專題01平行線間的拐點問題類型一：“豬蹄”模型類型二：“鉛筆”模型類型三：“鷹嘴”模型平行線間的拐點問題均過拐點作平行線的平行線，有多少個拐點就作多少條平行線。一．選擇題1．（2023?新城區(qū)校級一模）如圖，直線m∥n，含有45°角的三角板的直角頂點O在直線m上，點A在直線n上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．15° B．25° C．35° D．45°【分析】過B作BK∥m，推出BK∥n，由平行線的性質(zhì)得到∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，求出∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝25°，即可得到∠2＝25°．【解答】解：過B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，∵∠ABO＝45°，∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，∴∠2＝∠ABK＝25°．故選：B．2．（2023?海南）如圖，直線m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，點C在直線n上．若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是（）A．60° B．50° C．45° D．40°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠1＝∠BDC，然后直角三角形的性質(zhì)，即可求得∠2的度數(shù)．【解答】解：延長AB交直線n于點D，∵m∥n，∠1＝50°，∴∠1＝∠BDC＝50°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，故選：D．3．（2023秋?渝中區(qū)校級期中）如圖，直線AB∥CD，GE⊥EF于點E．若∠EFD＝32°，則∠BGE的度數(shù)是（）A．62° B．58° C．52° D．48°【分析】過點E作AB的平行線HI，利用平行線的性質(zhì)即可求解．【解答】解：過點E作直線HI∥AB．∵AB∥CD，AB∥HI，∠EFD＝32°，∴CD∥HI，∴∠HEF＝∠EFD＝32°，∵GE⊥EF于點E，∴∠GEF＝90°，∴∠GEH＝∠GEF﹣∠HEF＝90°﹣32°＝58°，∵AB∥HI，∴∠BGE＝∠GEH＝58°．故選：B．4．（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖，已知AB∥CD，BE，DE分別平分∠ABF和∠CDF，且交于點E，則（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180° C．2∠E+∠F＝360° D．2∠E﹣∠F＝180°【分析】過點E作EM∥AB，利用平行線的性質(zhì)可證得∠BED＝（∠ABF+∠CDF），可以得到∠BED與∠BFD的關(guān)系．【解答】解：過點E作EM∥AB，如圖：∵AB∥CD，EM∥AB∴CD∥EM，∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，∵∠ABF的平分線與∠CDF的平分線相交于點E，∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．故選：C．5．（2022秋?榆樹市期末）如圖，AB∥CD，則圖中∠1、∠2、∠3關(guān)系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360° C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2【分析】首先過點E作EF∥AB，由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，繼而可得∠1+∠3＝∠2．【解答】解：過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．故選：D．6．（2023秋?湖北月考）將含有30°角的直角三角板在兩條平行線中按如圖所示擺放．若∠1＝120°，則∠2為（）A．120° B．130° C．140° D．150°【分析】過A作AB∥l1，得到AB∥l2，推出∠3＝∠1＝120°，∠2＝∠BAC，即可求出∠2＝∠3+∠4＝30°+120°＝150°．【解答】解：過A作AB∥l1，∵l1∥l2，∴AB∥l2，∴∠3＝∠1＝120°，∠2＝∠BAC，∴∠2＝∠3+∠4＝30°+120°＝150°．故選：D．二．填空題7．（2023?江油市開學(xué)）如圖，AB∥CD，P為AB，CD之間的一點，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，則∠1＝30°．【分析】過P作PQ∥AB，得到PQ∥CD，推出∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，求出∠BPQ＝∠BPC﹣∠CPQ＝30°，即可得到∠1的度數(shù)．．