本章主要內(nèi)容

傅立葉級數(shù)及周期信號頻譜特點(diǎn)；傅立葉變換的概念；

DFT的概念及其公式推導(dǎo)；頻譜混迭現(xiàn)象及采樣定理；時(shí)域有限化和頻譜泄漏；抑制頻譜泄漏、柵欄效應(yīng)的措施

DFT參數(shù)選擇。6.信號分析與處理

信號的頻譜分析是揭示信號在頻域特征的信號分析方法。理論依據(jù)：由法國工程師傅立葉于1807年提出的，后人稱為傅立葉分析理論。概述6.1

傅立葉級數(shù)6.1.1傅立葉級數(shù)的基本思想任一周期函數(shù)（信號）都可由基波及與基波頻率成整數(shù)倍的幅值不同的三角函數(shù)合成，稱之為傅立葉級數(shù)。對非周期函數(shù)，若是時(shí)限的，則將函數(shù)以其持續(xù)時(shí)間為周期，對信號進(jìn)行周期延拓，變成周期信號后，可用傅立葉級數(shù)展開。

設(shè)為一周期信號并滿足狄里赫利條件，則可用傅立葉級數(shù)展開，展開形式分實(shí)數(shù)（三角函數(shù)）形式和復(fù)數(shù)形式。6.1.2

傅里葉級數(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)形式稱為幅頻譜；信號中的m次諧波分量的幅值；信號中的m次諧波分量的初相角；稱為相頻傅立葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式

式中為傅里葉級數(shù)系數(shù)，也稱頻譜系數(shù)。記為

6.1.3周期信號的頻譜特點(diǎn)離散性諧波性收斂性物理解釋6.2傅立葉變換和非周期信號頻譜由傅立葉級數(shù)推導(dǎo)出傅立葉變換公式

非周期信號頻譜的特點(diǎn)離散譜連續(xù)譜6.3

離散傅里葉變換（DFT）

6.3.1

基本概念

離散傅立葉變換是傅立葉變換CFT經(jīng)過時(shí)域和頻域有限化和離散化處理后導(dǎo)出的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)分析信號頻譜的公式。它實(shí)際來源于CFT。6.3.2離散傅立葉變換式的推導(dǎo)

在理解對信號在時(shí)域上離散化和有限化處理過程的基礎(chǔ)上，加深對采樣定理、頻譜泄漏、柵欄效應(yīng)等物理概念的理解，從而掌握對信號進(jìn)行頻譜分析時(shí)各主要參數(shù)的選擇方法。

先將CFT的正、逆公式合寫為：

對信號在時(shí)域上進(jìn)行離散化：

采樣的長度是有限的，信號長度為：

頻域上離散化：

顯然輸出最高頻率為：其它：代入（1）式中得：得正、逆離散傅立葉變換式：DFT：IDFT：

原連續(xù)信號在時(shí)域離散化后所得信號與原信號的頻譜是否一致？都相應(yīng)發(fā)生那些變化？

采樣周期如何選擇？對信號進(jìn)行時(shí)域有限化處理后所得信號頻譜會發(fā)生那些變化？

采樣長度L如何選擇？思考6.4

頻譜混迭與采樣定理6.4.1

頻譜混迭

（a）無混疊現(xiàn)象（）（b）頻譜混疊(）

為保證采樣后信號能真實(shí)地保留原始模擬信號信息，信號采樣頻率必須至少為原信號中最高頻率成分的2倍。稱為采樣定理。即：

信號經(jīng)采樣后，其頻譜為原信號頻譜的周期延拓，延拓的周期為，且在幅值上為原信號頻譜幅值的倍。若連續(xù)信號的最高頻率為,則當(dāng)時(shí)，頻域波形會產(chǎn)生混疊。香農(nóng)采樣定理抑制頻譜混疊的方法：

采樣定理：加預(yù)濾波器傳感器預(yù)濾波器放大器數(shù)采卡用于降低被測信號的最高頻率截止頻率：限制X(t)的高頻上限容易實(shí)現(xiàn)，避免過高苛刻要求6.5

時(shí)域有限化與頻譜泄漏6.5.1

頻譜泄漏產(chǎn)生的原因

以余弦信號為例，說明對一個(gè)非時(shí)限信號進(jìn)行有限化處理所引起的泄漏問題。能量集中在處，高度為無限大由全部能量集中在處，分散到全部頻率軸上。信號x(t)的頻譜X()就是將(t)的頻譜沿頻率軸搬移

截短（有限化處理），就等于將該序列乘以一個(gè)矩形窗:

