2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽七年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義專題4初識(shí)非負(fù)數(shù)閱讀與思考絕對(duì)值是初中代數(shù)中的一個(gè)重要概念，引入絕對(duì)值概念之后，對(duì)有理數(shù)、相反數(shù)以及后續(xù)要學(xué)習(xí)的算術(shù)根可以有進(jìn)一步的理解；絕對(duì)值又是初中代數(shù)中的一個(gè)基本概念，在求代數(shù)式的值、代數(shù)式的化簡(jiǎn)、解方程與解不等式時(shí)，常常遇到含有絕對(duì)值符號(hào)的問(wèn)題，理解、掌握絕對(duì)值概念應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：1.去絕對(duì)值符號(hào)法則2.絕對(duì)值的幾何意義從數(shù)軸上看，即表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即代表的是一個(gè)長(zhǎng)度，故表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，表示數(shù)軸上數(shù)、數(shù)的兩點(diǎn)間的距離.3.絕對(duì)值常用的性質(zhì)①②③④⑤⑥例題與求解【例1】已知，且，那么.（祖沖之杯邀請(qǐng)賽試題）解題思路：由已知求出、的值，但要注意條件的制約，這是解本題的關(guān)鍵.【例2】已知、、均為整數(shù)，且滿足，則（）A.1B.2C.3D.4（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：≥0，≥0，又根據(jù)題中條件可推出，中一個(gè)為0，一個(gè)為1.【例3】已知＋＋＋…＋＋＝0，求代數(shù)式…－的值.解題思路：運(yùn)用絕對(duì)值、非負(fù)數(shù)的概念與性質(zhì)，先求出…，的值，注意的化簡(jiǎn)規(guī)律.【例4】設(shè)、、是非零有理數(shù)，求的值.解題思路：根據(jù)、、的符號(hào)的所有可能情況討論，化去絕對(duì)值符號(hào)，這是解本例的關(guān)鍵.（希望杯邀請(qǐng)賽試題）【例5】設(shè)是六個(gè)不同的正整數(shù)，取值于1，2，3，4，5，6.記，求S的最小值.（四川省競(jìng)賽試題）解題思路：利用絕對(duì)值的幾何意義建立數(shù)軸模型.【例6】已知，且，求的值.（北京市迎春杯競(jìng)賽試題）解題思路：由知，即，代入原式中，得，再對(duì)的取值，分情況進(jìn)行討論.A級(jí)1.若為有理數(shù)，那么，下列判斷中：（1）若，則一定有；（2）若，則一定有；（3）若，則一定有；（4）若，則一定有；正確的是.（填序號(hào)）2.若有理數(shù)滿足，則.3.若有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)的位置如下圖所示，則化簡(jiǎn)后的結(jié)果是.4.已知正整數(shù)滿足，，且，則的值是.（四川省競(jìng)賽試題）5.已知且，那么.6.如圖，有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：則在中，負(fù)數(shù)共有（）A．3個(gè)B．1個(gè)C．4個(gè)D．2個(gè)（湖北省荊州市競(jìng)賽試題）7.若，且，那么的值是（）A．3或13B．13或－13C．3或－3D．－3或－138.若是有理數(shù)，則一定是（）A．零B．非負(fù)數(shù)C．正數(shù)D．負(fù)數(shù)9.如果，那么的取值范圍是（）A．B．C．D．10.是有理數(shù)，如果，那么對(duì)于結(jié)論（1）一定不是負(fù)數(shù)；（2）可能是負(fù)數(shù)，其中（）A．只有（1）正確B．只有（2）正確C．（1）（2）都正確D．（1）（2）都不正確（江蘇省競(jìng)賽試題）11.已知是非零有理數(shù)，且，求的值.12.已知是有理數(shù)，，且，求的值.（希望杯邀請(qǐng)賽試題）B級(jí)1.若，則代數(shù)式的值為.2.已知，那么的值為.3.數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且，則.（重慶市競(jìng)賽試題）4.若，則的值等于（五城市聯(lián)賽試題）5.已知，則.（希望杯邀請(qǐng)賽試題）6.如果，那么代數(shù)式在≤≤15的最小值（）A.30B.0C.15D.一個(gè)與有關(guān)的代數(shù)式7.設(shè)k是自然數(shù)，且，則等于（）A.3B.2C.D.（創(chuàng)新杯邀請(qǐng)賽試題）8.已知，那么的最大值等于（）A．1B．5C．8D．9（希望杯邀請(qǐng)賽試題）9.已知都不等于零，且，根據(jù)的不同取值，有（）A．唯一確定的值B．3種不同的值C．4種不同的值D．8種不同的值10.滿足成立的條件是（）A．B．C．D．（湖北省黃岡市競(jìng)賽試題）11.有理數(shù)均不為0，且，設(shè)，試求代數(shù)式的值.