2021年山東省煙臺(tái)市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共12個(gè)小題，每小題3分，滿分36分）每小題都給出標(biāo)號(hào)為A,B,C,D四個(gè)備選答案，其中有且只有一個(gè)是正確的1．（3分）若x的相反數(shù)是3，則x的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±32．（3分）下列數(shù)學(xué)符號(hào)中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．a(chǎn)2+a3＝a5 C．（a2）3＝a6 D．a(chǎn)2÷a3＝a4．（3分）一個(gè)正方體沿四條棱的中點(diǎn)切割掉一部分后，如圖所示，則該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．5．（3分）2021年5月15日，天問一號(hào)探測(cè)器成功著陸火星，邁出了我國(guó)星際探測(cè)征程的重要一步．已知火星與地球的近距離約為5500萬(wàn)公里，5500萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.55×108 B．5.5×107 C．55×106 D．5.5×1036．（3分）一副三角板如圖放置，兩三角板的斜邊互相平行，每個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)都在另一個(gè)三角板的斜邊上，圖中∠α的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．75° D．85°7．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0），∠BCD＝120°，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）8．（3分）如圖所示，若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，其按鍵順序及結(jié)果如下：按鍵的結(jié)果為m；按鍵的結(jié)果為n；按鍵的結(jié)果為k．下列判斷正確的是（）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k9．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則這個(gè)方程的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定10．（3分）連接正六邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，并將中間的六邊形涂成黑色，制成如圖所示的鏢盤，將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在黑色區(qū)域的概率為（）A． B． C． D．11．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．下列結(jié)論：①ac＞0；②當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12．（3分）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，則OG的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為．14．（3分）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為米．15．（3分）幻方歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書”．把洛書用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來，就是一個(gè)三階幻方．將數(shù)字1～9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都是15，則a的值為．16．（3分）數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測(cè)量學(xué)校旗桿高度，已知無人機(jī)的飛行高度為40米，當(dāng)無人機(jī)與旗桿的水平距離是45米時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30°，則旗桿的高度約為米．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）17．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則sin∠ACB的值是．18．（3分）綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小亮將一張面積為24cm2，其中一邊BC為8cm的銳角三角形紙片（如圖1），經(jīng)過兩刀裁剪，拼成了一個(gè)無縫隙、無重疊的矩形BCDE（如圖2），則矩形的周長(zhǎng)為cm．三、解答題（本大題共7個(gè)小題，滿分66分19．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：，從﹣2＜x≤2中選出合適的x的整數(shù)值代入求值．20．（8分）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年．為普及黨史知識(shí)，培養(yǎng)愛國(guó)主義精神，今年五月份，某市黨校舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽，每個(gè)班級(jí)各選派15名學(xué)員參加了網(wǎng)上測(cè)試，現(xiàn)對(duì)甲、乙兩班學(xué)員的分?jǐn)?shù)進(jìn)行整理分析如下：甲班15名學(xué)員測(cè)試成績(jī)（滿分100分）統(tǒng)計(jì)如下：87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．乙班15名學(xué)員測(cè)試成績(jī)（滿分100分）統(tǒng)計(jì)如下：77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89（1）按如表分?jǐn)?shù)段整理兩班測(cè)試成績(jī)班級(jí)70.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.595.5～100.5甲12a512乙033621表中a＝；（2）補(bǔ)全甲班15名學(xué)員測(cè)試成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖；（3）兩班測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差如表所示：班級(jí)平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差甲86x8644.8乙8688y36.7表中x＝，y＝．（4）以上兩個(gè)班級(jí)學(xué)員掌握黨史相關(guān)知識(shí)的整體水平較好的是班；（5）本次測(cè)試兩班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．現(xiàn)從以上三人中隨機(jī)抽取兩人代表黨校參加全市黨史知識(shí)競(jìng)賽，利用樹狀圖或表格求出恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識(shí)競(jìng)賽的概率．