PAGE1-階段性測試題九(立體幾何)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分。考試時間120分鐘。第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的。)1．(2011·北京朝陽區(qū)期末)關于直線l，m及平面α，β，下列命題中正確的是()A．若l∥α，α∩β＝m，則l∥m B．若l∥α，m∥α，則l∥mC．若l⊥α，l∥β，則α⊥β D．若l∥α，m⊥l，則m⊥α.[答案]C[解析]在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若取平面ABCD為β，平面ADD1A1為α，則交線AD為m，取BB1為l，由此可知A錯；若取平面ADD1A1為α，BB1、BC分別為l，m，可知B與D都錯誤，故選C.2．(文)(2011·寧波期末)設x，y，z是空間的不同直線或不同平面，下列條件中能保證“若x⊥z，且y⊥z，則x∥y”為真命題的是()A．x，y，z為直線 B．x，y，z為平面C．x，y為直線，z為平面 D．x為直線，y，z為平面[答案]C[解析]由正方體交于同一頂點的三條直線(或三個平面)知，x、y、z都是直線(或都是平面)時，該命題都是假命題；當x為直線，y、z為平面時，可能有x在平面y內，故D錯，因此選C.(理)(2011·山東淄博一中期末)已知三條直線a，b，c和平面β，則下列推理中正確的是()A．若a∥b，b?β，則a∥βB．若a，b與β所成角相等，則a∥bC．若a?β，b∥β，a，b共面，則a∥bD．若a⊥c，b⊥c，則a∥b[答案]C[解析]A中直線a可能在β內；如圖可知B錯誤；由正方體中交于同一頂點的三條棱所在直線知D錯誤；C中，∵b∥β，∴b與β無公共點，∵a?β，∴b與a無公共點，∵a，b共面，∴a∥b，故選C.3．(文)(2011·日照調研)已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出四個命題：①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則l∥m;④若l∥m，則α⊥β.其中真命題的個數(shù)是()A．4 B．3C．2 D．1[答案]C[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,α∥β))?l⊥β,m?β))?l⊥m，故①真；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l∥m))?m⊥α,m?β))?β⊥α，故④真；如圖α∩β＝a，m?β，m∥a，l⊥α可知l⊥m，因此②假；上圖中當α⊥β時，可知③假．(理)(2011·合肥質檢)設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是()A．若a⊥α，b∥α，則a⊥bB．若a⊥α，b∥a，b?β，則α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，則a∥bD．若a∥α，a∥β，則α∥β[答案]D[解析]由線面平行的性質和線面垂直的性質知A正確；∵a⊥α，b∥a，∴b⊥α，又b?β，∴α⊥β，故B正確；∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，又b⊥β，∴a∥b，故C正確，故選D.4．(文)(2011·合肥市質檢)下圖是一個幾何體的三視圖，其中正(主)視圖和側(左)視圖都是一個兩底長分別為2和4，腰長為4的等腰梯形，則該幾何體的側面積是()A．6π B．12πC．18π D．24π[答案]B[解析]由三視圖知，該幾何體是兩底半徑分別為1和2，母線長為4的圓臺，故其側面積S＝π(1＋2)×4＝12π.(理)(2011·北京西城區(qū)期末)如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結論正確的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′與平面A′BD所成的角為30°D．四面體A′－BCD的體積為eq\f(1,3)[答案]B[解析]∵AB＝AD＝1，BD＝eq\r(2)，∴AB⊥AD，∴A′B⊥A′D，∵平面A′BD⊥平面BCD，CD⊥BD，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，∴A′B⊥平面A′CD，∴A′B⊥A′C，即∠BA′C＝90°，∴選B.5．(2011·北京豐臺區(qū)期末)若一個螺栓的底面是正六邊形，它的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則它的體積是()A.eq\f(3\r(3),2)＋eq\f(32,25)π B．3eq\r(3)＋eq\f(32,25)πC．9eq\r(3)＋eq\f(32,25)π D．9eq\r(3)＋eq\f(128,25)π[答案]C[解析]由三視圖知，該螺栓的上部是一個底半徑為0.8，高為2的圓柱，下部是底面為邊長為2，高為1.5的正六棱柱，故體積V＝π×0.82×2＋6×eq\f(\r(3),4)×22×1.5＝9eq\r(3)＋eq\f(32π,25)，故選C.6．