（希望杯邀請(qǐng)賽訓(xùn)練題）專題04初識(shí)非負(fù)數(shù)例1－2或－8例2B提示：｜a－b｜，｜a－c｜中必有一個(gè)為0，一個(gè)為1，不妨設(shè)｜a－b｜＝0，｜a－c｜＝1，則a＝b，｜b－c｜＝1，原式＝0＋1＋1＝2．例36提示：由題意得x1＝1，x2＝1，…，x2003＝2003，原式＝2－22－23－…－22002－22003＝22003－22002－…－23－22＋2＝22002（2－1）－22001－…－22＋2＝22002－22001－…－22＋2＝…＝24－23－22＋2＝23（2－1）－22＋2＝23－22＋2＝6．例4－1或7提示：分下列四種情形討論：（1）若a，b，c均為正數(shù)，則ab>0，ac>0，bc>0，原式＝＝7；（2）若a，b，c中恰有兩個(gè)正數(shù)，不失一般性，可設(shè)a>0，b>0，c<0，則ab>0，ac<0，bc<0，abc<0，則原式＝－1；（3）若a，b，c中只有一個(gè)正數(shù)，不失一般性，可設(shè)a>0，b<0，c<0，則ab<0，ac<0，bc>0，abc>0，則原式＝－1；（4）若a，b，c均為負(fù)數(shù)，則ab>0，bc>0，ac>0，abc<0，原式＝－1．例5根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，題意可理解為“從數(shù)軸上點(diǎn)1出發(fā)，每次走一個(gè)整點(diǎn)，分別到達(dá)點(diǎn)2，點(diǎn)3，點(diǎn)4，點(diǎn)5，點(diǎn)6，最后回到點(diǎn)1，最少路程為多少?”為避免重復(fù)，從左到右走到6，再?gòu)挠业阶笞叩?為最短路線，取x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5，x6＝6，則S＝1＋1＋1＋1＋1＋5＝10，（也可以取x1＝1，x2＝4，x3＝6，x4＝5，x5＝3，x3＝2）．例6根據(jù)｜2a－b－1｜＝0知2a－b－1＝0，即b＝2a－1．代人原式中，得（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝2a＋4．對(duì)3a－1的取值分情況討論為：（1）當(dāng)3a－1＞0，即a＞時(shí)，∵（3a－1）2＞0，｜2a＋4｜＞0，2a＋4＞0．∴（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞2a＋4，矛盾．（2）當(dāng)3a－1＜0，即a＜時(shí)，①若2a＋4≤0，而（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞0，矛盾．②若2a＋4＞0，則（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞2a＋4，矛盾．（3）當(dāng)3a－1＝0，即時(shí)，（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝2a＋4成立，得b＝－．綜上可知a＝，b＝－，ab＝－．A級(jí)1．（4）2．－3．1－2c＋b提示：－1<c<0<a<b∴c－1<0，a－c>0，a－b<0．∴原式＝1－c＋a－c＋b－a＝1－2c＋b．4．2提示：原式變形為｜b－2｜＝2－b，｜a－b｜＝b－a．∴b－2≤0，a－b≤0．又∵a≠b，∴a<b≤2．又∵a，b為正整數(shù)，故a＝1，b＝2．5．46．A7．A8．B9．D10．A11．－1提示：a，b，c中不能全為正值，也不能全為負(fù)數(shù)，只能是一正二負(fù)或二正一負(fù)，原式值都為－1．12．∵｜a－b｜<9，｜c(diǎn)－d｜≤16，故｜a－b｜＋｜c(diǎn)－d｜<25．又∵25＝｜a－b－c＋d｜＝｜(a－b)＋(d－c)｜≤｜a－b｜＋｜c(diǎn)－d｜<25，∴｜a－b｜＝9，｜c(diǎn)－d｜＝16，故原式＝9－16＝－7．B級(jí)1．12．3．24．1或－35．－946．C提示：利用絕對(duì)值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行分析，當(dāng)x取15時(shí)，原式有最小值15．7．A提示：b＝－ka且k>0．故｜b｜＝k｜a｜，代人原式中，原式＝．當(dāng)a＞0時(shí)，原式＝；當(dāng)a＜0時(shí)，原式＝．故原式＝3．8．B提示：分0≤a≤2，2<a≤3，3<a≤4三種情況討論．9．B10．C11．提示：a，b，c中不能全同號(hào)，必一正二負(fù)或二正一負(fù)，得a＝－(b＋c)，b＝－(c＋a)，c＝－(a＋b)，即，，，∴，，中必有兩個(gè)同號(hào)，另一個(gè)符號(hào)與其相反，即其值為兩個(gè)＋1，一個(gè)－1或兩個(gè)－1，一個(gè)＋1，1＝1，原式＝1902．專題5數(shù)與形的第一次聯(lián)姻閱讀與思考數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的學(xué)科，在數(shù)學(xué)里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的，我們常用代數(shù)的方法來(lái)處理幾何問(wèn)題；反過(guò)來(lái)，也借助與幾何圖形來(lái)處理代數(shù)問(wèn)題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間的相互作用叫數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學(xué)思想．