統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)一、總體與樣本（一）總體與個(gè)體在一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題中，稱研究對(duì)象的全體為總體，構(gòu)成總體的每個(gè)成員稱為個(gè)體。若關(guān)心的是研究對(duì)象的某個(gè)數(shù)量指標(biāo)，那么將每個(gè)個(gè)體具有的數(shù)量指標(biāo)稱為個(gè)體，這樣一來，總體就是某數(shù)量指標(biāo)值的全體（即一堆數(shù)），這一堆數(shù)有一個(gè)分布，從而總體可用一個(gè)分布描述，簡(jiǎn)單地說，總體就是一個(gè)分布。統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要任務(wù)就是：（1）研究總體是什么分布？（2）這個(gè)總體（即分布）的均值、方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）是多少？［例L3T］（1）對(duì)某產(chǎn)品僅考察其合格與否，記合格品為0,不合格品為1,那么：總體二｛該產(chǎn)品的全體｝二｛由0或1組成的一堆數(shù)｝,這一堆數(shù)的分布是什么呢？若記1在總體中所占比例為P,則該總體可用二點(diǎn)分布b（l,p）（n=l的二項(xiàng)分布）表示：X01P比如，有兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品，甲廠的不合格品率，乙廠的不合格品率，甲乙兩廠所生產(chǎn)的產(chǎn)品（即兩個(gè)總體）分別用如下兩個(gè)分布描述：X甲01PX乙01P如此認(rèn)識(shí)總體，既能看到總體的本質(zhì)，又能看到不同總體的差別。（2）考察某橡膠件的抗張強(qiáng)度，它可用0到8上一個(gè)實(shí)數(shù)表示，這時(shí)總體可用區(qū)間［0,8）上的一個(gè)概率分布表示。國(guó)內(nèi)外橡膠業(yè)對(duì)其抗張強(qiáng)度有較多研究，認(rèn)為橡膠件的抗張強(qiáng)度服從正態(tài)分布，該總體常稱為正態(tài)總體。這時(shí)統(tǒng)計(jì)要研究的問題是：正態(tài)均值是多少？正態(tài)分布方差是多少？又如若對(duì)橡膠件進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)，如通過改進(jìn)配料，提高了該橡膠件抗張強(qiáng)度的均值。這時(shí)我們要研究的問題是：技術(shù)改進(jìn)前后的正態(tài)均值有多大改變？（3）用非對(duì)稱分布（即偏態(tài)分布）描述的總體也是常見的。比如某型號(hào)電視機(jī)壽命的全體所構(gòu)成的總體就是一個(gè)偏態(tài)分布（二）樣本從總體中抽取部分個(gè)體所組成的集合稱為樣本。樣本中的個(gè)體有時(shí)也稱為樣品，樣本中所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本量，常用n表示。人們從總體中抽取樣本是為了認(rèn)識(shí)總體，即從樣本推斷總體，如推斷總體是什么類型的分布？總體均值為多少？總體的標(biāo)準(zhǔn)差是多少？為了使此種統(tǒng)計(jì)推斷有所依據(jù)，推斷結(jié)果有效，對(duì)樣本的抽取應(yīng)有所要求。滿足下面兩個(gè)條件的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱隨機(jī)樣本。(1)隨機(jī)性?？傮w中每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)入樣。比如，按隨機(jī)性要求抽出5個(gè)樣品，記為，則其中每一個(gè)個(gè)體的分布都應(yīng)與總體分布相同。只要隨機(jī)抽樣就可保證此點(diǎn)實(shí)施。(2)獨(dú)立性。從總體中抽取的每個(gè)個(gè)體對(duì)其他個(gè)體的抽取無任何影響。假如總體是無限的，獨(dú)立性容易實(shí)現(xiàn)；若總體很大，特別地，與樣本量n相比是很大時(shí)，即使總體是有限的，此種抽樣獨(dú)立性也可得到基本保證。綜上兩點(diǎn)，隨機(jī)樣本可以看做n個(gè)相互獨(dú)立的、同分布的隨機(jī)變量，每一個(gè)個(gè)體的分布與總體分布相同。今后討論的樣本都是指滿足這些要求的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。在實(shí)際中抽樣時(shí)，也應(yīng)按此要求從總體中進(jìn)行抽樣。這樣獲得的樣本能夠很好地反映實(shí)際總體。圖1.3-3顯示兩個(gè)不同的總體，圖上用虛線畫出的曲線是兩個(gè)未知總體。若是按隨機(jī)性和獨(dú)立性要求進(jìn)行抽樣，則機(jī)會(huì)大的地方(概率密度值大)被抽出的樣品就多；而機(jī)會(huì)少的地方(概率密度值小)，被抽出的樣品就少。分布愈分散，樣本也很分散；分布愈集中，樣本也相對(duì)集中。抽樣切忌受到干擾，特別是人為干擾。某些人為的傾向性會(huì)使所得樣本不是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，從而使最后的統(tǒng)計(jì)推斷失效。若是從總體X中獲得的樣本，那么是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。樣本的觀測(cè)值用表示，這也是我們常說的數(shù)據(jù)。有時(shí)，為了方便起見，不分大寫與小寫，樣本及其觀測(cè)值都用表示，今后將采用這一方法表示。［例1.3-2］樣本的例子及表示方法。(1)某食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)生產(chǎn)凈重為345g的午餐罐頭。由于生產(chǎn)中眾多因素的干擾，每只罐頭凈重都有差別，現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽10個(gè)罐頭，稱其凈重，得：344336345342340338344348344346這就是樣本量為10的一個(gè)樣本，它是來自該生產(chǎn)線上罐頭凈重這個(gè)總體的一個(gè)樣本。