21．（8分）如圖，正比例函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，OB＝4，點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝OC．（1）求k的值及線段BC的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)P為B點(diǎn)上方y(tǒng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)△POC與△PAC的面積相等時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．22．（9分）直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音上對(duì)一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件．（1）若日利潤(rùn)保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？（2）小明的線下實(shí)體商店也銷售同款小商品，標(biāo)價(jià)為每件62.5元．為提高市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，促進(jìn)線下銷售，小明決定對(duì)該商品實(shí)行打折銷售，使其銷售價(jià)格不超過（1）中的售價(jià)，則該商品至少需打幾折銷售？23．（10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）請(qǐng)按如下要求完成尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．①作∠BAC的角平分線AD，交BC于點(diǎn)D；②作線段AD的垂直平分線EF與AB相交于點(diǎn)O；③以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)D長(zhǎng)為半徑畫圓，交邊AB于點(diǎn)M．（2）在（1）的條件下，求證：BC是⊙O的切線；（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半徑．24．（11分）有公共頂點(diǎn)A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB和AD上，連接BF，DE，M是BF的中點(diǎn)，連接AM交DE于點(diǎn)N．【觀察猜想】（1）線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；【探究證明】（2）將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)G恰好落在邊AB上，如圖2，其他條件不變，線段DE與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？并說明理由．25．（14分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且OC＝2OA，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．直線y＝mx+n經(jīng)過B，C兩點(diǎn)．（1）求拋物線及直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)F是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)FA+FC的值最小時(shí)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及FA+FC的最小值；（3）連接AC，若點(diǎn)P是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線BC上一點(diǎn)，試探究是否存在以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的Rt△PEQ，且滿足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

2021年山東省煙臺(tái)市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共12個(gè)小題，每小題3分，滿分36分）每小題都給出標(biāo)號(hào)為A,B,C,D四個(gè)備選答案，其中有且只有一個(gè)是正確的1．（3分）若x的相反數(shù)是3，則x的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±3【分析】只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．【解答】解：﹣3的相反數(shù)是3，∴x＝﹣3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（3分）下列數(shù)學(xué)符號(hào)中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行判斷，即可求出答案．【解答】解：A．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D．既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，判斷中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形重合．3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．a(chǎn)2+a3＝a5 C．（a2）3＝a6 D．a(chǎn)2÷a3＝a【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方，同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算，然后作出判斷．【解答】解：A．a(chǎn)2?a3＝a5，故此選項(xiàng)不符合題意；B．a(chǎn)2與a3不是同類項(xiàng)，不能進(jìn)行合并計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意；C．（a2）3＝a6，正確，故此選項(xiàng)符合題意；D．a(chǎn)2÷a3＝，故此選項(xiàng)不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方，同底數(shù)冪的除法，掌握運(yùn)算法則是解題基礎(chǔ)．4．（3分）一個(gè)正方體沿四條棱的中點(diǎn)切割掉一部分后，如圖所示，則該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)左視圖是從左面看到的圖形判定則可．【解答】解：從左邊看，是一個(gè)正方形，正方形的中間有一條橫向的虛線．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幾何體的三種視圖和學(xué)生的空間想象能力，正確掌握觀察角度是解題關(guān)鍵．5．（3分）2021年5月15日，天問一號(hào)探測(cè)器成功著陸火星，邁出了我國(guó)星際探測(cè)征程的重要一步．已知火星與地球的近距離約為5500萬(wàn)公里，5500萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.55×108 B．