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具，主要體現(xiàn)在一下幾個(gè)方面：1．利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；2．利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；3．利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小；4．利用數(shù)軸解決與絕對(duì)值相關(guān)的問(wèn)題．例題與求解【例1】已知數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，A，B之間的距離為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3，那么所有滿足條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離之和等于_____________．（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）解題思路：確定A，B在數(shù)軸上的位置，求出A，B兩點(diǎn)所表示的有理數(shù)．【例2】在數(shù)軸上和有理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示．有下面四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④，其中，正確的結(jié)論有（）個(gè)．A．4B．3C．2D．1（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：從數(shù)軸上得到，再對(duì)代數(shù)式進(jìn)行逐以一判斷．【例3】如圖所示，已知數(shù)軸上點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)都不為0，且是的中點(diǎn)．如果，試確定原點(diǎn)的大致位置．解題思路：從化簡(jiǎn)等式入手，而是解題的關(guān)鍵．【例4】（1）閱讀下面材料：點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)兩點(diǎn)之間的距離表示為．當(dāng)兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，

①如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；

②如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如圖4，點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；

綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離|AB|＝|a－b|．

（2）回答下列問(wèn)題：

①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是_________，數(shù)軸上表示－2和－5的兩點(diǎn)之間的距離是______________，數(shù)軸上表示1和－3的兩點(diǎn)之間的距離是________________；

②數(shù)軸上表示x和－1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是______________，如果|AB|＝2，那么x為_(kāi)________；

③當(dāng)代數(shù)式|x＋1|十|x－2|取最小值時(shí)________，相應(yīng)的x的取值范圍是___________．④求的最小值．（江蘇省南京市中考試題）解題思路：通過(guò)觀察圖形，閱讀理解代數(shù)式所表示的意義，來(lái)回答所提出的具體問(wèn)題．【例5】某城市沿環(huán)形路有五所小學(xué)，依次為一小、二小、三小、四小、五小，它們分別有電腦15，7，11，3，14臺(tái)，現(xiàn)在為使各校電腦臺(tái)數(shù)相等，各調(diào)幾臺(tái)給鄰校，現(xiàn)規(guī)定一小給二小，二小給三小，三小給四小，四小給五小，五小給一小，要使電腦調(diào)動(dòng)臺(tái)數(shù)最小，應(yīng)該做怎樣的安排？（湖北省荊州市競(jìng)賽試題）解題思路：通過(guò)設(shè)未知數(shù)，把調(diào)動(dòng)的電腦臺(tái)數(shù)用相關(guān)代數(shù)式表示出來(lái)．解題的關(guān)鍵是怎樣將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值．【例6】如圖，是數(shù)軸上表示－30的點(diǎn)，是數(shù)軸上表示10的點(diǎn)，是數(shù)軸上表示18的點(diǎn)，點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是6個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，點(diǎn)和點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒．設(shè)三個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，線段AC＝6（單位長(zhǎng)度）？