(2011·北京朝陽區(qū)期末)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AB、CC1的中點，在平面ADD1A1內且與平面D1EF平行的直線()A．有無數(shù)條 B．有2條C．有1條 D．不存在[答案]A[解析]∵平面D1EF與平面ADD1A1有公共點D1且不重合，∴兩平面有條過D1的交線l，在平面ADD1A1內與l平行的任意直線都與平面D1EF平行，這樣的直線有無數(shù)條．7．(文)(2011·山西太原調研)已知平面α和不重合的兩條直線m、n，下列選項正確的是()A．如果m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n∥αB．如果m?α，n與α相交，那么m、n是異面直線C．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α[答案]C[解析]如圖(1)可知A錯；如圖(2)可知B錯；如圖(3)，m⊥α，n是α內的任意直線，都有n⊥m，故D錯．∵n∥α，∴n與α無公共點，∵m?α，∴n與m無公共點，又m、n共面，∴m∥n，故選C.(理)(2011·遼寧丹東四校聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝eq\r(3)，D、E分別是AC1和BB1的中點，則直線DE與平面BB1C1C所成的角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)[答案]A[解析]∵AB＝1，AC＝2，BC＝eq\r(3)，∴AC2＝BC2＋AB2，∴AB⊥BC，又三棱柱為直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，以B為原點，BC、BA、BB1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A(0,1,0)，C(eq\r(3)，0,0)，設B1(0,0，a)，則C1(eq\r(3)，0，a)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，\f(a,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(a,2)))，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，0))，平面BB1C1C的法向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0,1,0)，設直線DE與平面BB1C1C所成的角為α，則sinα＝eq\f(|\o(DE,\s\up6(→))·\o(BA,\s\up6(→))|,|\o(DE,\s\up6(→))|·|\o(BA,\s\up6(→))|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),1×1)＝eq\f(1,2)，∴α＝eq\f(π,6).8．(2011·沈陽二中階段檢測)已知長方體ABCD－A′B′C′D′，對角線AC′與平面A′BD相交于點G，則G是△A′BD的()A．垂心 B．外心C．內心 D．重心[答案]D[解析]設AB′與A′B相交于點E，則在平面AB′C′D中，DE與AC′必相交，則交點為G，∴G點在△A′BD的中線DE上，同理可知G點在BD邊的中線上，∴G為△A′BD的重心．9．(2011·寧夏銀川一中檢測)如圖所示是某一容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度h隨時間t變化的可能圖象是()[答案]B[分析]可以直接根據(jù)變化率的含義求解，也可以求出函數(shù)的解析式進行判斷．[解析]容器是一個倒置的圓錐，由于水是均勻注入的，故水面高度隨時間變化的變化率逐漸減少，表現(xiàn)在函數(shù)圖象上就是其切線的斜率逐漸減小，故選B.[點評]本題在空間幾何體三視圖和函數(shù)的變化率交匯處命制，重點是對函數(shù)變化率的考查，這種在知識交匯處命制題目考查對基本概念的理解與運用的命題方式值得重視．10．(2011·寧夏銀川一中檢測)設l，m，n為三條不同的直線，α為一個平面，下列命題中正確的個數(shù)是()①若l⊥α，則l與α相交②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α③若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥nA．1 B．2C．3 D．4[答案]C[分析]根據(jù)空間線面位置關系的有關定理逐個進行判斷．[解析]由于直線與平面垂直是相交的特殊情況，故命題①正確；由于②中不能確定直線m，n是否相交，不符合線面垂直的判定定理，命題②不正確；根據(jù)平行線的傳遞性．∵l∥m，m∥n，∴l(xiāng)∥n，故l⊥α時，一定有n⊥α，故③正確；又∵l∥m，m⊥α，∴l(xiāng)⊥α，又n⊥α，∴l(xiāng)∥n，∴④正確，故選C.[點評]把空間平行關系和垂直關系的相關定理中抽掉一些條件或添加限制條件來考查考生對空間點線面位置關系概念、定理掌握的熟練程度是常見命題方式．