【解答】解：過P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，∵∠BPQ＝∠BPC﹣∠CPQ＝58°﹣28°＝30°，∴∠1＝30°．故答案為：30°．8．（2023秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，已知DE∥BC，∠ABC＝105°，點F在射線BA上，且∠EDF＝125°，則∠DFB的度數(shù)為20°．【分析】過F作FM∥DE，推出FM∥BC，得到∠ABC+∠MFB＝180°，∠D+∠MFD＝180°，求出∠MFB＝75°，∠MFD＝55°，即可得到∠DFB＝∠MFB﹣∠MFD＝20°．【解答】解：過F作FM∥DE，∵DE∥BC，∴FM∥BC，∴∠ABC+∠MFB＝180°，∠D+∠MFD＝180°，∵∠ABC＝105°，∠EDF＝125°，∴∠MFB＝75°，∠MFD＝55°，∴∠DFB＝∠MFB﹣∠MFD＝20°．故答案為：20°．9．（2023秋?道里區(qū)校級期中）為增強學(xué)生體質(zhì)，望一觀音湖學(xué)校將“跳繩”引入陽光體育一小時活動．圖1是一位同學(xué)跳繩時的一個瞬間．?dāng)?shù)學(xué)老師把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，則∠AEC＝35°．【分析】過E作EF∥AB，則EF∥AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)求得∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，進而可求解．【解答】解：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠EAB+∠FEA＝180°，∠ECD+∠FEC＝180°，∵∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，∴∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，∴∠AEC＝∠FEA﹣∠FEC＝35°，故答案為：35°．10．（2022秋?雅安期末）如圖，AB∥CD，∠DCE的角平分線CG的反向延長線和∠ABE的角平分線BF交于點F，∠E﹣∠F＝60°，則∠E＝100°．【分析】過F作FH∥AB，依據(jù)平行線的性質(zhì)，可設(shè)∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及∠E﹣∠F＝60°，即可得到∠E的度數(shù)．【解答】解：如圖，過F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴FH∥AB∥CD，∵∠DCE的角平分線CG的反向延長線和∠ABE的角平分線BF交于點F，∴可設(shè)∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，∴四邊形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，即∠E+2∠BFC＝180°，①又∵∠E﹣∠BFC＝60°，∴∠BFC＝∠E﹣60°，②∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣60°）＝180°，解得∠E＝100°，故答案為：100°．11．（2023秋?南崗區(qū)校級期中）已知：如圖，AB∥CD，∠ABG的平分線與∠CDE的平分線交于點M，∠M＝45°，∠F＝64°，∠E＝66°，則∠G＝88°°．【分析】過點G，F(xiàn)、E、M分別作GH∥AB，F(xiàn)Q∥AB，EP∥AB，MN∥AB，根據(jù)平行線的傳遞性得出AB∥CD∥GH∥FQ∥EP∥MN，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等以及角平分線的定義即可求解；【解答】解：過點G、F、E、M分別作GH∥AB，F(xiàn)Q∥AB，EP∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GH∥FQ∥EP∥MN，∴∠BNN＝∠1，∠NMD＝∠4，∵BM平分∠ABG，MD平分∠CDE，∴，∵∠BMD＝45°，∴2∠1+2∠3＝90°，∴∠5＝2∠1，∠10＝2∠3，∠6＝∠7，∠8＝∠9，∴∠GFE＝∠7+∠8＝∠6+∠9＝64°，∠FED＝∠9+∠D＝∠9+2∠3＝66°，∴2∠3﹣∠6＝2°，∴2∠1+∠6＝90°﹣2°＝88°，∴∠BGF＝∠5+∠6＝2∠1+∠6＝88°．故答案為：88°．三．解答題12．（2022秋?寶豐縣期末）已知直線MN、PQ，點A、B為分別在直線MN、PQ上，點C為平面內(nèi)一點，連接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．