（2）t≠5時(shí)，設(shè)線段OA的中點(diǎn)為P，線段OB的中點(diǎn)為M，線段OC的中點(diǎn)為N，求2PM－PN＝2時(shí)t的值．（湖北省荊州市競(jìng)賽試題）解題思路：（1）三點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)，分別當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況來(lái)分析求解．（2）先將三個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別寫(xiě)出來(lái)，因點(diǎn)M始終在點(diǎn)左側(cè)，則分為“點(diǎn)在左邊”，“點(diǎn)在之間”，“點(diǎn)在右邊”三種情況來(lái)求解．能力訓(xùn)練A級(jí)1．已知數(shù)軸上表示負(fù)數(shù)有理數(shù)的點(diǎn)是點(diǎn)，那么在數(shù)軸上與點(diǎn)相距個(gè)單位的點(diǎn)中，與原點(diǎn)距離較遠(yuǎn)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是______________．（江蘇省競(jìng)賽試題）2．如果數(shù)軸上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5，那么兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_____________．3．點(diǎn)分別是數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，使線段沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)到的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)3，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是________________，點(diǎn)移動(dòng)的距離是____________．（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4．已知，且，那么有理數(shù)的大小關(guān)系是_________________________．（用“＜”號(hào)連接）（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）5．在數(shù)軸上任取一條長(zhǎng)度為的線段，則此線段在數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）．A．1998B．1999C．2000D．2001（重慶市競(jìng)賽試題）6．如圖，為數(shù)軸上的兩點(diǎn)表示的有理數(shù)，在中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．1B．2C．3D．4（“祖沖之”邀請(qǐng)賽試題）7．有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子化簡(jiǎn)結(jié)果為（）．A．B．C．D．8．如圖所示，在數(shù)軸上有六個(gè)，且，則與點(diǎn)所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是（ ）．A．－1B．0C．1D．2（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）9．已知為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示：且，求的值．10．電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)，第一步從向左挑一個(gè)單位到，第二步由向右跳2個(gè)單位到，第三步由向左跳3個(gè)單位到，第四步由向右跳4個(gè)單位到，…，按以上規(guī)律跳了100步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)恰是19.94．則電子跳蚤的初始位置點(diǎn)所表示的數(shù)是_________________．11．如圖，已知分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為－20，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100．（1）求過(guò)中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻恰好從點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)相遇，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．