解答這類題的關鍵是對比定理逐個條件進行檢查．解答方法常常是直接推證或特例反駁．11．(2011·江西南昌調研)如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD－A1B1C1D1容器內灌進一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法：①水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形EFGH的面積不改變；③棱A1D1始終與水面EFGH平行；④當E∈AA1時，AE＋BF是定值．其中正確說法是()A．①②③ B．①②④C．②③④ D．①③④[答案]D[解析]由于容器一邊BC固定于水平地面上，所以隨著容器傾斜度的變化，水面四邊形EFGH的一組對邊EH和FG始終與BC平行且相等，而另一對邊EF與GH是變化的，因此A1D1與水面平行，且水的部分是一個棱柱(BC為垂直于兩底的側棱)，由于水的體積不變，故棱柱的底面面積不變，因此AE＋BF為定值．12．(文)(2011·華安、連城、永安、漳平、龍海、泉港六校聯(lián)考)一個體積為12eq\r(3)的正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個三棱柱的側(左)視圖的面積為()A．12 B．8C．8eq\r(3) D．6eq\r(3)[答案]D[解析]設此三棱柱底面邊長為a，高為h，則由圖示知eq\f(\r(3),2)a＝2eq\r(3)，∴a＝4，∴12eq\r(3)＝eq\f(\r(3),4)×42×h，∴h＝3，∴側(左)視圖面積為2eq\r(3)×3＝6eq\r(3).(理)(2011·黑龍江哈六中期末)棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1的8個頂點都在球O的表面上，E，F(xiàn)分別是棱AA1，DD1的中點，則過E，F(xiàn)兩點的直線被球O截得的線段長為()A.eq\r(3)a B．2aC.eq\r(2)a D.eq\f(\r(2),2)a[答案]C[解析]過直線EF與球心作截面，則截面圓半徑r＝eq\f(\r(3),2)a，球心到EF的距離為eq\f(a,2)，∴過E、F兩點的直線被球O截得的線段長為2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\r(2)a.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13．(2011·黑龍江哈六中期末)已知α，β，γ是三個不同的平面，命題“α∥β且α⊥γ?β⊥γ”是真命題，如果把α，β，γ中的任意兩個換成直線，另一個保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有________個．[答案]2[解析]①將α，β?lián)Q作直線a，b，命題為“a∥b且a⊥γ?b⊥γ”，顯然這是一個真命題；②將α，γ換作直線a，c，命題為“a∥β，且a⊥c?c⊥β”，這是一個假命題；③將β，γ換成直線b，c，命題為“b∥α，且c⊥α?b⊥c”，這是一個真命題，故填2.14．(2011·黑龍江哈六中期末)點P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線BC1上運動，則下列四個命題：①三棱錐A－D1PC的體積不變；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確命題的序號是________．[答案]①②④[解析]①∵BC1∥AD1，∴BC1∥平面AD1C，∴直線BC1上任一點到平面AD1C的距離都相等，∴VA－D1PC＝VP－AD1C＝VB－AD1C為定值；②∵AC∥A1C1，AD1∥BC1，AC∩AD1＝A，A1C1∩BC1＝C1，∴平面ACD1∥平面A1BC1，∵A1P?平面A1BC1，∴A1P∥平面ACD1；③假設DP⊥BC1，∵DC⊥BC1，DC∩DP＝D，∴BC1⊥平面DPC，∴BC1⊥CP，∵P是BC1上任一點，∴BC1⊥CP不成立；④∵B1B⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴B1B⊥AC，又AC⊥BD，BD∩B1B＝B，∴AC⊥平面BB1D，∴AC⊥DB1，同理可知AD1⊥DB1，∵AC∩AD1＝A，∴DB1⊥平面ACD1，∵DB1?平面PDB1，∴平面PDB1⊥平面ACD1.15．(文)(2011·北京東城區(qū)示范校聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H、M分別是棱AD、DD1、D1A1、A1A、AB的中點，點N在四邊形EFGH的四邊及其內部運動，則當N只需滿足條件________時，就有MN⊥A1C1；當N只需滿足條件________時，就有MN∥平面B1D1C.[答案]點N在EG上點N在EH上[解析](1)當點N在EG上時，∵AC⊥EM，AC⊥EG，EG∩EM＝E，∴AC⊥平面GEM，又MN?平面GEM，∴AC⊥MN，∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥MN.