初中數學知識點匯總復習一、代數第一章有理數及其運算正整數(如整數零(0)(注:0既不是正數，也不是負數，是唯一的中性數，是偶數，也是自然數)負整數(如※有理數正分數(如分數負分數(如有理數:整數和分數(含有限小數，無限循環(huán)小數)統(tǒng)稱為有理數?！鶖递S的三要素:原點、正方向、單位長度(三者缺一不可)?！魏我粋€有理數，都可以用數軸上的一個點來表示。(反過來，不能說數軸上所有的點都表示有理數)※如果兩個數只有符號不同，那么我們稱其中一個數為另一個數的相反數，也稱這兩個數在數軸上，表示互為相反數的兩個點，位于原點的側，且互為相反數。0的相反數是0)※到原點的距離相等。?數軸上兩點表示的數，右邊的總比左邊的大。正數在原點的右邊，負數在原點的左邊。※絕對值的定義:一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離。數a的絕對值記作|a|?！龜档慕^對值是它本身;0的絕對值是0;負數的絕對值是它的數?；颉^對值的性質:除0外，絕對值為一正數的數有兩個，它們互為相反數;互為相反數的兩數(除0外)的絕對值相等;任何數的絕對值總是非負數，即|a|?0(求一個數的絕對值就是根據性質去掉絕對值符號。)?對任何有理數a，都有|a|?0?若|a|=0，則|a|=0，反之亦然?若|a|=b，則a=?b?對任何有理數a,都有|a|=|-a|※比較兩個負數的大小，絕對值大的反而小。比較兩個負數的大小的步驟如下:?先求出兩個數負數的絕對值;?比較兩個絕對值的大小;?根據“兩個負數，絕對值大的反而小”做出正確的判斷?！欣頂导臃ǚ▌t:?同號兩數相加，取相同符號，并把絕對值相加。?異號兩數相加，絕對值相等時和為0;絕對值不等時取絕對值較大的數的符號，并用較大數的絕對值減去較小數的絕對值。?一個數同0相加，仍得這個數?！臃ǖ慕粨Q律、結合律在有理數運算中同樣適用。?靈活運用運算律，使用運算簡化，通常有下列規(guī)律:?互為相反的兩個數，可以先相加;?符號相同的數，可以先相加;?分母相同的數，可以先相加;?幾個數相加能得到整數，可以先相加?！欣頂禍p法法則(“作差法”比較兩個有理數的大小):減去一個數，等于加上這個數的相反數。?有理數減法運算時注意兩“變”:?改變運算符號;?改變減數的性質符號(變?yōu)橄喾磾?有理數減法運算時注意一個“不變”:被減數與減數的位置不能變換，也就是說，減法沒有交換律。?有理數的加減法混合運算的步驟:?寫成省略加號的代數和。在一個算式中，若有減法，應由有理數的減法法則轉化為加法，然后再省略加號和括號;?利用加法則，加法交換律、結合律簡化計算。(注意:減去一個數等于加上這個數的相反數，當有減法統(tǒng)一成加法時，減數應變成它本身的相反數。)第1頁※有理數乘法法則:?兩數相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。?任何數與0相乘，積仍為0。※如果兩個數互為倒數，則它們的乘積為1。(如:-2與135、與…等)253※乘法的交換律、結合律、分配律在有理數運算中同樣適用。?有理數乘法運算步驟:?先確定積的符號;?求出各因數的絕對值的積。?乘積為1的兩個有理數互為倒數。注意:?零沒有倒數?求分數的倒數，就是把分數的分子分母顛倒位置。小數化為分數，帶分數先化成假分數。?正數的倒數是正數，負數的倒數是負數。※有理數除法法則:?兩個有理數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。?0除以任何非0的數都得0。特別注意:0不可作為除數，否則無意義。n個a※有理數的乘方※注意:?一個數可以看作是本身的一次方，如5=51;?當底數是負數或分數時，要先用括號將底數括上，再在右上角寫指數?！朔降倪\算性質:?正數的任何次冪都是正數;?負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數;?任何數的偶數次冪都是非負數;?1的任何次冪都得1，0的任何次冪都得0;?-1的偶次冪得1;-1的奇次冪得-1;?在運算過程中，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值。※有理數混合運算法則:?先算乘方,再算乘除,最后算加減。?如果有括號,先算括號里面的。第二章字母表示數※代數式的概念:用運算符號(加、減、乘除、乘方、開方等)把數與表示數的字母連接而成的式子叫做代數式。單獨的一個數或(((一個字母也是代數式。注意:?代數式中除了含有數、字母和運算符號外，還可以有括號;?代數式中不含有“=、>、<、?”等符號。等式和不等式都不是代數式，但等號和不等號兩邊的式子一般都是代數式;?代數式中的字母所表示的數必須要使這個代數式有意義，是實際問題的要符合實際問題的意義?！鷶凳降臅鴮懜袷??代數式中出現(xiàn)乘號，通常省略不寫，如vt;?數字與字母相乘時，數字應寫在字母前面，如4a;?帶分數與字母相乘時，應先把帶分數化成假分數后與字母相乘，如應寫作?數字與數字相乘，一般仍用“×”號，即“×”號不省略;?在代數式中出現(xiàn)除法運算時，一般按照分數的寫法來寫，如4?(a-4)應寫作137a;34;注意:分數線具有“?”號和括號的雙重作用。?在表示和(或)差的代差的代數式后有單位名稱的，則必須把代數式括起來，再將單位名稱寫在式子的后面，如平方米※代數式的系數:代數式中的數字中的數字因數叫做代數式的系數。如3x,4y的系數分別為3，4。((((((注意:?單個字母的系數是1，如a的系數是1;?只含字母因數的代數式的系數是1或-1，如-ab的系數是-1。a3b的系數是1※代數式的項:第2頁代數式表示6x2、-2x、-7的和，6x2、-2x、-7是它的項，其中把不含字母的項叫做常數項注意:在交待某一項時，應與前面的符號一起交待?！愴?所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。注意:?判斷幾個代數式是否是同類項有兩個條件:a.所含字母相同;b.相同字母的指數也相同。這兩個條件缺一不可;?同類項與系數無關，與字母的排列順序無關;?幾個常數項也是同類項。※合差同類項:把代數式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。?合并同類項的理論根據是逆用乘法分配律;?合并同類項的法則是把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變。注意:?如果兩個同類項的系數互為相反數，合并同類項后結果為0;?不是同類項的不能合并，不能合并的項，在每步運算中都要寫上;?只要不再有同類項，就是最后結果，結果還是代數式。※根據去括號法則去括號:括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不改變符號;括號前面是“,”號去掉，括號里各項都改變符號?！鶕峙渎扇ダㄌ?括號前面是“+”號看成+1，括號前面是“,”號看成-1，根據乘法的分配律用+1或-1去乘括號里的每一項以達到去括號的目的?！⒁??去括號時，要連同括號前面的符號一起去掉;?去括號時，首先要弄清楚括號前是“+”號還是“,”號;?改變符號時，各項都變號;不改變符號時，各項都不變號。第三章整式的運算一.整式※1.單項式?由數與字母的積組成的代數式叫做單項式。單獨一個數或字母也是單項式。?單項式的系數是這個單項式的數字因數，作為單項式的系數，必須連同數字前面的性質符號,如果一個單項式只是字母的積,并非沒有系數.?一個單項式中,所有字母的指數和叫做這個單項式的次數.※2.多項式?幾個單項式的和叫做多項式.在多項式中,每個單項式叫做多項式的項.其中,不含字母的項叫做常數項.一個多項式中,次數最高項的次數,叫做這個多項式的次數.?單項式和多項式都有次數,含有字母的單項式有系數,多項式沒有系數.多項式的每一項都是單項式,一個多項式的項數就是這個多項式作為加數的單項式的個數.多項式中每一項都有它們各自的次數,但是它們的次數不可能都作是為這個多項式的次數,一個多項式的次數只有一個,它是所含各項的次數中最高的那一項次數.※3.整式:單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.單項式整式代數式多項式其他代數式二.整式的加減?1.整式的加減實質上就是去括號后,合并同類項,運算結果是一個多項式或是單項式.?2.括號前面是“,”號,去括號時,括號內各項要變號,一個數與多項式相乘時,這個數與括號內各項都要相乘.第3頁三.同底數冪的乘法※同底數冪的乘法法則都是正數)是冪的運算中最基本的法則,在應用法則運算時,要注意以下幾點:?法則使用的前提條件是:冪的底數相同而且是相乘時，底數a可以是一個具體的數字式字母，也可以是一個單項或多項式;?指數是1時，不要誤以為沒有指數;?不要將同底數冪的乘法與整式的加法相混淆，對乘法，只要底數相同指數就可以相加;而對于加法，不僅底數相同，還要求指數相同才能相加;?當三個或三個以上同底數冪相乘時，法則可推廣為(其中m、n、p均為正數);?