5.5×107 C．55×106 D．5.5×103【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．【解答】解：5500萬(wàn)＝55000000＝5.5×107．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關(guān)鍵．6．（3分）一副三角板如圖放置，兩三角板的斜邊互相平行，每個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)都在另一個(gè)三角板的斜邊上，圖中∠α的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．75° D．85°【分析】根據(jù)EF∥BC得出∠FDC＝∠F＝30°，進(jìn)而得出∠α＝∠FDC+∠C即可．【解答】解：如圖，∵EF∥BC，∴∠FDC＝∠F＝30°，∴∠α＝∠FDC+∠C＝30°+45°＝75°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)EF∥BC得出∠FDC的度數(shù)和三角形外角性質(zhì)分析．7．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0），∠BCD＝120°，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出OB，OA的長(zhǎng)，進(jìn)而利用菱形的性質(zhì)得出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，OA＝，AB＝2，∴A（0，），∴BC＝AD＝2，∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，∴C（1，0），D（2，），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠ABC＝60°解答．8．（3分）如圖所示，若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，其按鍵順序及結(jié)果如下：按鍵的結(jié)果為m；按鍵的結(jié)果為n；按鍵的結(jié)果為k．下列判斷正確的是（）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k【分析】分別計(jì)算出m，n，k的值即可得出答案．【解答】解：m＝23﹣＝8﹣4＝4；n＝﹣22＝4﹣4＝0；k＝﹣cos60°＝﹣＝4；∴m＝k，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了計(jì)算器的使用，注意二次根式的副功能是立方根．9．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則這個(gè)方程的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定【分析】先由數(shù)軸得出m，n與0的關(guān)系，再計(jì)算判別式的值即可判斷．【解答】解：由數(shù)軸得m＞0，n＜0，m+n＜0，∴mn＜0，∴△＝（mn）2﹣4（m+n）＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．10．（3分）連接正六邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，并將中間的六邊形涂成黑色，制成如圖所示的鏢盤，將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在黑色區(qū)域的概率為（）A． B． C． D．【分析】如圖，將陰影部分分割成圖形中小三角形的大小，令小三角形的面積為a，分別表示出陰影部分的面積和正六邊形的面積，根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：如圖所示，令S△ABC＝a，則S陰影＝6a，S正六邊形＝18a，∴將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在黑色區(qū)域的概率為＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概率，求概率時(shí)，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計(jì)算方法是長(zhǎng)度比，面積比，體積比等．11．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．下列結(jié)論：①ac＞0；②當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】把點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，可得二次函數(shù)的解析式為：y＝ax2﹣2ax﹣3a，由圖象可知，函數(shù)圖象開口向下，所以a＜0，可得b和c的符號(hào)，及a和c的數(shù)量關(guān)系；由函數(shù)解析式可得拋物線對(duì)稱軸為直線：x＝﹣＝1，根據(jù)函數(shù)的增減性和最值，可判斷②和④的正確性．【解答】解：把點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，可得二次函數(shù)的解析式為：y＝ax2﹣2ax﹣3a，∵該函數(shù)圖象開口方向向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，c＝﹣3a＞0，∴ac＜0，3a+c＝0，①錯(cuò)誤，③正確；∵對(duì)稱軸為直線：x＝﹣＝1，∴x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大，x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小；②錯(cuò)誤；∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值，即對(duì)于任意的m，有a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故④正確．綜上，正確的個(gè)數(shù)有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）．12．（3分）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，則OG的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】由∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，可知AB：OB：OA＝BC：OC：OB＝…＝FG：OG：OF＝1：：2，由此可求出OG的長(zhǎng)．【解答】解：由圖可知，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，∵∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，∴∠A＝∠OBA＝∠BCD＝…＝∠OLM＝60°，∴AB＝OA，OB＝AB＝OA，同理可得，OC＝OB＝（）2OA，OD＝OC＝（）3OA，…OG＝OF＝（）6OA＝（）6×16＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，掌握含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系是解題基礎(chǔ)．