(2)EM∥BD∥B1D1，HE∥A1D∥B1C，EM∩HE＝E，B1D1∩B1C＝B1，∴平面EMH∥平面B1D1C，過點M與平面B1D1C平行的直線必在平面EMH內，故點N在平面EMH內，又點N在平面EFGH內，∴N在兩平面的交線EH上．(理)(2011·甘肅天水一中期末)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若點M是棱BC的中點，則D1B與AM所成角的余弦值是________．[答案]eq\f(\r(15),15)[解析]以D為原點，DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則A(1,0,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1，0))，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1,1)，∴cos〈eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BD1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AM,\s\up6(→))·\o(BD1,\s\up6(→)),|\o(AM,\s\up6(→))|·|\o(BD1,\s\up6(→))|)＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(5),2)×\r(3))＝－eq\f(\r(15),15)，∴異面直線D1B與AM所成角的余弦值為eq\f(\r(15),15).16．(文)(2011·洪澤中學月考)有以下四個條件：①平面γ與平面α，β所成的銳角二面角相等；②直線a∥b，a⊥平面α，b⊥平面β；③a，b是異面直線，a?α，b?β，且a∥β，b∥α；④平面α內距離為d的兩條平行直線在平面β內的射影仍為兩條距離為d的平行線．其中能推出α∥β的條件有________(填寫所有正確條件的代號)．[答案]②③[解析]正三棱錐的底面與側面所成的銳二面角都相等，但側面不平行，故①錯；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥平面α))?b⊥平面α,b⊥平面β))?α∥β，∴②對；在直線a上任取一點P，點P與直線b確定一個平面γ，則γ與α有一條過P的交線b′，∵b∥α，∴b∥b′，b′?β，∴b′∥β，又a∥β，a∩b′＝P，∴α∥β，故③對；如圖可知，④錯．故能推出α∥β的條件只有②和③.(理)(2011·天津河東區(qū)模擬)如圖，ABCD－A1B1C1D1為正方體，下面結論中正確的是________．(把你認為正確的結論都填上)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1與底面ABCD所成角的正切值是eq\r(2)；④二面角C—B1D1－C1的正切值是eq\r(2)，⑤過點A1與異面直線AD與CB1成70°角的直線有2條．[答案]①②④[解析]①∵BD∥B1D1，B1D1?平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1.②連結A1C1交B1D1于O，∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面AA1C1.∴B1D1⊥AC1.同理B1C⊥AC1.∴AC1⊥平面CB1D1.③∠C1AC為AC1與平面ABCD所成的角，tan∠C1AC＝eq\f(CC1,AC)＝eq\f(CC1,\r(2)CC1)＝eq\f(\r(2),2).④∠C1OC為二面角C—B1D1—C1的平面角，tan∠C1OC＝eq\f(CC1,C1O)＝eq\f(CC1,\f(\r(2),2)CC1)＝eq\r(2).⑤異面直線AD與CB1所成的角為45°，則滿足題意的直線有4條．三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)(文)(2011·煙臺調研)如圖，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE.(1)求證：AE⊥平面BCE；(2)求證：AE∥平面BFD.[解析](1)證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，則AE⊥BF，∵BC?平面BCE，BF?平面BCE，BC∩BF＝B，∴∴AE⊥平面BCE.(2)證明：連結AC、BD，設AC與BD交于G點，依題意可知：G是AC中點，∵BF⊥平面ACE，則CE⊥BF，而BC＝BE，∴F是EC中點，在△AEC中，F(xiàn)G∥AE，又AE?平面BFD，F(xiàn)G?平面BFD，∴AE∥平面BFD.(理)(2011·遼寧大連期末聯(lián)考)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠C＝90°，點B1在底面上射影D落在BC上．(1)求證：AC⊥平面BB1C1C；(2)若AB1⊥BC1，且∠B1BC＝60°，求證：A1C∥平面AB1D.[解析](1)∵B1D⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴B1D⊥AC，又∵BC⊥AC，B1D∩BC＝D，∴AC⊥平面BB1C1C.