公式還可以逆用:(m、n均為正整數)四(冪的乘方與積的乘方※1.冪的乘方法則:都是正數)是冪的乘法法則為基礎推導出來的,但兩者不能混淆.※都為正數).※3.底數有負號時,運算時要注意,底數是a與(-a)時不是同底，但可以利用乘方法則化成同底，如將(-a)3化成-a3當n為偶數時),一般地當n為奇數時).n※4(底數有時形式不同，但可以化成相同?！?(要注意區(qū)別(ab)n與(a+b)n意義是不同的，不要誤以為(a+b)n=an+bn(a、b均不為零)。※6(積的乘方法則:積的乘方，等于把積每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即(n為正整數)。※7(冪的乘方與積乘方法則均可逆向運用。五.同底數冪的除法※1.同底數冪的除法法則:同底數冪相除,底數不變,指數相減,即、n都是正數,且m>n).※2.在應用時需要注意以下幾點:?法則使用的前提條件是“同底數冪相除”而且0不能做除數,所以法則中a?0.?任何不等于0的數的0次冪等于1,即如-2.50=1),則00無意義.1(a?0,p是正整數),ap而0-1,0-3都是無意義的;當a>0時,a-p的值一定是正的;當a<0時,a-p的值可能是正也可能是負的,如11(-2)-?運算要注意運算順序.六.整式的乘法※1.單項式乘法法則:單項式相乘,把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數作為積的一個因式。單項式乘法法則在運用時要注意以下幾點:?積的系數等于各因式系數積，先確定符號，再計算絕對值。這時容易出現(xiàn)的錯誤的是，將系數相乘與?任何不等于0的數的-p次冪(p是正整數),等于這個數的p的次冪的倒數,即第4頁指數相加混淆;?相同字母相乘，運用同底數的乘法法則;?只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數作為積的一個因式;?單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用;?單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式。※2(單項式與多項式相乘單項式乘以多項式，是通過乘法對加法的分配律，把它轉化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。單項式與多項式相乘時要注意以下幾點:?單項式與多項式相乘，積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同;?運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號;?在混合運算時，要注意運算順序。※3(多項式與多項式相乘多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。多項式與多項式相乘時要注意以下幾點:?多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是:在沒有合并同類項之前，積的項數應等于原兩個多項式項數的積;?多項式相乘的結果應注意合并同類項;?對含有同一個字母的一次項系數是1的兩個一次二項式相乘，其二次項系數為1，一次項系數等于兩個因式中常數項的和，常數項是兩個因式中常數項的積。對于一次項系數不為1的兩個一次二項式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到七(平方差公式?1(平方差公式:兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差，※即。?其結構特征是:?公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數;?公式右邊是兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方之差。八(完全平方公式?1(完全平方公式:兩數和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍，?即;?口決:首平方，尾平方，2倍乘積在中央;?2(結構特征:?公式左邊是二項式的完全平方;?公式右邊共有三項，是二項式中二項的平方和，再加上或減去這兩項乘積的2倍。?3(在運用完全平方公式時，要注意公式右邊中間項的符號，以及避免出現(xiàn)這樣的錯誤。九(整式的除法?1(單項式除法單項式單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式;?2(多項式除以單項式多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加，其特點是把多項式除以單項式轉化成單項式除以單項式，所得商的項數與原多項式的項數相同，另外還要特別注意符號。第5頁第四章實數(二次根式)※算術平方根:一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么叫做a，記作a。0的算術平方根為0;從定義可知，只有當a?0時,a才有算術平方根?！椒礁?一般地，如果一個數x的平方根等于a，即x2=a，那么數x就叫做a?！龜涤袃蓚€平方根(一正一負);0只有一個平方根，就是它本身;負數沒有平方根?！龜档牧⒎礁钦龜?0的立方根是0;負數的立方根是負數。注1)二次根式的被開方數必須非負(a?0)2)二次根式a為a的算術平方根,即a?03)據平方根的定義知(a)2=a(a?0)自然數整數負整數有理數正分數整數、有限小數、無限循環(huán)小數分數(小數實數負分數正有理數無理數(無限不循環(huán)小數負有理數(注:1、被開方數是小數時必須化為分數2、比較大小時一定化為同類數。3、無理數有:π類，開方開不盡的，無限不循環(huán)的)第五章一元一次方程※在一個方程中，只含有一個未知數x(元)，并且未知數的指數是1(次),這樣的方程叫做一元一次方程。((((((必須滿足三個條件:?只有一個未知數?未知數的指數是1?未知數的系數不為0※等式兩邊同時加上(或減去)同一個代數式，所得結果仍是等式?！仁絻蛇呁瑫r乘同一個數(或除以同一個不為0的數)，所得結果仍是等式?！夥匠痰牟襟E:解一元一次方程，一般要通過去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數的系數化為1等幾個步驟，把一個一元一次方程“轉化”成x=m的形式。第六章一元一次不等式和一元一次不等式組一.不等關系※1.一般地,用符號“<”(或“?”),“>”(或“?”)連接的式子叫做不等式.?2.要區(qū)別方程與不等式:方程表示的是相等的關系;不等式表示的是不相等的關系.※3.準確“翻譯”不等式,正確理解“非負數”、“不小于”等數學術語.非負數<===>大于等于0(?0)<===>0和正數<===>不小于0非正數<===>小于等于0(?0)<===>0和負數<===>不大于0二.不等式的基本性質※1.掌握不等式的基本性質,并會靈活運用:(1)不等式的兩邊加上(或減去)同一個整式,不等號的方向不變,即:第6頁如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.(2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數,不等號的方向不變,即ab如果a>b,并且c>0,那么(3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數,不等號的方向改變,即:ab如果a>b,并且c<0,那么※2.比較大小:(a、b分別表示兩個實數或整式)一般地:如果a>b,那么a-b是正數;反過來,如果a-b是正數,那么a>b;如果a=b,那么a-b等于0;反過來,如果a-b等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b是負數;反過來,如果a-b是正數,那么a<b;即:a>b<===>a-b>0a=b<===>a-b=0a<b<===>a-b<0(由此可見,要比較兩個實數的大小,只要考察它們的差就可以了.)三.不等式的解集:※1.能使不等式成立的未知數的值,叫做不等式的解;一個不等式的所有解,組成這個不等式的解集;求不等式的解集的過程,叫做解不等式.※2.不等式的解可以有無數多個,一般是在某個范圍?去括號;?移項;?合并同類項;?系數化為1(不等號的改變問題)※4.一元一次不等式基本情形為ax>b(或ax<b)b?當a>0時,解為?當a=0,且b<0時,則x取一切實數;當a=0,且b?0時,則無解;ab?當a<0時,解為?5.不等式應用的探索(利用不等式解決實際問題)列不等式解應用題基本步驟與列方程解應用題相類似,即:?審:認真審題,找出題中的不等關系,要抓住題中的關鍵字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含義;?設:設出適當的未知數;?