向量數(shù)量積的運(yùn)算律新知探究問題1

很多運(yùn)算都滿足一定的運(yùn)算律，例如，向量的加法滿足交換律，數(shù)乘向量對(duì)加法滿足分配律，即對(duì)任意向量以及實(shí)數(shù)

，有，那么向量數(shù)量積的運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律呢？

新知探究問題2向量數(shù)量積是否滿足交換律呢？當(dāng)是兩個(gè)非零向量時(shí)，因?yàn)樗愿鶕?jù)可知，即向量的數(shù)量積滿足交換律．新知探究事實(shí)上，當(dāng)都是非零向量且λ≠0時(shí)，（1）如果λ＞0，則，且的方向與的方向相同，從而因此：追問1：當(dāng)

是實(shí)數(shù)且是向量時(shí)，是向量，與都是實(shí)數(shù)，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等嗎？新知探究事實(shí)上，當(dāng)都是非零向量且λ≠0時(shí)，（2）如果λ＜0，則，且的方向與的方向相同，從而因此：追問1：當(dāng)

是實(shí)數(shù)且是向量時(shí)，是向量，與都是實(shí)數(shù)，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等嗎？新知探究當(dāng)中至少有一個(gè)是零向量或λ＝0時(shí)，顯然有用同樣的方法可以得到追問1：當(dāng)

是實(shí)數(shù)且是向量時(shí)，是向量，與都是實(shí)數(shù)，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等嗎？新知探究因此下面只要說明都不是零向量的情形即可．追問2：當(dāng)都是向量時(shí)，都是實(shí)數(shù)嗎？如果是，這3個(gè)實(shí)數(shù)之間有什么關(guān)系？當(dāng)中至少有一個(gè)是零向量時(shí)，分配律顯然成立，此時(shí)，||≠0，設(shè)，即是與同向的單位向量．a(chǎn)A′lB′ba+bc0ABO如圖所示，設(shè)點(diǎn)O與都在直線l上，且，則新知探究追問2：當(dāng)都是向量時(shí)，都是實(shí)數(shù)嗎？如果是，這3個(gè)實(shí)數(shù)之間有什么關(guān)系？過A，B分別作直線l的垂線AA′，BB′，則由向量投影的定義可知，又因?yàn)閍A′lB′ba+bc0ABO在上的投影為，在上的投影為所以根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可知在這個(gè)式子兩邊同時(shí)乘以||，即可知由向量數(shù)量積滿足以上的運(yùn)算律還可以得到：新知探究向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律：a·b＝b·a．對(duì)加法滿足分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c，（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）．推廣結(jié)論：（a＋b）（a－b）＝a2－b2；（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2．初步應(yīng)用例1

求證：（1）（2）證明：（1）（2）總結(jié)：本題可以作為結(jié)論使用；類似的，還可以證明初步應(yīng)用例2

（1）已知||＝2，||＝1，〈〉＝60°，求（2）已知，求．解答：（1）由題意可知，

因此所以（2）由題意可知

即因此因此初步應(yīng)用例3

（1）已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，若（2a＋b）⊥（a＋λb），則λ＝______．解答：（1）∵（2a＋b）⊥（a＋λb），∴2a2＋2λa·b＋a·b＋λb2＝0．（2）已知a，b是兩個(gè)非零向量，同時(shí)滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則b與a＋b的夾角是______．∴（2a＋b）·（a＋λb）＝0，∵|a|＝|b|＝1，且a與b的夾角為∴2＋λ＋＋λ＝0，∴λ＝初步應(yīng)用例3

（1）已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，若（2a＋b）⊥（a＋λb），則λ＝______．（2）由|a|＝|b|，得|a|2＝|b|2，所以a·b＝|a|2．而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，（2）已知a，b是兩個(gè)非零向量，同時(shí)滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則b與a＋b的夾角是______．又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以|a＋b|＝|a|．則，又0≤θ≤180°，所以θ＝30°．30°設(shè)b與a＋b的夾角為θ，初步應(yīng)用例4

利用向量證明菱形的兩條對(duì)角線互相垂直．如圖所示，已知ABCD是菱形，AC與BD是兩條對(duì)角線，求證：AC⊥BD．ABCD解答：由已知可得：所以：又因?yàn)锳BCD為菱形，所以AB＝AD，即因此，從而，∴AC⊥BD．初步應(yīng)用例5

利用向量證明三角形的三條高相交于一點(diǎn)．如圖所示，已知△ABC中，BE，CF分別為AC，AB邊上的高，而且BE與CF相交于點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)，與BC相交于點(diǎn)D，求證：AD⊥BC．解答：因?yàn)锽E⊥AC，所以因此，（1）又因?yàn)镃F⊥AB，所以因此，

（2）ABCEFO即即由（1）－（2）可得：

因此從而

＝0，故BC⊥OA，即AD⊥BC．初步應(yīng)用例5

利用向量證明三角形的三條高相交于一點(diǎn)．如圖所示，已知△ABC中，BE，CF分別為AC，AB邊上的高，而且BE與CF相交于點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)，與BC相交于點(diǎn)D，求證：AD⊥BC．ABCEFO方法總結(jié)：由于向量的數(shù)量積集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性，用它來研究問題可以實(shí)現(xiàn)形象思維與抽象思維的有機(jī)結(jié)合，所以向量法是研究幾何問題的一個(gè)有效工具．新知探究【拓展】向量滿足，且

（t＞0），令求f（t）的最小值．解答：因?yàn)?，且（t＞0），所以所以即當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)，f（t）取到最小值練習(xí)練習(xí)：教科