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(2AB1⊥BC1,AC⊥BC1,AB1與AC相交))?BC1⊥平面AB1C,,,B1C?平面AB1C))?BC1⊥B1C，∴四邊形BB1C1C為菱形，∵∠B1BC＝60°，B1D⊥BG于D，∴D為BC的中點，連結A1B和AB1交于點E，在三角形A1BC中，DE∥A1C，∴A1C∥平面AB1D.18．(本小題滿分12分)(文)(2011·山西太原調研)已知四棱錐P－ABCD及其三視圖如下圖所示，E是側棱PC上的動點．(1)求四棱錐P－ABCD的體積；(2)不論點E在何位置，是否都有BD⊥AE？試證明你的結論．[解析](1)由三視圖可知，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，側棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)S正方形ABCD·PC＝eq\f(1,3)×12×2＝eq\f(2,3)，即四棱錐P－ABCD的體積為eq\f(2,3).(2)不論點E在何位置，都有BD⊥AE，證明：連結AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面PAC，∴BD⊥PC，又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.∵不論點E在何位置，都有AE?平面PAC，∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE.(理)(2011·山東淄博一中期末)四棱錐P－ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，又PA＝PD，∠APD＝60°，E、G分別是BC、PE的中點．(1)求證：AD⊥PE；(2)求二面角E－AD－G的正切值．[解析]解法一：(1)如圖，取AD的中點O，連結OP，OE，∵PA＝PD，∴OP⊥AD，又E是BC的中點，∴OE∥AB，∴OE⊥AD.又OP∩OE＝0，∴AD⊥平面OPE.∵PE?平面OPE，∴AD⊥PE.(2)取OE的中點F，連結FG，OG，則由(1)易知AD⊥OG，又OE⊥AD，∴∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角，∵PA＝PD，∠APD＝60°，∴△APD為等邊三角形，且邊長為2，∴OP＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)OP＝eq\f(\r(3),2)，OF＝eq\f(1,2)CD＝1，∴OG＝eq\f(\r(7),2)，∴cos∠GOE＝eq\f(2\r(7),7).解法二：(1)同解法一．(2)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0，eq\r(3))，E(0,2,0)，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(\r(3),2)))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(DG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(\r(3),2))).設平面ADG的法向量為n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA,\s\up6(→))＝0,n·\o(DG,\s\up6(→))＝0))得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝0,x＋y＋\f(\r(3),2)z＝0))，∴n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(3),2)，1))，又平面EAD的一個法向量為eq\o(OP,\s\up6(→))＝(0,0，eq\r(3))，又因為cos〈n，eq\o(OP,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(OP,\s\up6(→)),|n|·|\o(OP,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(3),\f(\r(7),2)·\r(3))＝eq\f(2\r(7),7)，∴二面角E－AD－G的余弦值為eq\f(2\r(7),7).19．(本小題滿分12分)(文)(2011·北京學普教育中心)如圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)求四棱錐B－CEPD的體積；(2)求證：BE∥平面PDA.[解析](1)∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD，∵BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE.