第六章定積分的應(yīng)用6.1定積分的元素法6.2定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用目錄二、定積分在幾何上學(xué)中的應(yīng)用——平面圖形的面積一、定積分的元素法——微元法利用微元法解決:定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用自學(xué)一、微元法回顧曲邊梯形求面積的問題abxyo引例曲邊梯形的計算問題？……＋＋記作面積微元即1、什么問題可以用定積分解決?1)所求量

U是與區(qū)間[a,b]

有關(guān)的2)U

對區(qū)間[a,b]

具有可加性

,即可通過若干小區(qū)定積分定義一個整體量;求和獲得：間3)記2、如何應(yīng)用定積分解決問題?第一步根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間如[a,b].第二步設(shè)想把區(qū)間[a,b]分成若干小區(qū)間，取其任一區(qū)間[x,x+dx],求出局部量的近似值U的微元第三步以所求量U的微元dU作為積分表達(dá)式，在區(qū)間[a,b]作定積分2、如何應(yīng)用定積分解決問題?這種分析方法成為微元法微元的幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等*二、平面圖形的面積面積元素

由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)

0),直線x

=

a,x

=

b(a

<

b)及

x

軸所圍成的平面圖形的面積面積微元法：yo*若f(

x

)有正有負(fù)，則曲邊梯形面積為xyoab*直角坐標(biāo)系：X—型平面圖形的面積xyoab面積元素：所圍成的平面圖形的面積：*cxyoab一般地，*直角坐標(biāo)系：Y—型平面圖形的面積dcxyo及y軸圍成的平面圖形的面積為xyodc一般地，*圍成的平面圖形的面積為dcxyodcxyo一般地，*例1

*解選x為積分變量,例1

由得交點例2

解由對稱性知,例2

總面積等于第一象限部分面積的4倍,*利用圓面積解由對稱性知,例2

總面積等于第一象限部分面積的4倍,xya*例3

*解兩曲線的交點例3

此法麻煩。*此題選y

為積分變量比較好,選擇積分變量的原則：

(1)盡量少分塊；(2)積分容易.*例4

圍成的平面圖形的面積.

*例4

圍成的平面圖形的面積.

xoy解

由對稱性,交點*例5*例5解求曲線與以及軸圍成的圖形面積.作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂求曲線與直線以及圍成的圖形面積.主觀題10分極坐標(biāo)系：求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為

某些平面圖形，用極坐標(biāo)來計算它們的面積會比較方便，而用直角坐標(biāo)卻往往非常繁瑣.對應(yīng)

從0變例5.計算阿基米德螺線解:到2

所圍圖形面積.作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂

主觀題10分

第六章定積分的應(yīng)用6.2定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用(二）目錄一、定積分在幾何上學(xué)中的應(yīng)用——旋轉(zhuǎn)體的體積二、平面曲線的弧長一、旋轉(zhuǎn)體的體積2圓柱圓錐圓臺最基本的情形是曲邊梯形繞x軸或y軸旋轉(zhuǎn)的情形?！粜D(zhuǎn)體的定義旋轉(zhuǎn)體的定義：旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸。可選取適當(dāng)坐標(biāo)系，使旋轉(zhuǎn)軸為x軸或y軸xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為取積分變量為xoxyP(h,r)◆旋轉(zhuǎn)體的體積計算公式例1連接坐標(biāo)原點O及點P(h,r)的直線，直線x=h及x軸圍成一個直角三角形，將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r，高為h的圓錐，計算圓錐的體積。解：如圖所示直線OP的方程為，

所求體積為

例2計算由曲線y=x2

與x=y2

所圍成的平面圖形繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積。例2計算由曲線y=x2

與x=y2

所圍成的平面圖形繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積。解：如圖所示V2V1作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂繞x軸旋轉(zhuǎn)一周◆練習(xí)：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式繞x軸旋轉(zhuǎn)一周可為此題添加文本、圖片、公式等解析，且需將內(nèi)容全部放在本區(qū)域內(nèi)。正常使用需3.0以上版本此處添加答案解析答案解析主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂◆練習(xí)：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式可為此題添加文本、圖片、公式等解析，且需將內(nèi)容全部放在本區(qū)域內(nèi)。正常使用需3.0以上版本此處添加答案解析答案解析軸繞y軸旋轉(zhuǎn)一周軸繞y軸旋轉(zhuǎn)一周主觀題10分21例3：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積。21例3：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積。二、平面曲線的弧長定義:

若在弧AB上任意作內(nèi)接折線

,當(dāng)折線段的最大邊長→0時,折線的長度趨向于一個確定的極限

,此極限為曲線弧AB的弧長,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長的.則稱(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長元素(弧微分):以對應(yīng)小切線段長代替小弧段長因此所求弧長(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長則得弧長元素(弧微分):機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一段弧的長度.相應(yīng)x于從a到b的例4

計算曲線解:一段弧的長度.相應(yīng)x于從a到b的例4

計算曲線例5.

計算擺線一拱的弧長.例5.

計算擺線一拱的弧長.解:作答正常使用主觀題需2.0以上版