列:根據題中的不等關系,列出不等式;?解:解出所列的不等式的解集;?答:寫出答案,并檢驗答案是否符合題意.五.一元一次不等式與一次函數六.一元一次不等式組※1.定義:由含有一個相同未知數的幾個一元一次不等式組成的不等式組,叫做一元一次不等式組.※2.一元一次不等式組中各個不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集.如果這些不等式的解集無公共部分,就說這個不等式組無解.幾個不等式解集的公共部分,通常是利用數軸來確定.※3.解一元一次不等式組的步驟:(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集;(2)利用數軸求出這些解集的公共部分,即這個不等式組的解集.第7頁第七章二元一次方程組※含有兩個未知數,并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。兩個一次方程所組成的一組方程叫做二元一次方程組。二元一次方程必須滿足三個條件:?必有二個未知數?未知數的指數是1?未知數的系數不為0※解二元一次方程組:?代入消元法;?加減消元法(無論是代入消元法還是加減消元法，其目的都是將“二元一次方程”變?yōu)椤耙辉淮畏匠獭?，所謂之“消元”)?換元法解方程組:4/(3x-2y)+3/(2x-5y)=10說明:有(3x-2y)和(2x-5y)相同項，可設3x-2y=a2x-5y=b解5/(3x-2y)+2/(2x-5y)=1?常量法已知:2x+5y+4z=6求x+y-z的值3x+y-7z=-4說明:方程特點:方程少，未知數多時，假定其中一個未知數為已知。※在利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟:?設未知數(在設未知數時，大多數情況只要設問題為x或y;但也有時也須根據已知條件及等量關系等諸多方面考慮);?尋找等量關系(一般地，題目中會含有一表述等量關系的句子，只須找到此句話即可根據其列出方程)?！幚韱栴}的過程可以進一步概括為:問題分析求解方程(組解答抽象檢驗第八章分解因式一.分解因式※1.把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.※2.因式分解與整式乘法是互逆關系.因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系:(1)整式乘法是把幾個整式相乘,化為一個多項式;(2)因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘.二.提公共因式法※1.如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.如※2.概念(2)公因式可能是單項式,也可能是多項式;第8頁(3)提公因式法的理論依據是乘法對加法的分配律,即※3.易錯點點評:(1)注意項的符號與冪指數是否搞錯;(2)公因式是否提“干凈”;(3)多項式中某一項恰為公因式,提出后,括號中這一項為+1,不漏掉.三.運用公式法※1.如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項式分解因式.這種分解因式的方法叫做運用公式法.※2.主要公式:(1)平方差公式(2)完全平方公式?3.易錯點點評:因式分解要分解到底.如就沒有分解到底.※4.運用公式法:(1)平方差公式:?應是二項式或視作二項式的多項式;?二項式的每項(不含符號)都是一個單項式(或多項式)的平方;?二項是異號.(2)完全平方公式:?應是三項式;?其中兩項同號,且各為一整式的平方;?還有一項可正負,且它是前兩項冪的底數乘積的2倍.※5.因式分解的思路與解題步驟:(1)先看各項有沒有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分組分解法,即通過分組后提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的;(4)因式分解的最后結果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解;(5)因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數范圍內不能再分解為止.四.分組分解法:※1.分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.如※2.概念內涵:分組分解法的關鍵是如何分組,要嘗試通過分組后是否有公因式可提,并且可繼續(xù)分解,分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式.※3.注意:分組時要注意符號的變化.五.十字相乘法:※1.對于二次三項式將a和c分別分解成兩個因數的乘積且滿足ac1往往寫成a2的形式,將二次三項式進行分解.如:※2.二次三項式的分解:第9頁※3.規(guī)律(1)理解:把分解因式時,如果常數項q是正數,那么把它分解成兩個同號因數,它們的符號與一次項系數p的符號相同.(2)如果常數項q是負數,那么把它分解成兩個異號因數,其中絕對值較大的因數與一次項系數p的符號相同,對于分解的兩個因數,還要看它們的和是不是等于一次項系數p.※4.易錯點點評:(1)十字相乘法在對系數分解時易出錯;(2)分解的結果與原式不等,這時通常采用多項式乘法還原后檢驗分解的是否正確.第九章一元二次方程※只含有一個未知數的整式方程，且都可以化為(a、b、c為常數，a?0)的形式，這樣的方程叫一(元二次方程。(((((注意四點:?一個未知數?未知數最高次數是2?為整式方程?a?0須特別注意?！?a、b、c為常數，a?0)稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項系數;b為一次項系數;c為常數項。2※解一元二次方程的方法:?配方法<即將其變?yōu)?x+m)=p的形式>22?公式法(注意在找a、b、c時須先把方程化為一般形式)2a?分解因式法把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。(主要包括“提公因式”和“十字相乘”)※配方法解一元二次方程的基本步驟:?把方程化成一元二次方程的一般形式;?將二次項系數化成1;?把常數項移到方程的右邊;?兩邊加上一次項系數的一半的平方;?把方程轉化成的形式;?兩邊開方求其根。2※根與系數的關系:當b-4ac>0時，方程有兩個不等的實數根;2當b-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根;2當b-4ac<0時，方程無實數根。2※如果一元二次方程的兩根分別為x1、x2，則有:。a※一元二次方程的根與系數的關系的作用:(1)已知方程的一根，求另一根;(2)不解方程，求二次方程的根x1、x2的對稱式的值，特別注意以下公式:???????其他能用或x1x2表達的代數式。第10頁(3)已知方程的兩根x1、x2，可以構造一元二次方程:(4)已知兩數x1、x2的和與積，求此兩數的問題，可以轉化為求一元二次方程的根※在利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟:?設未知數(在設未知數時，大多數情況只要設問題為x;但也有時也須根據已知條件及等量關系等諸多方面考慮);?尋找等量關系(一般地，題目中會含有一表述等量關系的句子，只須找到此句話即可根據其列出方程)?！幚韱栴}的過程可以進一步概括為:問題分析求解方程解答抽象檢驗第十章分式(方程必須驗根)一.分式※1.兩個整數不能整除時,出現(xiàn)了分數;類似地,當兩個整式不能整除時,就出現(xiàn)了分式.AA整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么稱為分式,對于任意一個分BB式,分母都不能為零.(※)整式※2.整式和分式統(tǒng)稱為有理式,即有:有理式分式※3.進行分數的化簡與運算時,常要進行約分和通分,其主要依據是分數的基本性質:分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式,分式的值不變.※4.一個分式的分子、分母有公因式時,可以運用分式的基本性質,把這個分式的分子、分母同時除以它的們的公因式,也就是把分子、分母的公因式約去,這叫做約分.二.分式的乘除法※1.分式乘以分式,用分子的積做積的分子,分母的積做積的分母;分式除以分式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘.即※2.分式乘方,把分子、分母分別乘方.即為正整數)逆向運用當n為整數時,仍然有成立※3.分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡分式.三.分式的加減法※1.分式與分數類似,也可以通分.