（3）若當(dāng)電子螞蟻從點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻恰好從點(diǎn)出發(fā)，以4單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)相遇，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．B級(jí)1．有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：則化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)____________________．2．電影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墻進(jìn)入“”的鏡頭（如示意圖中站臺(tái)），構(gòu)思奇妙，給觀眾留下深刻的印象．若站臺(tái)分別位于－2，－1處，，則站臺(tái)用類似電影里的方法稱為“_________________站臺(tái)”（《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）3．在數(shù)軸上，若點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是點(diǎn)與三〇若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離的4倍，則點(diǎn)表示的數(shù)是_________________．（河南省競(jìng)賽試題）4．若，則使成立的的取值范圍是__________________．（武漢市選拔賽試題）5．如圖，直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，且，那么，到三點(diǎn)距離的和最小的點(diǎn)為（ ）．A．點(diǎn)外B．線段的中點(diǎn)C．線段外一點(diǎn)D．無(wú)窮多個(gè)（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）6．點(diǎn)都在數(shù)軸上，點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，且，，依照上述規(guī)律，點(diǎn)所表示的數(shù)分別為（ ）．A．2008，－2009B．－2008，2009C．1004，－1005D．1004，－1004（福建省泉州市中考試題）7．設(shè)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）．A．沒(méi)有最小值B．只有一個(gè)使去最小值C．有限個(gè)（不止一個(gè)）使去最小值D．有無(wú)窮多個(gè)使取最小值（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）8．如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩個(gè)點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)，且，那么數(shù)軸的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是（ ）．A．B．C．D．（“新世紀(jì)杯”廣西初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）9．已知，求的最大值和最小值．（江蘇省競(jìng)賽試題）10．如圖，在環(huán)形運(yùn)輸線路上有六個(gè)倉(cāng)庫(kù)，現(xiàn)有某種貨物的庫(kù)存量分別是50噸、84噸、80噸、70噸、55噸和45噸．要對(duì)各倉(cāng)庫(kù)的存貨進(jìn)行調(diào)整，使得每個(gè)倉(cāng)庫(kù)的存貨量相等，但每個(gè)倉(cāng)庫(kù)只能相相鄰的倉(cāng)庫(kù)調(diào)運(yùn)，并使調(diào)運(yùn)的總量最?。蟾鱾}(cāng)庫(kù)向其他倉(cāng)庫(kù)的調(diào)運(yùn)量．11．如圖，數(shù)軸上標(biāo)有個(gè)點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的整數(shù)是．為了確保從這些點(diǎn)中可以取出2006個(gè)，使任何兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都不等于4．求的最小值．（“華羅庚金杯”少年邀請(qǐng)賽試題）專題05數(shù)與形的第一次聯(lián)姻例112提示：點(diǎn)A表示數(shù)為3或－3，滿足條件的點(diǎn)B共有4個(gè)．例2B提示：由數(shù)軸知a＜－1＜0＜b＜c＜1．∴abc＜0，故①正確；由絕對(duì)值的幾何意義知②正確；a－b＜0，b－c＜0，c－a＞0，故（a－b）（b－c）(c－a）＞0，③正確；|a|＞1，1－bc＜1，|a|＞1－bc，④不正確．例3原點(diǎn)O在線段AC上．