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為x≤2．【分析】二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【解答】解：依題意，得2﹣x≥0，解得，x≤2．故答案是：x≤2．【點(diǎn)評(píng)】考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．14．（3分）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為3米．【分析】由題意知：△ABE∽△CDE，得出對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出CD．【解答】解：由題意知：AB∥CD，則∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝3米，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出△ABE∽△CDE是解決問題的關(guān)鍵．15．（3分）幻方歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書”．把洛書用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來，就是一個(gè)三階幻方．將數(shù)字1～9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都是15，則a的值為2．【分析】利用幻方中每一橫行，每一豎行以及兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都是15，可求出幻方右下角及第二行中間的數(shù)字，再利用幻方中對(duì)角線上的數(shù)字之和為15，即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：幻方右下角的數(shù)字為15﹣8﹣3＝4，幻方第二行中間的數(shù)字為15﹣6﹣4＝5．依題意得：8+5+a＝15，解得：a＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及數(shù)字常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．16．（3分）數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測(cè)量學(xué)校旗桿高度，已知無人機(jī)的飛行高度為40米，當(dāng)無人機(jī)與旗桿的水平距離是45米時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30°，則旗桿的高度約為14米．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）【分析】過O點(diǎn)作OC⊥AB于C點(diǎn)，利用直角三角形的解法得出OC，進(jìn)而解答即可．【解答】解：過O點(diǎn)作OC⊥AB于C點(diǎn)，∵當(dāng)無人機(jī)與旗桿的水平距離是45米時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30°，∴AC＝45米，∠CAO＝30°，∴OC＝AC?tan30°＝（米），∴旗桿的高度＝40﹣15≈14（米），故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角、俯角的問題，以及解直角三角形方法，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中構(gòu)造出直角三角形，難度不大．17．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則sin∠ACB的值是．【分析】連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于D，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝∠ADB，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)正弦的定義計(jì)算，得到答案．【解答】解：如圖，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于D，由圓周角定理得：∠ACB＝∠ADB，由勾股定理得：AD＝＝2，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心、圓周角定理、解直角三角形，正確作出輔助線、根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝∠ADB是解題的關(guān)鍵．18．（3分）綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小亮將一張面積為24cm2，其中一邊BC為8cm的銳角三角形紙片（如圖1），經(jīng)過兩刀裁剪，拼成了一個(gè)無縫隙、無重疊的矩形BCDE（如圖2），則矩形的周長(zhǎng)為22cm．【分析】延長(zhǎng)AT交BC于點(diǎn)P，利用三角形的面積公式求出AP，求出BE，CD，DE，可得結(jié)論．【解答】解：延長(zhǎng)AT交BC于點(diǎn)P，∵AP⊥BC，∴?BC?AP＝24，∴×8×AP＝24，∴AP＝6（cm），由題意，AT＝PT＝3（cm），∴BE＝CD＝PT＝3（cm），∵DE＝BC＝8cm，∴矩形BCDE的周長(zhǎng)為8+8+3+3＝22（cm）．故答案為：22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的拼剪，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考常考題型．三、解答題（本大題共7個(gè)小題，滿分66分19．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：，從﹣2＜x≤2中選出合適的x的整數(shù)值代入求值．【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后從﹣2＜x≤2中選出一個(gè)使得原分式有意義的整數(shù)代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【解答】解：＝[]?＝?＝＝，∵﹣2＜x≤2且（x+1）（x﹣1）≠0，2﹣x≠0，∴x的整數(shù)值為﹣1，0，1，2且x≠±1，2，∴x＝0，當(dāng)x＝0時(shí)，原式＝＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值、一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡(jiǎn)求值的方法．20．（8分）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年．為普及黨史知識(shí)，培養(yǎng)愛國(guó)主義精神，今年五月份，某市黨校舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽，每個(gè)班級(jí)各選派15名學(xué)員參加了網(wǎng)上測(cè)試，現(xiàn)對(duì)甲、乙兩班學(xué)員的分?jǐn)?shù)進(jìn)行整理分析如下：甲班15名學(xué)員測(cè)試成績(jī)（滿分100分）統(tǒng)計(jì)如下：87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．