根據分式的基本性質,把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.※2.分式的加減法:分式的加減法與分數的加減法一樣,分為同分母的分式相加減與異分母的分式相加減.(1)同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減;上述法則用式子表示是(2)異號分母的分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?然后再加減;上述法則用式子表示是※3.概念內涵:通分的關鍵是確定最簡分母,其方法如下:最簡公分母的系數,取各分母系數的最小公倍數;最簡公分第11頁母的字母,取各分母所有字母的最高次冪的積,如果分母是多項式,則首先對多項式進行因式分解.四、分式的值為零時必須滿足的條件:分子的值為零，分母的不為零。五、典型題型:由x2-3x+1=0求x2+1/x2=?(已知兩邊同除X)由x+x-1=3求x2-x-2=?(兩邊平方)分式分子、分母同次時裂項法求解，否則有二次出現(xiàn)(5-2x)/(2x-3)=(4-3x)/(3x-2)六.分式方程※1.解分式方程的一般步驟:?在方程的兩邊都乘最簡公分母,約去分母,化成整式方程;?解這個整式方程;?驗根:把整式方程的根代入最簡公分母,看結果是不是零,使最簡公母為零的根是原方程的增根,必須舍去.(※)※2.列分式方程解應用題的一般步驟:?審清題意;?設未知數;?根據題意找相等關系,列出(分式)方程;?解方程,并驗根;(※)?寫出答案.二、平面幾何第一章平面圖形及位置關系一.線段、射線、直線※1.※2.直線公理:經過兩點有且只有一條直線.二.比較線段的長短※1.線段公理:兩點間線段最短;兩之間線段的長度叫做這兩點之間的距離.2圖1※2.比較線段長短的兩種方法:?圓規(guī)法;?刻度尺度量法.?疊合法※3.用刻度尺可以畫出線段的中點,線段的和、差、倍、分;3用圓規(guī)可以畫出線段的和、差、倍.三(求線段的長:?逐步計算求線段的長，?用字母代換求線段的長，?構造方程求長。※經過兩點有且只有一條直線?！鶅牲c之間的所有連線中，線段最短?！鶅牲c之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。((((((((※經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行?！绻麅蓷l直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。※互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足。((※平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。第12頁※如圖8所示，過點C作直線AB的垂線，垂足為O點，線段CO的長度叫做點到直線的距離。(C((((AB(((((四.角的度量與表示1o=60’1’=60”※1.角:有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角;這個公共端點叫做角的頂點;這兩條射線叫做角的邊.※2.角的表示法:角的符號為“?”?用三個字母表示，如圖1所示?AOB?用一個字母表示，如圖2所示?b?用一個數字表示，如圖3所示?1?用希臘字母表示，如圖4所示?β※角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的。如圖5所示:※一條射線繞它的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角。如圖6所示:((※終邊繼續(xù)旋轉，當它又和始邊重合時，所成的角叫做周角。如圖7所示:((※從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。(((((圖6B第二章相交線與平行線一(臺球桌面上的角※1(互為余角和互為補角的有關概念與性質如果兩個角的和為90?(或直角)，那么這兩個角互為余角;如果兩個角的和為180?(或平角)，那么這兩個角互為補角;注意:這兩個概念都是對于兩個角而言的，而且兩個概念強調的是兩個角的數量關系，與兩個角的相互位置沒有關系。它們的主要性質:同角或等角的余角相等;同角或等角的補角相等。二(探索直線平行的條件※兩條直線互相平行的條件即兩條直線互相平行的判定定理，共有三條:?同位角相等;??同旁?兩直線平行，?兩直線平行，同旁圖形的平移與旋轉平移:在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定距離，這樣的圖形運動稱為平移。平移的基本性質:經過平移，對應線段、對應角分別相等;對應點所連的線段平行且相等。旋轉:在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉。這個定點叫旋轉中心，轉動的角度叫旋轉角。旋轉的性質:旋轉后的圖形與原圖形的大小和形狀相同;旋轉前后兩個圖形的對應點到旋轉中心的距離相等;對應點到旋轉中心的連線所成的角度彼此相等。第13頁圖2(例:如圖2所示，點D、E、F分別為點A、B、C的對應點，經過旋轉，圖形上的每一點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。)特別:在等邊三角形、等腰三角形、正方形中遇分散的邊，要證明它們間的一些相關關系時，須旋轉，轉化為一個圖形中，再處理。中心對稱:把一個圖形繞著某一點旋轉1800，若它能與另一個圖形重合，則這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱。中心對稱抓住三要素:?有一個對稱中心---點?圖形繞中心旋轉1800;?旋轉后兩圖形重合。第四章軸對稱※1(如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形;這條直線叫做對稱軸。※2(角平分線上的點到角兩邊距離相等?！?(線段垂直平分線上的任意一點到線段兩個端點的距離相等?！?(角、線段和等腰三角形是軸對稱圖形。※5(等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，簡稱為“三線合一”?！?(軸對稱圖形上對應點所連的線段被對稱軸垂直平分?！?(軸對稱圖形上對應線段相等、對應角相等?！?.運用軸對稱變換求最值:拉直法求兩線段的最小路徑。(注:軸對稱圖形是對某一個圖形而言，軸對稱是對兩個圖形而言)(注:※表示重點部分;?表示了解部分;◎表示僅供參閱部分;)第五章三角形一(認識三角形1(關于三角形的概念及其按角的分類由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。注意兩點:?組成三角形的三條線段要“不在同一直線上”;如果在同一直線上，三角形就不存在;?三條線段“首尾是順次相接”，是指三條線段兩兩之間有一個公共端點，這個公共端點就是三角形的頂點。三角形按?一個三角形中至多有一個直角或一個鈍角;?一個三角形中至少有兩個內角是銳角。4(關于三角形的角平分線、中線和高?三角形的角平分線、中線和高都是線段，不是直線，也不是射線;?任意一個三角形都有三條角平分線，三條中線和三條高;?任意一個三角形的三條角平分線、三條中線都在三角形的內部。但三角形的高卻有不同的位置:銳角三角形的三條高都在三角形的內部，如圖1;直角三角形有一條高在三角形的內部，另兩條高恰好是它兩條邊，如圖2;鈍角三角形一條高在三角形的內部，另兩條高在三角形的外部，如圖3。?一個三角形中，三條中線交于一點，三條角平分線交于一點，三條高所在的直線交于一點。第14頁_C__銳角三角形D__D__直角三角形B_E__鈍角三角形D__圖1二(圖形的全等?能夠完全重合的圖形稱為全等形。全等圖形的形狀和大小都相同。只是形狀相同而大小不同，或者說只是滿足面積相同但形狀不同的兩個圖形都不是全等的圖形。三(三角形的計數:“去點法”?先固定A，找出以A為頂點的所有三角形，有?ABC?ABF?ADC三個?去掉A，找以B為頂點的所有三角形，?BDE?BEC?BDC?BFC四個?再去掉B，找以C為頂點的所有三角形，?CEF一個共8個。四(全等三角形?1(關于全等三角形的概念能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形?；ハ嘀睾系捻旤c叫做對應點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角所謂“完全重合”，就是各條邊對應相等，各個角也對應相等。因此也可以這樣說，各條邊對應相等，各個角也對應相等的兩個三角形叫做全等三角形?！?(全等三角形的對應邊相等，對應角相等。?3(全等三角形的性質經常用來證明兩條線段相等和兩個角相等。