（1）求證：MN∥PQ；（2）如圖2，射線AE、BD分別平分∠MAC和∠CBQ，AE交直線PQ于點E，BD與∠NAC內(nèi)部的一條射線AD交于點D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度數(shù)．【分析】（1）過C作CS∥MN，由已知可以得到PQ∥CS，從而得到MN∥PQ；（2）連接DC并延長交AE于點F，由已知可以得到∠DAC＝∠NAC，再由∠EAD＝∠EAC+∠CAD及平角的意義可以得到解答．【解答】（1）證明：過C作CS∥MN，如圖，∵CS∥MN，∴∠NAC＝∠ACS，∵∠ACB＝∠ACS+∠BCS＝∠NAC+∠CBQ，∴∠BCS＝∠CBQ，∴PQ∥CS，∴MN∥PQ；（2）解：如圖，連接DC并延長交AE于點F，則：∠ACF＝∠DAC+∠ADC，∠BCF＝∠DBC+∠BDC，∴∠ACB＝∠DAC+∠DBC+∠ADB＝2∠ADB，∴∠ADB＝∠DAC+∠DBC，∴2∠ADB＝2∠DAC+2∠DBC＝2∠DAC+∠QBC，又∠ACB＝∠NAC+∠CBQ＝2∠ADB．∴∠NAC+∠CBQ＝2∠DAC+∠QBC，即∠NAC＝2∠DAC，∴∠DAC＝∠NAC，∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD＝∠MAC+∠NAC＝（∠MAC+∠NAC）＝90°．13．（2022秋?莘縣期末）綜合與實踐如圖，已知AB∥CD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P＝90°，PM交AB于點E，PN交CD于點F．（1）當(dāng)所放位置如圖①所示時，∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系是∠PFD+∠AEM＝90°；（2）當(dāng)所放位置如圖②所示時，求證：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的條件下，若MN與CD交于點O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度數(shù)．【分析】（1）作PH∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根據(jù)∠MPN＝90°解答；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PFD+∠BHN＝180°，根據(jù)∠P＝90°解答；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)、對頂角相等計算．【解答】解：（1）如圖①，作PH∥AB，則∠AEM＝∠HPM，∵AB∥CD，PH∥AB，∴PH∥CD，∴∠PFD＝∠HPN，∵∠MPN＝90°，∴∠PFD+∠AEM＝90°，故答案為：∠PFD+∠AEM＝90°；（2）猜想：∠PFD?∠AEM＝90°；理由如下：如圖②，∵AB∥CD，∴∠PFD+∠BHN＝180°，∵∠BHN＝∠PHE，∴∠PFD+∠PHE＝180°，∵∠P＝90°，∴∠PHE+∠PEB＝90°，∵∠PEB＝∠AEM，∴∠PHE+∠AEM＝90°，∴∠PFD?∠AEM＝90°；（3）如圖②，∵∠P＝90°，∠PEB＝15°，∴∠PHE＝∠P?∠PEB＝90°?15°＝75°，∴∠BHF＝∠PHE＝75°，∵AB∥CD，∴∠DFH+∠BHF＝180°，∴∠DFH＝180°?∠BHF＝105°，∴∠OFN＝∠DFH＝105°，∵∠DON＝20°，∴∠N＝180°?∠DON?∠OFN＝55°．14．（2022秋?洛寧縣期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC＝50°+60°＝110°．問題遷移：（1）如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當(dāng)點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）化成圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【解答】（1）解：∠CPD＝∠α+∠β，理由是：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）當(dāng)P在BA延長線時，∠CPD＝∠β﹣∠α；當(dāng)P在AB延長線時，∠CPD＝∠α﹣∠β．15．（2023春?鼎城區(qū)期末）已知直線AB∥CD，點P為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點．問題提出：（1）如圖1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度數(shù)；問題遷移：（2）如圖2，寫出∠APC，∠A，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；問題應(yīng)用：（3）如圖3，點E在射線BA上，過點E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點H，若∠APC＝20°，∠PAB＝150°，求∠PEH的度數(shù)．