乙班15名學(xué)員測(cè)試成績(jī)（滿分100分）統(tǒng)計(jì)如下：77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89（1）按如表分?jǐn)?shù)段整理兩班測(cè)試成績(jī)班級(jí)70.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.595.5～100.5甲12a512乙033621表中a＝4；（2）補(bǔ)全甲班15名學(xué)員測(cè)試成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖；（3）兩班測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差如表所示：班級(jí)平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差甲86x8644.8乙8688y36.7表中x＝87，y＝88．（4）以上兩個(gè)班級(jí)學(xué)員掌握黨史相關(guān)知識(shí)的整體水平較好的是乙班；（5）本次測(cè)試兩班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．現(xiàn)從以上三人中隨機(jī)抽取兩人代表黨校參加全市黨史知識(shí)競(jìng)賽，利用樹狀圖或表格求出恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識(shí)競(jìng)賽的概率．【分析】（1）由甲班15名學(xué)員的測(cè)試成績(jī)即可求解；（2）由（1）的結(jié)果，補(bǔ)全甲班15名學(xué)員測(cè)試成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖即可；（3）由眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解即可；（4）從平均數(shù)、中位數(shù)、方差幾個(gè)方面說明即可；（5）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識(shí)競(jìng)賽的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）由題意得：a＝4，故答案為：4；（2）補(bǔ)全甲班15名學(xué)員測(cè)試成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如下：（3）甲班15名學(xué)員測(cè)試成績(jī)中，87分出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴x＝87，由題意得：乙班15名學(xué)員測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為88，故答案為：87，88；（4）以上兩個(gè)班級(jí)學(xué)員掌握黨史相關(guān)知識(shí)的整體水平較好的是乙班，理由如下：①甲、乙兩個(gè)班的平均數(shù)相等，但乙班的中位數(shù)大于甲班的中位數(shù)；②乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成績(jī)更穩(wěn)定；故答案為：乙；（5）把甲班2人記為A、B，乙班1人記為C，畫樹狀圖如圖：共有6種等可能的結(jié)果，恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識(shí)競(jìng)賽的結(jié)果有4種，∴恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識(shí)競(jìng)賽的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹狀圖法、頻數(shù)分布直方圖、統(tǒng)計(jì)表、眾數(shù)、中位數(shù)等知識(shí)．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．（8分）如圖，正比例函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，OB＝4，點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝OC．（1）求k的值及線段BC的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)P為B點(diǎn)上方y(tǒng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)△POC與△PAC的面積相等時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)正比例函數(shù)的解析式求出A點(diǎn)坐標(biāo)，由A在反比例函數(shù)上，可求出k，再根據(jù)AC＝OC求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得線段BC的長(zhǎng)；（2）設(shè)點(diǎn)P（0，p），根據(jù)△POC與△PAC的面積相等，得出關(guān)于p的方程，解方程即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A在正比例函數(shù)y＝x上，AB⊥y軸，OB＝4，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是4，代入y＝x，得x＝8，∴A（8，4），∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴k＝4×8＝32，∵點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝OC．設(shè)點(diǎn)C（c，4），∵OC＝＝，AC＝AB﹣BC＝8﹣c，∴＝8﹣c，解得：c＝3，∴點(diǎn)C（3，4），∴BC＝3，∴k＝32，BC＝3；（2）如圖，設(shè)點(diǎn)P（0，p），∵點(diǎn)P為B點(diǎn)上方y(tǒng)軸上一點(diǎn)，∴OP＝p，BP＝p﹣4，∵A（8，4），C（3，4），∴AC＝8﹣3＝5，BC＝3，∵△POC與△PAC的面積相等，∴×3p＝×5（p﹣4），解得：p＝10，∴P（0，10）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及解析式，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離建立方程式求解點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．22．（9分）直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音上對(duì)一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件．（1）若日利潤(rùn)保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？（2）小明的線下實(shí)體商店也銷售同款小商品，標(biāo)價(jià)為每件62.5元．為提高市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，促進(jìn)線下銷售，小明決定對(duì)該商品實(shí)行打折銷售，使其銷售價(jià)格不超過（1）中的售價(jià)，則該商品至少需打幾折銷售？