五(三角形全等的條件※1(三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”※2(有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”※3(兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”※4(兩角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”直角三角形全等的條件※1(斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。簡稱為“斜邊、直角邊”或“HL”。這只對直角三角形成立?！?(直角三角形是三角形中的一類，它具有一般三角形的性質，因而也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”來判定。直角三角形的其他判定方法可以歸納如下:?兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等;?有一個銳角和一條邊對應相等的兩個直角三角形全等。?三條邊對應相等的兩個直角三角形全等。六(作三角形1(已知兩個角及其夾邊，求作三角形，是利用三角形全等條件“角邊角”即(“ASA”)來作圖的。2(已知兩條邊及其夾角，求作三角形，是利用三角形全等條件“邊角邊”即(“SAS”)來作圖的。3(已知三條邊，求作三角形，是利用三角形全等條件“邊邊邊”即(“SSS”)來作圖的。七(三角形相關等分角的大小:第15頁若知?A，則相關角等分線形成的角的大小為:?若為角平分線:則?D=1800/2+?A/2?E=1800/2-?A/2?F=?A/2?若為角三等分線:則?D=2*1800/3+?A/3?E=2*1800/3-?A/3?F=?A/3?若為角四等分線:則?D=3*1800/4+?A/4?E=3*1800/4-?A/4?F=?A/4八(正多邊形鑲嵌條件:?頂點公共?在一個頂點處各多邊形的相似圖形一.線段的比※1.如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB,CD的長度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比AmAB:CD=m:n,或寫成ac※2.四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等于c與d的比,即那么這四條線段a、b、c、dbd叫做成比例線段,簡稱比例線段.※3.注意點:?a:b=k,說明a是b的k倍;?由于線段a、b的長度都是正數,所以k是正數;?比與所選線段的長度單位無關,求出時兩條線段的長度單位要一致;ba?除了a=b之外,a:b?b:a,與互為倒數;baacac_A_C_B?比例的基本性質:若則ad=bc;若ad=bc,則_圖1二.黃金分割※1.如圖1,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果ACBC,那么稱線段AB被點C黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與※2.黃金分割點是最優(yōu)美、最令人賞心悅目的點.四.相似多邊形?1.一般地,形狀相同的圖形稱為相似圖形.※2.對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比.五.相似三角形※1.在相似多邊形中,最為簡簡單的就是相似三角形.※2.對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應邊的比叫做相似比.※3.全等三角形是相似三角的特例,這時相似比等于1.注意:證兩個相似三角形,與證兩個全等三角形一樣,應把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.※4.相似三角形對應高的比,對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比.※5.相似三角形周長的比等于相似比.※6.相似三角形面積的比等于相似比的平方.六.探索三角形相似的條件_l_1_l_2_l_3_圖2第16頁※2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.如圖2,l1//l2//l3,則.DEEF※3.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似.八.相似的多邊形的性質※相似多邊形的周長等于相似比;面積比等于相似比的平方.九.圖形的放大與縮小※1.如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應點所在的直線都經過同一點,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形;這個點叫做位似中心;這時的相似比又稱為位似比.※2.位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比.◎3.位似變換:?變換后的圖形,不僅與原圖相似,而且對應頂點的連線相交于一點,并且對應點到這一交點的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個交點叫做位似中心.?一個圖形經過位似變換后得到另一個圖形,這兩個圖形就叫做位似形.?利用位似的方法,可以把一個圖形放大或縮小.第七章四邊形※平行四邊形的定義:兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它(((((的對角線。(((※平行四邊形的性質:平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。(邊:平行且相等，角:對角相等鄰角互補，線:互相評分交點為對稱中心)※平行四邊形的判別方法:1、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。2、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。3、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。4、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。5、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形?！叫芯€之間的距離:若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。菱形的定義:一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形?！庑蔚男再|:具有平行四邊形的所有性質,且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角。菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸?！庑蔚呐袆e方法:一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。菱形的面積:S菱形ABCD=AC*BD/2※矩形的定義:有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。第17頁※矩形的性質:具有平行四邊形的所有性質，且對角線相等，四個角都是直角。(矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸)※矩形的判定:有一個角是直角的平行四邊形叫矩形(根據定義)。有三個角是直角的四邊形是矩形。對角線相等的平行四邊形是矩形?！普?直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。正方形的定義:一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。(特別注意:正方形的旋轉變換)※正方形的性質:正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。(正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸)邊:對邊平行，四邊相等;角:四角都是直角;對角線:相等、互相垂直平分、平分一組對角。※正方形常用的判定:有一個※一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形?！妊菪蔚男再|:1、等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線相等。2、同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。