【分析】（1）首先過點P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可求得∠APQ＝60°，∠CPQ＝50°，最后可以求出∠APC＝110°；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可證得∠APC＝∠A﹣∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，先證∠BEF＝∠PQB＝110°、∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，根據(jù)∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH可得答案．【解答】解：（1）∠A+∠C+∠APC＝360°如圖1所示，過點P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ＝180°，∵∠A＝120°，∴∠APQ＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，∵∠C＝130°，∴∠CPQ＝180°﹣∠C＝180°﹣130°＝50°，∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝60°+50°＝110°；（2）∠APC＝∠A﹣∠C，理由如下：如圖2，作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，∴∠APC＝∠A﹣∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，∵∠APC＝20°，∠PAB＝150°，∴∠PCD＝130°，∵AB∥CD，∴∠PQB＝∠PCD＝130°，∵EF∥PC，∴∠BEF＝∠PQB＝130°，∵∠PEG＝∠PEF，∴∠PEG＝∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝∠BEG，∴∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH＝∠FEG﹣∠BEG＝∠BEF＝65°．16．（2023秋?南崗區(qū)校級期中）已知：如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點G，H，點P為直線EF上的點，連接AP，CP．（1）如圖1，點P在線段GH上時，請你直接寫出∠BAP，∠DCP，∠APC的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，點P在HG的延長線上時，連接CP交AB于點Q，連接HQ，AC，若∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，求證：AC∥EF；（3）在（2）的條件下，如圖3，CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，GK與CK交點K，連接AK，若∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ，∠CKG＝∠CHQ，∠AKC+∠KAC＝159°，求∠BAC的大?。痉治觥浚?）過P作PN∥AB，根據(jù)平行線的傳遞性得出PN∥CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可解答；（2）過點Q作QN∥AC，證出∠PHQ＝∠2，根據(jù)平行線的傳遞性即可證明；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和即可算出∠1＝21°，再根據(jù)角平分線定義以及已知條件即可得出∠PQH＝4∠2+2∠5＝84°+2∠5，結(jié)合（2）即可解出∠5＝18°，過K作KM∥AC，證出∠CKG＝∠1+∠3＝21°+∠3，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠EGA＝∠EHC，即可得∠3＝∠5°+21°＝18°+21°＝39°，即可求解；【解答】解：（1）過P作PN∥AB，∴∠BAP＝∠1，∵AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠DCP＝∠2，∴∠APC＝∠1+∠2＝∠BAP+∠DCP；（2）過點Q作QN∥AC，∴∠ACP＝∠1，∵∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，∠1+∠2＝∠CQH，∴∠PHQ＝∠2，∴QN∥EF，∴AC∥EF；（3）∵CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠AKC+∠KAC＝159°，∵∠1＝180°﹣159°＝21°，∴∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ＝4∠2+2∠5＝84°+2∠5，由（2）知∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，即42°+∠5＝180°﹣∠PQH，∴180°﹣42°﹣∠5＝84°+2∠5，∴∠5＝18°，過K作KM∥AC，∵AC∥EF，∴KM∥AC∥EF，∴∠CKM＝∠1，∠GKM＝∠3．