極差是9；④方差是48.其中正確的序號(hào)為（

）A.①②③B.②③C.②③④D.③④

2.已知甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)高一入學(xué)時(shí)年齡的平均數(shù)、中位數(shù)均為16，方差為0.8，則三年后，下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A.這五位同學(xué)年齡的平均數(shù)變?yōu)?9B.這五位同學(xué)年齡的中位數(shù)變?yōu)?9C.這五位同學(xué)年齡的方差仍為0.8D.這五位同學(xué)年齡的方差變?yōu)?.8解析：甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)高一入學(xué)時(shí)年齡的平均數(shù)、中位數(shù)均為16，方差為0.8，三年后，這五位同學(xué)年齡的平均數(shù)變?yōu)?6＋3＝19，故A正確；這五位同學(xué)年齡的中位數(shù)變?yōu)?6＋3＝19，故B正確；這五位同學(xué)的方差不變，仍為0.8，故C正確，D錯(cuò)誤.故選D.3.已知樣本容量為9的四組數(shù)據(jù)，它們的平均數(shù)都是5，條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則標(biāo)準(zhǔn)差最大的是（

）解析：選項(xiàng)A中，樣本數(shù)據(jù)都為5，數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度；選項(xiàng)B中，樣本數(shù)據(jù)為4，4，4，5，5，5，6，6，6；選項(xiàng)C中，樣本數(shù)據(jù)為3，3，4，4，5，6，6，7，7；選項(xiàng)D中，樣本數(shù)據(jù)為2，2，2，2，5，8，8，8，8，故標(biāo)準(zhǔn)差最大的是D.也可由樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小反映標(biāo)準(zhǔn)差，從題圖中可以看出D中的數(shù)據(jù)波動(dòng)最大.

5.（多選）甲、乙兩位同學(xué)6次的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計(jì)如圖，則下列說法正確的是（

）C.甲成績的極差大于乙成績的極差D.乙成績比甲成績穩(wěn)定

6.（多選）一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為6，方差為1，則關(guān)于新數(shù)據(jù)2x1－3，2x2－3，…，2xn－3，下列說法正確的是（

）A.這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6B.這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9C.這組新數(shù)據(jù)的方差為1D.這組新數(shù)據(jù)的方差為4

7.為了考查某種小麥的長勢(shì)，從中抽取10株麥苗，測(cè)得苗高（單位：cm）為16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，則這組數(shù)據(jù)的極差是

?.

解析：苗高數(shù)據(jù)中最大的為19，最小的為8，所以極差為19－8＝11.答案：11

答案：乙9.為調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的情況，從（1）班抽取了12名學(xué)生的成績，他們的平均分為91分，方差為3，從（2）班抽取了8名學(xué)生的成績，他們的平均分為89分，方差為5，則合在一起后的樣本均值為

?，樣本方差為

?.

答案：90.2

4.7610.某教育集團(tuán)為了辦好讓人民滿意的教育，每年年底都隨機(jī)邀請(qǐng)8名學(xué)生家長代表對(duì)集團(tuán)內(nèi)甲、乙兩所學(xué)校進(jìn)行人民滿意度的民主測(cè)評(píng)（滿意度最高分120分，最低分0分，分?jǐn)?shù)越高說明人民滿意度越高，分?jǐn)?shù)越低說明人民滿意度越低）.去年測(cè)評(píng)的數(shù)據(jù)如下：甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；乙校：108，101，94，105，96，93，97，106.（1）分別計(jì)算甲、乙兩所學(xué)校去年人民滿意度測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)；

（2）分別計(jì)算甲、乙兩所學(xué)校去年人民滿意度測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)的方差；

（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)你認(rèn)為甲、乙哪所學(xué)校人民滿意度比較好？解：（3）由（1）（2）可知甲、乙兩學(xué)校人民滿意度測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，中位數(shù)相同，而乙學(xué)校人民滿意度測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)的方差小于甲學(xué)校的方差，故乙學(xué)校人民滿意度比較好.

A.3.3或2.7B.3.3C.2.7D.4.5或3.2

12.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四名同學(xué)各自的五次點(diǎn)數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：甲：平均數(shù)為3，中位數(shù)為2；乙：中位數(shù)為3，眾數(shù)為2；丙：中位數(shù)為3，極差為4；?。浩骄鶖?shù)為2，方差為2.4.通過以上數(shù)據(jù)可以判斷一定沒出現(xiàn)6點(diǎn)的是（

）A.甲B.乙C.丙D.丁

13.在某市高三第一次診斷性考試后，各班級(jí)都有外出學(xué)習(xí)藝體的同學(xué)回歸校園學(xué)習(xí)文化課.假設(shè)某位回歸校園的同學(xué)的“一診”數(shù)學(xué)成績剛好是班級(jí)平均分，則對(duì)該班級(jí)的數(shù)學(xué)成績，下列說法正確的是（

）A.平均分變大，方差不變B.平均分變小，方差不變C.平均分不變，方差變大D.平均分不變，方差變小

14.某學(xué)校統(tǒng)計(jì)教師職稱及年齡，中級(jí)職稱教師的人數(shù)為50，其平均年齡為38歲，方差是2，高級(jí)職稱的教師中有3人58歲，5人40歲，2人38歲，求該校中級(jí)職稱和高級(jí)職稱教師年齡的平均數(shù)和方差.

15.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在某次軍訓(xùn)射擊測(cè)試中，各射擊10次.四人射擊成績對(duì)應(yīng)的條形圖如圖：以下關(guān)于四名同學(xué)射擊成績的數(shù)學(xué)特征判斷不正確