3、等腰梯形是軸對稱圖形，上下底的中點連線所在直線是對稱軸等腰梯形的判定:同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形。梯形中常用輔助線:平移腰、平移對角線、延長兩腰交于一點、作梯形的高、延長頂點與一腰中點的連線交底邊于一點?！切蔚闹形痪€平行于第三邊，并且等于第三邊的一半?！鶌A在兩條平行線間的平行線段相等?！谥苯侨切沃校边吷系闹芯€等于斜邊的一半※多邊形內角和:n邊形的內角和等于(n,2)?180?※多邊形的外角和都等于360?※在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180?，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖開叫做中心對稱圖形?！行膶ΨQ圖形上的每一對對應點所連成的線段被對稱中心平分。第18頁第八章證明(一)-----命題類二.定義與命題※1.一般地,能明確指出概念含義或特征的句子,稱為定義.定義必須是嚴密的.一般避免使用含糊不清的術語,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定義中出現(xiàn).※2.可以判斷它是正確的或是錯誤的句子叫做命題(命題可以改寫成.“如果。。。那么。。。?！闭_的命題稱為真命題,錯誤的命題稱為假命題.※3.數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的,并且把它們作為判斷其他命題真假的原始依據,這樣的真命題叫做公理.※4.有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā),用邏輯推理的方法判斷它們是正確的,并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據,這樣的真命題叫做定理.?5.根據題設、定義以及公理、定理等,經過邏輯推理,來判斷一個命題是否正確,這樣的推理過程叫做證明.三.為什么它們平行※1.平行判定公理:同位角相等,兩直線平行.(并由此得到平行的判定定理)※2.平行判定定理:同旁?2.一個三角形中至多只有一個直角?3.一個三角形中至多只有一個鈍角?4.一個三角形中至少有兩個銳角六.關注三角形的外角※1.三角形總體思路:反著想，正著寫～※等腰三角形的“三線合一”:頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合?！冗吶切问翘厥獾牡妊切?，作一條等邊三角形的三線合一線，將等邊三角形分成兩個全等的直角三角形，其中一個銳角等于30o，這它所對的直角邊必然等于斜邊的一半。※有一個角等于60o的等腰三角形是等邊三角形?！绻酪粋€三角形為直角三角形首先要想的定理有:?勾股定理:(注意區(qū)分斜邊與直角邊)?在直角三角形中，如有一個222※角平分線上的點到角兩邊的距離相等?！瞧椒志€逆定理:在角圓一.車輪為什么做成圓形※1.圓的定義:描述性定義:在一個平面?點在圓?點在圓外<===>d>r.其中點在圓上的數量特征是重點，它可用來證明若干個點共圓，方法就是證明這幾個點與一個定點、的距離相等。二.圓的對稱性:※1.與圓相關的概念:?弦和直徑:弦:連接圓上任意兩點的線段叫做弦。直徑:經過圓心的弦叫做直徑。(((?弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧:弧:圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“?”表示，以CD為端點的弧記為“(((“圓弧CD”或“弧CD”。半圓:直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。((優(yōu)弧:大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。((劣弧:小于半圓的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。)((?弓形:弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。((?同心圓:圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。(((?等圓:能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。?等弧:在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。((?圓心角:頂點在圓心的角叫做圓心角.(((?弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.(((”，讀作※2.圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸?！?.垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明:根據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備:?過圓心;?垂直于弦;?平分弦;?平分弦所對的優(yōu)弧;?平分弦所對的劣弧。上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結論?！?.定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。第20頁推論:在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.三.圓周角和圓心角的關系:※1.1?的弧的概念:把頂點在圓心的周角等分成360份時,每一份的角都是1?的圓心角,相應的整個圓也被等分成360份,每一份同樣的弧叫1?弧.※2.圓心角的度數和它所對的弧的度數相等.這里指的是角度數與弧的度數相等,而不是角與弧相等.即不能寫成?AOB=,這是錯誤的.※3.圓周角的定義:頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.※4.圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.※推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等;反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等;※推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角;90?的圓周角所對的弦是直徑;※四.確定圓的條件:※1.理解確定一個圓必須的具備兩個條件:圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑決定圓的大小.經過一點可以作無數個圓,經過兩點也可以作無數個圓,其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上.※2.經過三點作圓要分兩種情況:(1)經過同一直線上的三點不能作圓.(2)經過不在同一直線上的三點,能且僅能作一個圓.※定理:不在同一直線上的三個點確定一個圓.※3.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的?d=r<===>直線L和?O相切.?d>r<===>直線L和?O相離.※3.切線的判定定理:經過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.※4.切線的性質定理:圓的切線垂直于過切點的半徑.※推論1經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點.※推論2經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.※分析性質定理及兩個推論的條件和結論間的關系,可得如下結論:如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個,就可推出第三個.?垂直于切線;?過切點;?過圓心.※5.三角形的(1)三角形的垂心:三條高的交點。第21頁六.圓和圓的位置關系.※1.外離、外切、相交、(2)兩圓外切<===>d=R+r(3)兩圓相交<===>R-r<d<R+r(R?r)(4)兩圓(5)兩圓弧長表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數)180※3.扇形定義:一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.※4.弓形定義:由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.※5.圓的面積公式:圓的面積表示圓的半徑)※6.