∴∠CKG＝∠1+∠3＝21°+∠3．∵AB∥CD，∠CKG＝∠CHQ，∴∠EGA＝∠EHC，即2∠3＝∠5+∠CHQ＝∠5+∠CKG＝∠5+∠3+21°，∴∠3＝∠5°+21°＝18°+21°＝39°，∵AC∥EF，∴∠BAC＝∠EGA＝2∠3＝78°．17．（2023秋?道里區(qū)校級期中）已知：直線AB與直線CD內(nèi)部有一個點P，連接BP．（1）如圖1，當(dāng)點E在直線CD上，連接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求證：AB∥CD；（2）如圖2，當(dāng)點E在直線AB與直線CD的內(nèi)部，點H在直線CD上，連接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求證：AB∥CD；（3）如圖3，在（2）的條件下，BG、EF分別是∠ABP、∠PEH的角平分線，BG和EF相交于點G，EF和直線AB相交于點F，當(dāng)BP⊥PE時，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度數(shù)．【分析】（1）過點P作PF∥AB，推出∠PEC＝∠EPF，進而得PF∥CD，根據(jù)平行公理的推論即可得證；（2）分別過點P和點E作PF∥AB，EM∥CD，推出∠PEM＝∠FPE，進而得PF∥EM，根據(jù)平行公理的推論即可得證；（3）過點E作EN∥AB，根據(jù)（1）（2）的思路證∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，設(shè)∠EHD＝α，∠PBG＝β，PEG＝γ，則∠BFG＝α+10°，結(jié)合角平分線的定義及（2）的條件得2β+2γ＝90°+α，接著分別用含α的式子代替β和γ，代入2β+2γ＝90°+α求出α的值即可．【解答】解：（1）證明：過點P作PF∥AB，∴∠B＝∠BPF，∵∠B+∠PEC＝∠BPE＝∠BPF+∠EPF，∴∠PEC＝∠EPF，∴PF∥CD，∴AB∥CD；（2）證明：如圖2，分別過點P和點E作PF∥AB，EM∥CD，∴∠ABP＝∠BPF，∠MEH＝∠EHD，∵∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，即∠ABP+∠PEM+∠MEH＝∠BPF+∠FPE+∠EHD，∴∠PEM＝∠FPE，∴PF∥EM，∴EM∥AB，∴AB∥CD；（3）如圖3，過點E作EN∥AB，由（2）得AB∥CD，∴EN∥CD，∠BFE＝∠FEN，∠NEH＝∠EHD，∴∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，設(shè)∠EHD＝α，∠PBG＝β，PEG＝γ，則∠BFG＝α+10°，∵BG、EF分別是∠ABP、∠PEH的角平分線，∴∠ABP＝2β，∠PEH＝2γ，∵BP⊥PE，∴∠P＝90°，由（2）得∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，∴2β+2γ＝90°+α，∵∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，∴γ＝α+10°+α＝2α+10°，∵∠BGE＝36°，∠FGB＝180°﹣（∠BFG+∠FBG），∠FGB＝180°﹣∠BGE，∴∠BFG+∠FBG＝∠BGE＝36°，∴α+10°+β＝36°，∴β＝26°﹣α，∴2（26°﹣α）+2（2α+10°）＝90°+α，∴α＝18°．18．（2023秋?南崗區(qū)校級期中）已知，過∠ECF內(nèi)一點A作AD∥/EC交CF于點D，作AB∥/CF交CE于點B．（1）如圖1，求證：∠ABE＝∠ADF；（2）如圖2，射線BM，射線DN分別平分∠ABE和∠ADF，求證：BM∥DN；（3）如圖3，在（2）的條件下，點G，Q在線段DF上，連接AG，AQ，AC，AQ與DN交于點H，反向延長AQ交BM于點P，如果∠GAC＝∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC＝50°，求∠MPA+∠PQF的度數(shù)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠ABE，∠A＝∠ADF，即可得出結(jié)論；（2）過點A作AG平分∠BAD，由角平分線定義得出∠DAG＝∠BAG＝∠BAD，∠ABM＝∠ABE，∠ADN＝∠ADF，證出∠ABM＝∠DAG＝∠BAG＝∠ADN，得出BM∥AG，DN∥AG，即可得出結(jié)論；（3）設(shè)∠GAQ＝∠QAD＝x，則∠DAC＝50°﹣x，∠GAC＝50°+x＝∠GCA，得出∠BAD＝100°，∠BAQ＝100°+x，由平行線的性質(zhì)得出∠BAC＝∠GCA＝50°+x，求出∠BAP＝180°﹣∠BAQ＝80°﹣x，過點P作PH∥AB，過點Q作QI∥AC，由平行線的性質(zhì)得出∠MPH＝∠ABM＝50°，∠HPA＝∠PAB＝80°﹣x，∠QAC＝∠IQA＝50°，∠FQI＝∠FCA＝50°+x，求出∠MPA＝∠MPH+∠HPA＝50°+8°﹣x＝130°﹣x，∠PQF＝∠IQA+∠FQI＝50°+50°+x＝100°+x，即可得出答案．