【分析】（1）根據(jù)日利潤(rùn)＝每件利潤(rùn)×日銷售量，可求出售價(jià)為60元時(shí)的原利潤(rùn)，設(shè)售價(jià)應(yīng)定為x元，則每件的利潤(rùn)為（x﹣40）元，日銷售量為20+＝（140﹣2x）件，根據(jù)日利潤(rùn)＝每件利潤(rùn)×日銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該商品需要打a折銷售，根據(jù)銷售價(jià)格不超過50元，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）設(shè)售價(jià)應(yīng)定為x元，則每件的利潤(rùn)為（x﹣40）元，日銷售量為20+＝（140﹣2x）件，依題意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，整理，得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．答：售價(jià)應(yīng)定為50元；（2）該商品需要打a折銷售，由題意，得，62.5×≤50，解得：a≤8，答：該商品至少需打8折銷售．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用和由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．23．（10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）請(qǐng)按如下要求完成尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．①作∠BAC的角平分線AD，交BC于點(diǎn)D；②作線段AD的垂直平分線EF與AB相交于點(diǎn)O；③以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)D長(zhǎng)為半徑畫圓，交邊AB于點(diǎn)M．（2）在（1）的條件下，求證：BC是⊙O的切線；（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半徑．【分析】（1）①以A為圓心，以任意長(zhǎng)度為半徑畫弧，與AC、AB相交，再以兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以大于兩點(diǎn)之間距離的一半為半徑畫弧相交于∠BAC內(nèi)部一點(diǎn)，將點(diǎn)A與它連接并延長(zhǎng)，與BC交于點(diǎn)D，則AD為∠BAC的平分線；②分別以點(diǎn)A、點(diǎn)D為圓心，以大于AD長(zhǎng)度為半徑畫圓，將兩圓交點(diǎn)連接，則EF為AD的垂直平分線，EF與AB交于點(diǎn)O；（2）根據(jù)線段垂直平分線及角平分線的性質(zhì)推出角之間的關(guān)系，再根據(jù)平行線的判定得出OD∥AC，從而得出OD⊥BC即可；（3）根據(jù)題意得到線段之間的關(guān)系：OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）如圖所示，①以A為圓心，以任意長(zhǎng)度為半徑畫弧，與AC、AB相交，再以兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以大于兩點(diǎn)之間距離的一半為半徑畫弧相交于∠BAC內(nèi)部一點(diǎn)，將點(diǎn)A與它連接并延長(zhǎng)，與BC交于點(diǎn)D，則AD為∠BAC的平分線；②分別以點(diǎn)A、點(diǎn)D為圓心，以大于AD長(zhǎng)度為半徑畫圓，將兩圓交點(diǎn)連接，則EF為AD的垂直平分線，EF與AB交于點(diǎn)O；③如圖，⊙O與AB交于點(diǎn)M；（2）證明：∵EF是AD的垂直平分線，且點(diǎn)O在AD上，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，故BC是⊙O的切線．（3）根據(jù)題意可知OM＝OA＝OD＝AM，AM＝4BM，∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，∴＝＝，由（2）可知Rt△BOD與Rt△BAC有公共角∠B，∴Rt△BOD∽R(shí)t△BAC，∴＝，即＝，解得DO＝6，故⊙O的半徑為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合運(yùn)用，將圓的相關(guān)性質(zhì)與角平分線及垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合一起，要充分的數(shù)形結(jié)合，找到圖中相等的角、線段或者相似三角形，從而進(jìn)行求解．24．（11分）有公共頂點(diǎn)A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB和AD上，連接BF，DE，M是BF的中點(diǎn)，連接AM交DE于點(diǎn)N．【觀察猜想】（1）線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝2AM，位置關(guān)系是DE⊥AM；【探究證明】（2）將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)G恰好落在邊AB上，如圖2，其他條件不變，線段DE與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？并說明理由．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AD＝AB，AF＝AE，∠DAE＝∠BAF＝90°，證明△DAE≌△BAF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AM至點(diǎn)H，使得AM＝MH，連接FH，證明△AMB≌△HMF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，證明△EAD≌△AFH（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出DE＝AH，則可得出答案．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEGF都是正方形，∴AD＝AB，AF＝AE，∠DAE＝∠BAF＝90°，∴△DAE≌△BAF（SAS），∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠AFB＝90°，在Rt△BAF中，M是BF的中點(diǎn)，∴AM＝FM＝BM＝BF，∴DE＝2AM．∵AM＝FM，∴∠AFB＝∠MAF，又∵∠ADE+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠MAF＝90°，∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠MAF）＝90°，即AN⊥DN；故答案為DE＝2AM，DE⊥AM．（2）仍然成立，證明如下：延長(zhǎng)AM至點(diǎn)H，使得AM＝MH，連接FH，∵M(jìn)是BF的中點(diǎn)，∴BM＝FM，又∵∠AMB＝∠HMF，∴△AMB≌△HMF（SAS），∴AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，∴AB∥HF，∴∠HFG＝∠AGF，∵四邊形ABCD和四邊形AEGF是正方形，∴∠DAB＝∠AFG＝90°，AE＝AF，AD＝AB＝FH，∠EAG＝∠AGF，∴∠EAD＝∠EAG+∠DAB＝∠AFG+∠AGF＝∠AFG+∠HFG＝∠AFH，∴△EAD≌△AFH（SAS），∴DE＝