(2)某型號(hào)的20輛汽車記錄了各自每加侖汽油行駛的里程數(shù)(單位：km)如下：29.827.628.328.727.930.129.928.028.727.928.529.527.226.928.427.928.030.029.629.1這是來自該型號(hào)汽車每加侖汽油行駛里程這個(gè)總體的一個(gè)樣本，樣本量是20o（3）（分組樣本）對(duì)363個(gè)零售商店調(diào)查其周零售額（單位：千元）的結(jié)果如下表1.3-1所示：表1.3-1周零售額的調(diào)查結(jié)果（單位：千元）零售額（1,5]（5,10]（10,20]（20,30]商店數(shù)這是一個(gè)樣本量為363的樣本，對(duì)應(yīng)的總體是該地區(qū)全部零售商店的周零售額。這個(gè)樣本與前兩個(gè)樣本不同，它僅給出樣本所在區(qū)間，沒有給出具體的零售額。這樣做雖會(huì)失去一些信息，但要準(zhǔn)確獲得每個(gè)零售店的周零售額并非易事，能做到的是把區(qū)間再縮小一些。這種樣本稱為分組樣本。在樣本量n很大時(shí)，比如幾百甚至上千個(gè)，羅列所有數(shù)據(jù)非常不便，且使人眼花繚亂，不得要領(lǐng)，這時(shí)可把樣本作初步整理轉(zhuǎn)化為分組樣本并加以表達(dá)，這樣可立即給人一個(gè)大致的印象。以后在作頻率直方圖時(shí),也要用到這個(gè)方法。（4）（有序樣本）設(shè)是從某總體隨機(jī)抽取的一個(gè)樣本。將它們按從小到大的順序排列為，這便是有序樣本。比如，在本例中（I）的樣本量為10的樣本，經(jīng)排序可得如下的有序樣本：從有序樣本可獲得一些有用信息。比如，樣本中的最小值為，最大值為，兩者之差，即樣本極差。這些量對(duì)我們認(rèn)識(shí)生產(chǎn)線都是有幫助的。二、頻數(shù)（頻率）直方圖（一）直方圖的作法為研究一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況，需要研究它的某個(gè)質(zhì)量特性（這里為了敘述簡(jiǎn)單起見，僅討論一個(gè)質(zhì)量特性，有必要時(shí)也可以同時(shí)討論多個(gè)質(zhì)量特性）X的變化規(guī)律。為此，從這批產(chǎn)品（總體）中抽取一個(gè)樣本（設(shè)樣本量為n）,對(duì)每個(gè)樣本產(chǎn)品進(jìn)行該特性的測(cè)量（觀測(cè)）后得到一組樣本觀測(cè)值，記為，這便是我們通常說的數(shù)據(jù)。為了研究數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的加工整理。直方圖是為研究數(shù)據(jù)變化規(guī)律而對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理的一種基本方法。下面用一個(gè)例子來說明直方圖的概念及其作法。[例1.3-3]食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)生產(chǎn)罐頭食品，從一批罐頭中隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行稱量，獲得罐頭的凈重?cái)?shù)據(jù)如下：342352346344343339336342347340347346346345344350348352340356339348338342347347344343349341346344344344343345345350353345352350345343347354350343350344342335349348344347341346341342為了解這組數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，對(duì)數(shù)據(jù)作如下整理：(1)找出這組數(shù)據(jù)中的最大值，及最小值，計(jì)算它們的差R=-,R稱為極差，也就是這組數(shù)據(jù)的取值范圍。在本例中=356,,=332,從而R=356-332=24o(2)根據(jù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，即樣本量n,決定分組數(shù)k及組距h。一批數(shù)據(jù)究竟分多少組，通常根據(jù)n的多少而定，不過這也不是絕對(duì)的，表1.3-2是可以參考的分組數(shù)。表1.3?2直方圖分組組數(shù)選用表樣本量推薦組數(shù)50-100101-250250以上6-107-1210-20選擇k的原則是要能顯示出數(shù)據(jù)中所隱藏的規(guī)律，組數(shù)不能過多，但也不能太少。每一組的區(qū)間長(zhǎng)度，稱為組距。組距可以相等，也可以不相等。組距相等的情況用得比較多，不過也有不少情形在對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)最大及最小的一個(gè)或兩個(gè)組，使用與其他組不相等的組距。對(duì)于完全相等的組距，通常取組距h為接近R/k的某個(gè)整數(shù)值。在本例中，n=100,取k=9,R/k=24/9=2.7,故取組距h=3。(3)確定組限(即每個(gè)區(qū)間的端點(diǎn))及組中值。為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)可能同時(shí)屬于兩個(gè)組，因此通常將各組的區(qū)間確定為左開右閉的：通常要求，。在等距分組時(shí)，而每一組的組中值。在本例中取=331.5,則每組的組限及組中值。⑷計(jì)算落在每組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)及頻率確定分組后，統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，即落在組中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)以及頻率，列出每組的頻數(shù)、頻率表。（5）作頻數(shù)頻率直方圖在橫軸上標(biāo)上每個(gè)組的組限，以每一組的區(qū)間為