例4①3，3，4②|x＋1|1或－3③－1≤x≤2④997002例5如圖，用A，B，C，D，E點(diǎn)順時(shí)針排列依次表示一至五所小學(xué)，且順次向鄰校調(diào)給，，，，臺(tái)電腦．依題意得：7＋－＝11＋－＝3＋－＝14＋－＝15＋－＝10．得＝－3，＝－2，＝－9，＝－5．本題要求y＝||＋||＋||＋||＋||的最小值，依次代入，可得y＝||＋|－3|＋|－2|＋|－9|＋|－5|．由絕對(duì)值幾何意義可知，當(dāng)＝3時(shí)，y有最小值12．此時(shí)有＝0，＝1，＝－6，＝－2．所以，一小向二小調(diào)出3臺(tái)，三小向四小調(diào)出1臺(tái)，五小向四小調(diào)出6臺(tái)，一小向五小調(diào)出2臺(tái)，這樣調(diào)動(dòng)的電腦總臺(tái)數(shù)最小為12臺(tái)．例6（1）A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，∵線段AC＝6，∴6＋6t＝30＋18＋3t，解得t＝14．當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，∵線段AC－6，∴6t－6＝30＋18＋3t，解得t＝18．綜上可知，t為14或18時(shí)，線段AC＝6．當(dāng)點(diǎn)A，B，C三個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)t秒后，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為：6t－30，10＋3t，18＋3t．∵P，M，N分別為OA，OB，OC的中點(diǎn)．∴P，M，N三個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為：，，．且點(diǎn)M始終在點(diǎn)N左側(cè)．①若點(diǎn)P在M，N左邊，則PM＝－＝20－1．5t，PN＝－＝24－1．5t．∵2PM－PN＝2，∴2（20－1．5t）－（24－1．5t）＝2，∴t＝．②若點(diǎn)P在M，N之間，則PM＝－＝－20＋1．5t，PN＝－＝24－1．5t．∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（24－1．5t）＝2，∴t＝．③若點(diǎn)P在M，N右邊，則PM＝－＝－20＋1．5t，PN＝－＝－24＋1．5t．∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（－24＋1．5t）＝2，∴t＝12．但此時(shí)PM＝－20＋1．5t＜0，所以此情況不成立．綜上可知，t＝或時(shí)符合題意．A級(jí)1．2m2．2或8 ，提示：AB的長(zhǎng)為＝，對(duì)應(yīng)的數(shù)為3－＝，點(diǎn)A移動(dòng)的距離為－（－3）＝．4．b＜－a＜a＜|b|5．C6．B7．C8．C9．510．－30．06提示：設(shè)點(diǎn)表示的有理數(shù)為x，則，，…，點(diǎn)所表示的有理數(shù)分別為x－1，x－1＋2，x－1＋2－3，…，x－1＋2－3＋4－…－99＋100．由題意得x－1＋2－3＋4－…－99＋100＝19．94．11．（1）M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為＝40．（2）相遇時(shí)間為＝12秒，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100－12×6＝28．（3）追擊時(shí)間為60秒，D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為－260．B級(jí)1．－22．3．24或40．提示：設(shè)N點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知|x|＝4|x－30|．對(duì)x分情況討論得出x＝24或x＝40．b≤x≤a5．A6．C7．D8．C9．原式化為|x＋2|＋|1－x|＋|y－5|＋|1＋y|＝9．∵|x＋2|＋|1－x|≥3，當(dāng)－2≤x≤1時(shí)等號(hào)成立；|y－5|＋|1＋y|≥6，當(dāng)－1≤y≤5時(shí)等號(hào)成立．∴x＋y的最大值＝1＋5＝6；x＋y的最小值＝－2－1＝－3．10．調(diào)運(yùn)后各倉(cāng)庫(kù)的存貨量都相等，應(yīng)為×（50＋84＋80＋70＋55＋45）＝64噸．設(shè)A庫(kù)運(yùn)往B庫(kù)噸，B庫(kù)運(yùn)往C庫(kù)噸，C庫(kù)運(yùn)往D庫(kù)噸，D庫(kù)運(yùn)往E庫(kù)噸，E庫(kù)運(yùn)往F庫(kù)噸，F(xiàn)庫(kù)運(yùn)往A庫(kù)噸，故有:50＋－＝84＋－＝80＋－＝70＋－＝55＋－＝45＋－＝64．所以，＝－14，＝＋20＝＋6，＝＋16＝＋22，＝＋6＝＋28，＝－9＝＋19．若使調(diào)運(yùn)量最小，則有y＝||＋||＋||＋||＋||＋||＝||＋|－14|＋|＋6|＋|＋22|＋|＋28|＋|＋19|取最小值．而－28＜－22＜－19＜－6＜0＜14，所以，當(dāng)－19≤-6時(shí)，y有最小值，此時(shí)，-33-20，-130，316，922，013.當(dāng)=-19時(shí)，=-33,=-13，=3,=9,=0.