利用歐拉公式，可進(jìn)一步表示為：

根據(jù)頻移特性可得:

頻域曲線產(chǎn)生很多“皺紋”，頻率分量增加；如信號為兩幅值一大一小頻率很接近的余弦波形合成，當(dāng)其中一個(gè)小幅值余弦波的主瓣落入大幅值余弦波的第一負(fù)旁瓣內(nèi)時(shí)，其主瓣將被“吞沒”。因而會產(chǎn)生分析誤差；頻譜泄漏所帶來的問題頻譜泄漏現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)演示6.５.2泄漏的抑制措施1、增大采樣（截?cái)啵╅L度信號的采樣長度增長，近似為0.3秒，對應(yīng)的頻譜所產(chǎn)生的泄漏現(xiàn)象明顯減小。信號的采樣長度為0.06秒，對應(yīng)的頻譜產(chǎn)生明顯的泄漏現(xiàn)象。50Hz的方波信號2、合理選擇窗函數(shù)：應(yīng)當(dāng)選擇主瓣窄而旁瓣衰減較大的窗函數(shù)。常用的窗函數(shù)有漢寧窗、三角窗、哈明窗等。

3、合理選擇截取長度：保證采樣長度是信號周期的整數(shù)倍6.6

柵欄效應(yīng)

如果是非周期函數(shù)，其頻譜是連續(xù)的，經(jīng)采樣和DFT運(yùn)算，得到的頻譜則是離散的，那么，離散譜線之間的頻率分量就被“擋住”而損失掉，這種效應(yīng)稱為柵欄效應(yīng)。

周期函數(shù)也同樣存在柵欄效應(yīng)。譜線間隔

抑制措施：增大采樣長度L；頻譜泄露舉例設(shè)余弦信號的頻率為f0=100Hz，為方便起見，以f為橫軸畫X(f)頻譜圖（1）采樣點(diǎn)數(shù)N＝256，采樣間隔T=78.125

s，且頻譜圖X(f)-f如圖1－25所示，則可計(jì)算得到下列數(shù)據(jù)：半帶寬=

譜線間隔=可輸出譜線：0，50，100，150，200，……（Hz）共256條；其中過零點(diǎn)的譜線：0，50，150，200，……（Hz）；實(shí)際輸出普線：100Hz，故無柵欄效應(yīng)也無泄漏。2）采樣點(diǎn)數(shù)N＝256，采樣間隔T’＝100

s

半帶寬=譜線間隔=可輸出譜線：0，39，78，117，156，……（Hz）；過零點(diǎn)的譜線：22，61，139，178，……（Hz）(以f0

為中心，向兩邊遞減39Hz而得）；實(shí)際輸出譜線：可輸出譜線全部輸出。然而，信號得頻率f0=100Hz譜線卻被柵欄擋住未能檢測出來，而實(shí)際輸出譜線0，39，78，117，156……（Hz）均是泄漏引起的，它們不是信號的真正譜線，如下下所示。

（3）N’=512,T’’=100

s

半帶寬=譜線間隔=半帶譜線間隔故可輸出譜線：0，19.5，39，58.5，78，97.5，117，136.5……（Hz）；過零點(diǎn)譜線：2.5，22，41.5，61，80.5，119.5，139，……（Hz）；可輸出譜線全部輸出這個(gè)情況下，既存在柵欄效應(yīng)，也存在泄漏，但譜線97.5Hz已經(jīng)很接近信號實(shí)譜線100Hz，由泄漏引入的譜線均接近零點(diǎn)，數(shù)值很小。為了防止產(chǎn)生泄漏，應(yīng)使窗長為信號周期整數(shù)倍。6.7DFT參數(shù)選擇原則根據(jù)采樣定理選擇采樣周期Ts；：根據(jù)頻譜分辨力的要求選擇采樣長度L：若是周期信號，調(diào)節(jié)L使其為信號周期的整數(shù)倍使采樣點(diǎn)數(shù)N滿足2的冪次方，以實(shí)現(xiàn)DFT運(yùn)算；選擇原則例題信號由三個(gè)正弦組成，其頻率分別是即：信號頻譜，試確定相關(guān)參數(shù)。用DFT分析解：為使不發(fā)生頻譜混疊，根據(jù)采樣定理得：選定＝10Hz，即＝0.1s進(jìn)行采樣。欲分辨出三個(gè)頻率，則頻譜分辨率必須滿足：采樣點(diǎn)數(shù)為了能應(yīng)用FFT算法，采樣點(diǎn)數(shù)可選為512。