【解答】（1）證明：∵AD∥EC，AB∥CF，∴∠A＝∠ABE，∠A＝∠ADF，∴∠ABE＝∠ADF；（2）證明：過點A作AG平分∠BAD，如圖2所示：則∠DAG＝∠BAG＝∠BAD，∵射線BM，射線DN分別平分∠ABE和∠ADF，∴∠ABM＝∠ABE，∠ADN＝∠ADF，∵∠ABE＝∠ADF＝∠BAD，∴∠ABM＝∠DAG＝∠BAG＝∠ADN，∴BM∥AG，DN∥AG，∴BM∥DN；（3）解：∵AQ平分∠GAD，∴∠GAQ＝∠QAD，設(shè)∠GAQ＝∠QAD＝x，則∠DAC＝50°﹣x，∠GAC＝50°+x＝∠GCA，∴∠BAD＝100°，∴∠BAQ＝100°+x，∵AB∥CF，∴∠BAC＝∠GCA＝50°+x，∵∠BAP+∠BAQ＝180°，∴∠BAP＝180°﹣∠BAQ＝80°﹣x，過點P作PH∥AB，過點Q作QI∥AC，如圖3所示：∵AD∥EC，∴∠BAD＝∠ABE＝100°，∠ABM＝∠ABE＝50°，∴∠MPH＝∠ABM＝50°，∠HPA＝∠PAB＝80°﹣x，∠QAC＝∠IQA＝50°，∠FQI＝∠FCA＝50°+x，∴∠MPA＝∠MPH+∠HPA＝50°+80°﹣x＝130°﹣x，∠PQF＝∠IQA+∠FQI＝50°+50°+x＝100°+x，∴∠MPA+∠PQF＝130°﹣x+100°+x＝230°．19．（2023秋?南崗區(qū)校級期中）已知，射線FG分別交射線AB、DC于點F、G，點E為射線FG上一點．（1）如圖1，若∠A+∠D＝∠AED，求證：AB∥CD．（2）如圖2，若AB∥CD，求證：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如圖3，在（2）的條件下，DI交AI于點Ⅰ，交AE于點K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度數(shù)．【分析】（1）過點E作EH∥AB，證明∠A＝∠AEF，再根據(jù)已知條件證明∠D＝∠DEF，從而證明EF∥CD，最后根據(jù)平行公理的推論證明結(jié)論即可；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠A＝∠EHG，再根據(jù)外角性質(zhì)證明∠A＝∠D+∠AED，通過變換得出結(jié)論即可；（3）設(shè)AE與CD交于點H，∠EAI＝x，把∠BAI和∠EAB都用x表示出來，然后根據(jù)已知條件，找出角與角之間的關(guān)系，最后得出∠CHE＝∠CDE+∠AED，列出關(guān)于x的方程，求出x，最后根據(jù)∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I，求出答案即可．【解答】（1）證明：如圖所示：過點E作EH∥AB，∴∠A＝∠AEF，∵∠A+∠D＝∠AED，∠AED＝∠AEF+∠DEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；（2）證明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠EHG，∵∠EHG＝∠D+∠AED，∴∠A＝∠D+∠AED，∴∠A﹣∠D＝∠AED；（3）解：設(shè)AE與CD交于點H，∠EAI＝x，則∠BAI＝，，∵AB∥CD，∴∠EHC＝∠EAB＝，∵∠I＝∠AED＝25°，∠EKI＝∠EAI+∠I＝∠EDI+∠AED，∴x+25°＝∠EDI+25°，∴∠EDI＝x，∵∠EDI＝∠CDE，∴∠CDI＝，∵∠CHE＝∠CDE+∠AED，∴，解得：x＝60°，∴∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I＝180°﹣60°﹣25°＝95°．20．（2023春?欒城區(qū)校級期中）【問題解決】：如圖①，AB∥CD，點E是AB，CD內(nèi)部一點，連接BE，DE．若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED的度數(shù)；嘉琪想到了如圖②所示的方法，請你幫她將完整的求解過程補充完整；解：過點E作EF∥AB∴∠ABE＝∠BEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；∵EF∥AB，AB∥CD（已知）；∴EF∥CD（平行于同一條直線的兩直線平行）；∴∠CDE＝（∠DEF）（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（角的和與差）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（等量代換）；∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代換）；【問題遷移】：請參考嘉琪的解題思