即A庫(kù)運(yùn)往B庫(kù)-33噸，亦即B庫(kù)運(yùn)往A庫(kù)33噸.B庫(kù)運(yùn)往C庫(kù)-13噸，亦即C庫(kù)運(yùn)往B庫(kù)13噸.C庫(kù)運(yùn)往D庫(kù)3噸，D庫(kù)運(yùn)往E庫(kù)9噸，E庫(kù)運(yùn)往F庫(kù)0噸，F(xiàn)庫(kù)運(yùn)往A庫(kù)19噸，總調(diào)運(yùn)量為77噸.11.首先注意8個(gè)連續(xù)的點(diǎn)，例如0，1，2，3，4，5，6，7.從中可取前4個(gè)點(diǎn)0，1，2，3，其中任何兩個(gè)點(diǎn)的距離為4：（0，4），（1，5），（2，6），（3，7），所以每一組只能選一個(gè)點(diǎn)，8個(gè)點(diǎn)中只能選出4個(gè)點(diǎn)，任何兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都不等于4.因?yàn)?006=4×501+2，8×501=4010.故當(dāng)n=2005時(shí)，2n+1=4011.從左到右，每8個(gè)連續(xù)的點(diǎn)中取前4個(gè)點(diǎn)，剩下的3個(gè)點(diǎn)中取2個(gè)點(diǎn)，共取2006個(gè)點(diǎn)，任何兩點(diǎn)間的距離都不等于4.另一方面，如果n≤2004，那么2n+1≤4009.從左到右，第8個(gè)連續(xù)點(diǎn)一組，至多502組，其中最后一組只有1個(gè)點(diǎn).因此不論怎么取2006個(gè)點(diǎn)，前501組中總有一組取的點(diǎn)多于4個(gè)，從而有兩個(gè)點(diǎn)的距離為4.綜上所述，n的最小值是2005.專題06有理數(shù)的計(jì)算閱讀與思考在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)會(huì)根據(jù)四則運(yùn)算法則對(duì)整數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)引進(jìn)負(fù)數(shù)概念后，數(shù)集擴(kuò)大到了有理數(shù)范圍，我們又學(xué)習(xí)了有理數(shù)的計(jì)算，有理數(shù)的計(jì)算與算術(shù)數(shù)的計(jì)算有很大的不同：首先，有理數(shù)計(jì)算每一步要確定符號(hào)；其次，代數(shù)與算術(shù)不同的是“字母代數(shù)”，所以有理數(shù)的計(jì)算很多是字母運(yùn)算，也就是通常說(shuō)的符號(hào)演算．?dāng)?shù)學(xué)競(jìng)賽中的計(jì)算通常與推理相結(jié)合，這不但要求我們能正確地算出結(jié)果，而且要善于觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活選用算法和技巧，提高計(jì)算的速度．有理數(shù)的計(jì)算常用的技巧與方法有：1．利用運(yùn)算律．2．以符代數(shù)．3．裂項(xiàng)相消．4．分解相約．5．巧用公式等．例題與求解【例1】已知m，n互為相反數(shù)，a，b互為負(fù)倒數(shù)，x的絕對(duì)值等于3，則的值等于______________．（湖北省黃岡市競(jìng)賽試題）解題思路：利用互為相反數(shù)、互為倒數(shù)的兩個(gè)有理數(shù)的特征計(jì)算．【例2】已知整數(shù)滿足，且，那么等于（ ）A．0B．10C．2D．12（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：解題的關(guān)鍵是把25表示成4個(gè)不同的整數(shù)的積的形式．【例3】計(jì)算：（1）（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）（2）；（江蘇省泰州市奧校競(jìng)賽試題）（3）．（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：對(duì)于（1），若先計(jì)算每個(gè)分母值，則掩蓋問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，不妨先從考察一般情形入手；對(duì)于（2），由于相鄰的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是7，考慮用字母表示和式；（3）中裂項(xiàng)相消，簡(jiǎn)化計(jì)算．【例4】都是正整數(shù)，并且，．(1)證明：，；(2)若，求和的值．（“華羅庚金杯”少年邀請(qǐng)賽試題）解題思路：（1）對(duì)題中已知式子進(jìn)行變形．（2）把（1）中證明得到的式子代入，再具體分析求解．【例5】在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明為了求的值（結(jié)果用表示），設(shè)計(jì)了如圖①，所示的幾何圖形．（1）請(qǐng)你用這個(gè)幾何圖形求的值．（2）請(qǐng)你用圖②，在設(shè)計(jì)一個(gè)能求的值的幾何圖形．（遼寧省大連市中考試題）解題思路：求原式的值有不同的解題方法，二剖分圖形面積是構(gòu)造圖形的關(guān)鍵．