扇形的面積公式::扇形的面積S扇形※弓形的面積公式:(如圖5)表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數)或S扇形=lR/2360圖5(1)當弓形所含的弧是劣弧時,S弓形扇形三角形(2)當弓形所含的弧是優(yōu)弧時,S弓形扇形三角形(3)當弓形所含的弧是半圓時,S弓形扇形2八.圓錐的有關概念:※1.圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉一周而形成的圖形,另一條直角邊旋轉而成的面叫做圓錐的底面,斜邊旋轉而成的面叫做圓錐的側面.※2.圓錐的側面展開圖與側面積計算:圓錐的側面展開圖是一個扇形,這個扇形的半徑是圓錐側面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點.如果設圓錐底面半徑為r,側面母線長(扇形半徑)是l,底面圓周長(扇形弧長)為c,那么它的側面積是:11S側表側底面?九.與圓有關的輔助線(連圓心、垂徑定理、圓心角—圓周角)1.如圓中有弦的條件,常作弦心距,或過弦的一端作半徑為輔助線.第22頁2.如圓中有直徑的條件,可作出直徑上的圓周角.3.如一個圓有切線的條件,常作過切點的半徑(或直徑)為輔助線.4.若條件交代了某點是切點時,連結圓心和切點是最常用的輔助線.?十.圓?圓?圓內接四邊形任意一個外角等于它的內錯角.※十一.有關圓的性質定理1.切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。如圖6，?PA，PB分別切?O于A、B?PA=PB，PO平分?APB2(弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。推論:如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。如圖7，CD切?O于C，則，?ACD=?B3(和圓有關的比例線段:?相交弦定理:圓內的兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的積相等;?推論:如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。如圖8，AP?PB=CP?PD如圖9，若CD?AB于P，AB為?O直徑，則CP2=AP?PB4(切割線定理?切割線定理，從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項;?推論:從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。如圖10，?PT切?O于T，PA是割線，點A、B是它與?O的交點，則PT2=PA?PB?PA、PC是?O的兩條割線，則PD?PC=PB?PA5(兩圓連心線的性質?如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，或者說，連心線過切點。?如果兩圓相交，那么連心線垂直平分兩圓的公共弦。如圖11，?O1與?O2交于A、B兩點，則連心線O1O2?AB且AC=BC。6(兩圓的公切線兩圓的兩條外公切線的長及兩條內公切線的長相等。如圖12，AB分別切?O1與?O2于A、B，連結O1A，O2B，過O2作O2C?O1A于C，公切線長為l，兩圓的圓心距為d，半徑分別為R，r則外公切線長:如圖13，AB分別切?O1與?O2于A、B，O2C?AB，O2C?O1C于C，?O1半徑為R，?O2半徑為r，則內公切線長:_10圖_D圖8_9圖_12圖_B_11圖第十章豐富的圖形世界圓柱:底面是圓面，側面是曲面柱體，側面是正方形或長方形棱體:底面是多邊形，側面是曲面圓錐:底面是圓面?2.錐體，側面都是三角形棱錐:底面是多邊形?3.球體:由球面圍成的(球面是曲面)?4.幾何圖形是由點、線、面構成的。?幾何體與外界的接觸面或我們能看到的外表就是幾何體的表面。幾何的表面有平面和曲面;?面與面相交得到線;?線與線相交得到點?！?.棱:在棱柱中，任何相鄰兩個面的交線都叫做棱。(※6.側棱:相鄰兩個側面的交線叫做側棱，所有側棱長都相等。((?7.棱柱的上、下底面的形狀相同，側面的形狀都是長方形。?8.根據底面圖形的邊數，人們將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它們底面圖形的形狀分別為三邊形、四邊形、五邊形、六邊形……?9.長方體和正方體都是四棱柱。?10.圓柱的表面展開圖是由兩個相同的圓形和一個長方形連成。?11.圓錐的表面展開圖是由一個圓形和一個扇形連成?！?2.設一個多邊形的邊數為n(n?3，且n為整數)，從一個頂點出發(fā)的對角線有(n-3)條;可以把n邊形成(n-2)個三角形;這個n邊形共有條對角線。2◎13.圓上兩點之間的部分叫做弧，弧是一條曲線。(◎14.扇形，由一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形。?15.凸多邊形和凹多邊形都屬于多邊形。有弧或不封閉圖形都不是多邊形。?16.設正多邊形的邊長為an,半徑為R，邊心距rn,為中心角αn則有:))R2=rn2+((an/2)2正邊形的中心角:αn=3600/n正邊形的周長Pn=nan正邊形的面積Sn=nrnan/2=Pnrn,/2三、立體幾何第一章視圖與投影※三視圖包括:主視圖、俯視圖和左視圖。三視圖之間要保持長對正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫在主視圖的下方，左視圖要畫在正視圖的右邊。主視圖:基本可認為從物體正面視得的圖象俯視圖:基本可認為從物體上面視得的圖象左視圖:基本可認為從物體左面視得的圖象※視圖中每一個閉合的線框都表示物體上一個表面(平面或曲面)，而相連的兩個閉合線框一定不在一個平面上?！谝粋€外形線框內所包括的各個小線框，一定是平面體(或曲面體)上凸出或凹的各個小的平面體(或曲面體)。※在畫視圖時，看得見的部分的輪廓線通常畫成實線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影。((太陽光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。((((探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。((((※區(qū)分平行投影和中心投影:?觀察光源;?觀察影子。眼睛的位置稱為視點;由視點發(fā)出的線稱為視線;眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。((((((※從正面、上面、側面看到的圖形就是常見的正投影，是當光線與投影垂直時的投影。第24頁?點在一個平面上的投影仍是一個點;?線段在一個面上的投影可分為三種情況:線段垂直于投影面時，投影為一點;線段平行于投影面時，投影長度等于線段的實際長度;線段傾斜于投影面時，投影長度小于線段的實際長度。?平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況:平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實際形狀;平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段;平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實際的形狀。四、平面解析幾何第一章平面直角坐標系※平面直角坐標系概念:在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系，水平的數軸叫x軸或橫軸;鉛垂的數軸叫y軸或縱軸，兩數軸的交點O稱為原點?！c的坐標:在平面內一點P，過P向x軸、y軸分別作垂線，垂足在x軸、y軸上對應的數a、b分別叫P點的橫坐標和縱坐標，則有序實數對(a、b)叫做P點的坐標?！谥苯亲鴺讼抵腥绾胃鶕c的坐標，找出這個點(如圖4所示)，方法是由P(a、b)，在x軸上找到坐標為a的點A，過A作x軸的垂線，再在y軸上找到坐標為b的點B，過B作y軸的垂線，兩垂線的交點即為所找的P點?！绾胃鶕阎獥l件建立適當的直角坐標系,根據已知條件建立坐標系的要求是盡量使計算方便，一般地沒有明確的方法，但有以下幾條常用的方法:?以某已知點為原點，使它坐標為(0,0);?以圖形中某線段所在直線為x軸(或y軸);?以已知線段中點為原點;?以兩直線交點為原點;?利用圖形的軸對稱性以對稱軸為y軸等。※圖形“縱橫向伸縮”的變化規(guī)律:A、將圖形上各個點的坐標的縱坐標不變，而橫坐標分別變成原來的n倍時，所得的圖形比原來的圖形在橫向:?當n>1時，伸長為原來的n倍;?當0<n<1時，壓縮為原來的n倍。B、將圖形上各個點的坐標的橫坐標不變，而縱坐標分別變成原來的n倍時，所得的圖形比原來的圖形在縱向:?當n>1時，伸長為原來的n倍;?當0<n<1時，壓縮為原來的n倍。