∵S梯形PDCE＝eq\f(1,2)(PD＋EC)×DC＝eq\f(1,2)×3×2＝3，∴四棱錐B－CEPD的體積VB－CEPD＝eq\f(1,3)S梯形PDCE×BC＝eq\f(1,3)×3×2＝2.(2)證明：∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，∴EC∥平面PDA，同理可得BC∥平面PDA，∵EC?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩BC＝C，∴平面BEC∥平面PDA，又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA.(理)在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝DA＝DC＝BE＝2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．(1)求證：DE∥平面ABC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值．[解析](1)由題意知，△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形，取AC中點O，連接BO，DO，則BO⊥AC，DO⊥AC，又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根據(jù)題意，點F落在BO上，∴∠EBF＝60°，易求得EF＝DO＝eq\r(3)，∴四邊形DEFO是平行四邊形，∴DE∥OF，∵DE?平面ABC，OF?平面ABC，∴DE∥平面ABC.(2)解法一：作FG⊥BC，垂足為G，連接EG，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，EF∩FG＝F，BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，∴∠EGF就是二面角E－BC－A的平面角．Rt△EFG中，F(xiàn)G＝FB×sin30°＝eq\f(1,2)，EF＝eq\r(3)，EG＝eq\f(\r(13),2).∴cos∠EGF＝eq\f(FG,EG)＝eq\f(\r(13),13).即二面角E－BC－A的余弦值為eq\f(\r(13),13).解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系O－xyz，可知平面ABC的一個法向量為n1(0,0,1)，設平面BCE的一個法向量為n2＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(BC,\s\up6(→))＝0,n2·\o(BE,\s\up6(→))＝0))，可求得n2＝(－3，eq\r(3)，1)．所以cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq\f(\r(13),13)，又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，所以二面角E－BC－A的余弦值為eq\f(\r(13),13).20．(本小題滿分12分)(2011·福建廈門期末質檢)四棱錐A－BCDE的側面ABC是等邊三角形，EB⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，BE＝1，BC＝CD＝2，F(xiàn)是棱AD的中點．(1)求證：EF∥平面ABC；(2)求四棱錐A－BCDE的體積．[解析](1)取AC中點M，連結FM、BM，∵F是AD中點，∴FM∥DC，且FM＝eq\f(1,2)DC＝1，∵EB⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，∴EB∥DC，∴FM∥EB.又∵EB＝1，∴FM＝EB，∴四邊形BEFM是平行四邊形，∴EF∥BM，∵EF?平面ABC，BM?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)取BC中點N，連結AN，∵AB＝AC，∴AN＝BC，∵EB⊥平面ABC，∴AN⊥EB，∵BC與EB是底面BCDE內的相交直線，∴AN⊥平面BCDE，由(1)得，底面BCDE為直角梯形，S梯形BCDE＝eq\f(EB＋DC·BC,2)＝3，在等邊△ABC中，BC＝2，∴AN＝eq\r(3)，∴V棱錐A－BCDE＝eq\f(1,3)S梯形BCDE·AN＝eq\r(3).21．(本小題滿分12分)(文)(2011·黑龍江哈六中期末)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是CD、A1D1中點．(1)求證：AB1⊥BF；(2)求證：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在點F，使BF⊥平面AEP，若存在，確定點P的位置；若不存在，說明理由．[解析](1)證明：連結A1B，CD1，∵AB1⊥A1B，AB1⊥BC，A1B∩BC＝B，∴AB1⊥平面A1BCD1，又BF?平面A1BCD1，所以AB1⊥BF.(2)證明：取AD中點M，連結FM，BM，∴AE⊥BM，又∵FM⊥AE，BM∩FM＝M，∴AE⊥平面BFM，又BF?平面