【例6】記，令稱為這列數(shù)的“理想數(shù)”，已知的“理想數(shù)”為2004．求的“理想數(shù)”．（安徽省中考試題）解題思路：根據(jù)題意可以理解為為各項(xiàng)和，為各項(xiàng)和的和乘以．能力訓(xùn)練A級(jí)1．若互為相反數(shù)，互為倒數(shù)．，的值為_(kāi)___________．（湖北省武漢市調(diào)考試題）2．若，則=___________．（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）3．計(jì)算：（1）＝________________；（2）＝__________________．4．將1997減去它的，再減去余下的，再減去余下的，再減去余下的，，依次類推，直至最后減去余下的，最后的答案是_______________．（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）5．右圖是一個(gè)由六個(gè)正方體組合而成的幾何體，每個(gè)小正方體的六個(gè)面上都分別寫(xiě)著－1，2，3，－4，5，6六個(gè)數(shù)字，那么圖中所有看不見(jiàn)的面上的數(shù)字和是___________．（湖北省仙桃市中考試題）6．如果有理數(shù)滿足關(guān)系式，那么代數(shù)式的值（ ）A．必為正數(shù)B．必為負(fù)數(shù)C．可正可負(fù)D．可能為0（江蘇省競(jìng)賽試題）7．已知有理數(shù)兩兩不相等，則，，中負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè)或2個(gè)（重慶市競(jìng)賽試題）8．若與互為相反數(shù)，則＝（ ）A．0B．1C．－1D．1997（重慶市競(jìng)賽試題）9．如果，，則的值是（ ）A．2B．1C．0D．-1（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）10．若是互為不相等的整數(shù)，且，則等于（ ）A．0B．4C．8D．無(wú)法確定11．把，3.7，，2.9，4.6分別填在圖中五個(gè)Ο內(nèi)，再在每個(gè)□中填上和它相連的三個(gè)Ο中的數(shù)的平均數(shù)，再把三個(gè)□中的平均數(shù)填在△中．找出一種填法，使△中的數(shù)盡可能小，并求這個(gè)數(shù)．（“華羅庚金杯”少年邀請(qǐng)賽試題）12．已知都不等于零，且的最大值為，最小值為，求的值．B級(jí)1．計(jì)算：＝________________．（“五羊杯”競(jìng)賽試題）2．計(jì)算：＝________________．（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）3．計(jì)算：＝____________________．4．據(jù)美國(guó)詹姆斯·馬丁的測(cè)算，在近十年，人類的知識(shí)總量已達(dá)到每三年翻一翻，到2020年甚至要達(dá)每73翻番空前速度，因此，基礎(chǔ)教育任務(wù)已不是“教會(huì)一切人一切知識(shí)，而是讓一切人學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”．已知2000年底，人類知識(shí)總量，假入從2000年底2009年底每3年翻一翻；從2009年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．（1）2009年底人類知識(shí)總量是：__________________；（2）2019年底人類知識(shí)總量是：__________________；（3）2020年按365天計(jì)算，2020年底類知識(shí)總量會(huì)是____________________．（北京市順義區(qū)中考試題）5．你能比較和的大小嗎？為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們首先寫(xiě)出它的一般形式，即比較與的大?。╪是自然數(shù)），然后我們從分析n=1，n=2，n=3…中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歸納、猜想得出結(jié)論（1）通過(guò)計(jì)算，比較下列各組中兩數(shù)的大小：（在橫線上填寫(xiě)“＞”“=”“＜”）①，②；③；④；⑤（2）從第（1）題的結(jié)果中，經(jīng)過(guò)歸納，可以猜想出與的大小關(guān)系是_____________________________________________________________________________；（3）根據(jù)以上歸納．猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩數(shù)的大小_____：．（福建省龍巖市中考試題）6．有2009個(gè)數(shù)排成一列，其中任意相鄰的三個(gè)數(shù)中，中間的數(shù)總等于前后兩數(shù)的和．若第一個(gè)數(shù)是1，第二個(gè)數(shù)是－1，則這個(gè)2009個(gè)數(shù)的和是（ ）A．－2B．－1C．0D．2（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽海南省試題）7．如果，那么