※圖形“縱橫向位置”的變化規(guī)律:A、將圖形上各個點的坐標的縱坐標不變，而橫坐標分別加上a，所得的圖形形狀、大小不變，而位置向右(a>0)或向左(a<0)平移了|a|個單位。B、將圖形上各個點的坐標的橫坐標不變，而縱坐標分別加上b，所得的圖形形狀、大小不變，而位置向上(b>0)或向下(b<0)平移了|b|個單位?！鶊D形“倒轉與對稱”的變化規(guī)律:第25頁A、將圖形上各個點的橫坐標不變，縱坐標分別乘以-1，所得的圖形與原來的圖形關于x軸對稱。B、將圖形上各個點的縱坐標不變，橫坐標分別乘以-1，所得的圖形與原來的圖形關于y軸對稱?！鶊D形“擴大與縮小”的變化規(guī)律:將圖形上各個點的縱、橫坐標分別變原來的n倍(n>0)，所得的圖形與原圖形相比，形狀不變;?當n>1時，對應線段大小擴大到原來的n倍;?當0<n<1時，對應線段大小縮小到原來的n倍。第二章一次函數若兩個變量x,y間的關系式可以表示成y=kx+b(k?0)的形式,則稱y是x的一次函數(x為自變量,y為因變量)。特別地,當b=0時,稱y是x的正比例函數。(K、B的含義)※正比例函數y=kx(0,0)的一條直線?！谝淮魏瘮祔=kx+b中:當k>0時,y隨x的增大而增大;當k<0時,y隨x的增大而減小。一次函數必須滿足二個條件:?k?0?自變量x的指數是1函數的三種表示方法:圖象法，列表法，解析法※函數的定義域三原則:1、表達式中分母不能為零，2、偶次根式的被開方數必須非負3、使實際問題有意義。第三章反比例函數※反比例函數的概念:一般地，k(k為常數，k?0)叫做反比例函數，即y是x的反比例函數。xk(x為自變量，y為因變量，其中x不能為零)※反比例函數的等價形式:y是x的反比例函數?變量y與x成反比例，比例系數為k.※判斷兩個變量是否是反比例函數關系有兩種方法:?按照反比例函數的定義判斷;?看兩個變量的乘積是否為定值<即。(通常第二種方法更適用)※反比例函數的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線※反比例函數的畫法的注意事項:?反比例函數的圖象不是直線，所“兩點法”是不能畫的;?選取的點越多畫的圖越準確;?畫圖注意其美觀性(對稱性、延伸特征)?！幢壤瘮敌再|:?當k>0時，雙曲線的兩支分別位于一、三象限;在每個象限點P(x,y)在雙曲線上都有S矩形11(K的含義:曲線上任意一點與原點所圍成的矩形的面積)第26頁第四章二次函數※二次函數的概念:形如、、b、是常數，的函數，叫做x的二次函數。自變量的取值范圍((((是全體實數。是二次函數的特例，此時常數b=c=0.※寫二次函數的關系式時，一定要尋找兩個變量之間的等量關系，列出相應的函數關系式，并確定自變量的取值范圍。((((((((※二次函數y,ax2的圖象是一條頂點在原點關于y軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。(((把握兩點:1)自變量的最高次數是2;2)二次項系數a?0描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高(或最低)點、拋物線與x軸的交點等方面來描述。?函數的定義域是全體實數;?拋物線的頂點在(0，0)，對稱軸是y軸(或稱直線x,0)。?當a,0時，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當a,0時，拋物線開口向下，并且向下方無限伸展。?函數的增減性:時,y隨x增大而減小時,y隨x增大而增大A、當a,0時、當a,0時時,y隨x增大而增大時,y隨x增大而減小?當,a,越大，拋物線開口越小;當,a,越小，拋物線的開口越大。?最大值或最小值:當a,0，且x,0時函數有最小值，最小值是0;當a,0，且x,0時函數有最大值，最大值是0(※二次函數的圖象是一條頂點在y軸上且與y軸對稱的拋物線※二次函數的圖象是以為對稱軸，頂點在(，)的拋物線。(開口方向和大2a2a4a2小由a來決定)※|a|的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y軸，y隨x增長(或下降)速度越快;|a|的越小，拋物線的開口程度越大，越遠離對稱軸y軸，y隨x增長(或下降)速度越慢?！魏瘮档膱D象中，a的符號決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線的開口程度大小，c決定拋物線的頂點位置，即拋物線位置的高低?！魏瘮档膱D象與y,ax2的圖象的關系:的圖象可以由y,ax2的圖象平移得到，其步驟如下:?將配方成的形式;(其中，k=);2a4a22?把拋物線向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|個單位，得到y(tǒng)=a(x-h)2的圖象;?再把拋物線向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|個單位，便得到的圖象?！魏瘮档男再|:二次函數配方成則拋物線的2a4a22?對稱軸:?頂點坐標:(，)2a2a4a第27頁?增減性:若a>0，則當若a<0，則當時，y隨x的增大而減小;當x>時，y隨x的增大而增大。(((((((((((2a2abb時，y隨x的增大而增大;當x>時，y隨x的增大而減小。(((((((((((2a2a?最值:若a>0，則當時，y最小;若a<0，則當時，y最大2a2a4a4a※畫二次函數的圖象:我們可以利用它與函數的關系，平移拋物線而得到，但往往我們采用簡化了的描點法----五點法來畫二次函數來畫二次函數的圖象，其步驟如下:?先找出頂點(，)，畫出對稱軸;2a2a4ab對稱的四個點(如與坐標的交點等);2a?把上述五點連成光滑的曲線。?找出圖象上關于直線?二次函數的最大值或最小值可以通過將解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助圖象觀察。?解決最大(小)值問題的基本思路是:?理解問題;?分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關系;?用數學的方式表示它們之間的關系;?做數學求解;?檢驗結果的合理性、拓展性等?！魏瘮档膱D象(拋物線)與x軸的兩個交點的橫坐標x1，x2是對應一元二次方程的兩個實數根※拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定:拋物線與x軸有2個交點;拋物線與x軸有1個交點;拋物線與x軸有0個交點(無交點);※當時，設拋物線與x軸的兩個交點為A、B，則這兩個點之間的距離:化簡后即為:------這就是拋物線與x軸的兩交點之間的距離公式。|a|※二次函數中a的含義:正負，開口方向，大小，開口大小;b的含義:由a一起決定對稱軸;c的含義:決定與y軸的交點?！魏瘮档娜N形式:一般式:頂點式:交點式:y=a(x-m)(x-n)第28頁五、概率與統(tǒng)計第一章數據的收集整理與描述一.每周干家務活的時間※1.所要考察的對象的全體叫做總體;把組成總體的每一個考察對象叫做個體;從總體中取出的一部分個體叫做這個總體的一個樣本.※2.為一特定目的而對所有考察對象作的全面調查叫做全面調查(普查)為一特定目的而對部分考察對象作的調查叫做抽樣調查.(隨機抽樣、分層抽樣)二.數據的收集※1.抽樣調查的特點:調查的范圍小、節(jié)省時間和人力物力優(yōu)點.但不如普查得到的調查結果精確,它得到的只是估計值.而估計值是否接近實際情況還取決于樣本選得是否有代表性.※數據描述:統(tǒng)計圖。統(tǒng)計圖的特點:折線統(tǒng)計圖:能夠清晰地反映同一事物在不同時期的變化情況。條形統(tǒng)計圖:能夠清晰地反映每個項目的具體數目及之間的大小關系。扇形統(tǒng)計圖:能夠清晰地表示各部分在總體中所占的百分比及各部分之間的大小關系※統(tǒng)計圖對統(tǒng)計的作用:(1)可以清晰有效地表達數據。(2)可以對數據進行分析。(3)可以獲得許多的信息。(4)可以幫助人們作出合理的決策。?3(統(tǒng)計工作包括:?設定目標;?收集數據;?整理數據;?表達與描述數據;?分析結果。第二章科學計數法※科學記數法:一般地，一個大于10的數可以表示成a×10n的形式，其中1?a<10，n是正整數，這種記數方法叫做科(8-9學記數法?？茖W記數法的形式不能改變有效數字的個數和精確度。1億=101納米=10米((((5確定n?將要表示的數的小數點左移幾位，使a符合要求，?大于10的位數減1即得n例612000=6.12х10※(利用四舍五入法取一個數的近似數時，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位，如0.035，精確到千分位或精確到0.001;對于一個近似數，從左邊第一個不是0的數字起，到精確到的數位止，所有的數字都叫做這個數的有效數字，如0.0201020的有效數值有6位。523精確到個位，有3個有效數字:5，2，35.4萬(54000)精確到千位，有2個有效數字5,42.82х