第六章平面向量及其應(yīng)用6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)任務(wù)01掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算（重點(diǎn)）會運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解向量垂直、向量的夾角等相關(guān)問題（難點(diǎn)）分清向量平行與垂直的坐標(biāo)表示（易混點(diǎn)）020403能用向量方法證明兩角差的余弦公式（重點(diǎn)）01探索新知探索新知已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎樣用a與b的坐標(biāo)表示a·b呢？

探究

？因?yàn)閍＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)

＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.又i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j(luò)·i＝0所以a·b＝x1x2＋y1y2.兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.探索新知問題1

若a＝(x，y)，如何計(jì)算向量的模|a|呢？

或|a|2＝x2＋y2

問題2

如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別

為A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何計(jì)算向量a的模？兩點(diǎn)間距離公式A(x1,y1)B(x2,y2)探索新知

拓展向量a的單位向量的坐標(biāo)表示探索新知問題3

已知兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎樣用坐標(biāo)表示a⊥b呢？a⊥bx1x2＋y1y2＝0問題4

怎樣用坐標(biāo)表示a∥b呢？a∥bx1y2－x2y1＝0探索新知問題5

已知兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎樣用坐標(biāo)表示a，

b的夾角呢？a⊥bx1x2＋y1y2＝0夾角公式的特例探索新知法一：例10

若點(diǎn)A（1，2），B（2，3），C（－2，5），則△ABC是什么形狀？證明你的猜想．所以△ABC是直角三角形．

向量的數(shù)量積是否為零，是判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直的重要方法之一.探索新知例10

若點(diǎn)A（1，2），B（2，3），C（－2，5），則△ABC是什么形狀？證明你的猜想．法二：所以△ABC是直角三角形．

勾股定理逆定理是判斷兩條直線是否垂直的重要方法之一探索新知解：例11設(shè)

a＝(5，－7)，b＝(－6，－

4)

，求a·b及a，b的夾角θ(精確到1°).利用計(jì)算器可得θ≈92°.探索新知例12用向量方法證明兩角差的余弦公式cos(α－β)＝cos

αcosβ+sinαsinβ證明：角

α，β的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A，B.

探索新知于是cos(α－β)＝cos

αcosβ+sinαsinβ

（1）（2）02題型突破題型突破題型一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算題型突破題型突破數(shù)量積運(yùn)算的途徑及注意點(diǎn)(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開，再依據(jù)已知計(jì)算.(2)對于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需要把握圖形的特征，并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.題型突破題型二

向量模的坐標(biāo)表示題型突破題型突破題型突破求向量的模的兩種基本策略題型突破題型三

向量的夾角與垂直問題題型突破題型突破題型突破利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩向量夾角的步驟(1)求向量的數(shù)量積.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積