2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題練習(xí)★★球的切接問(wèn)題（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，一般是通過(guò)對(duì)幾何體的割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問(wèn)題，利用等體積法求內(nèi)切球半徑等，一般出現(xiàn)在壓軸小題位置．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一：空間幾何體的外接球規(guī)律方法求解空間幾何體的外接球問(wèn)題的策略(1)定球心：球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑．(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的．(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解．【例1】（2024·遼寧撫順·一模）在三棱錐中，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知正四面體的棱長(zhǎng)為，則該四面體的外接球與以點(diǎn)為球心，為半徑的球面的交線的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式2】(2023·昆明模擬)故宮太和殿是中國(guó)形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐廡殿頂?shù)奈蓓敇邮?，廡殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿．由于屋頂有四面斜坡，故又稱四阿頂．如圖，某幾何體ABCDEF有五個(gè)面，其形狀與四阿頂相類似．已知底面ABCD為矩形，AB＝4，AD＝EF＝2，EF∥底面ABCD，且EA＝ED＝FB＝FC＝BC，則幾何體ABCDEF外接球的表面積為()A．22π B．28πC．32π D．38π【變式3】(2023·全國(guó)乙卷)已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝________.考點(diǎn)二：空間幾何體的內(nèi)切球規(guī)律方法空間幾何題的內(nèi)切球問(wèn)題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑．【例2】（2024·湖南·二模）一個(gè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2，高為，則該四棱錐的內(nèi)切球表面積為.【變式1】(2023·沈陽(yáng)模擬)如圖，圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓臺(tái)的側(cè)面和底面均相切．已知圓臺(tái)的下底面圓心為O1，半徑為r1，圓臺(tái)的上底面圓心為O2，半徑為r2(r1>r2)，球的球心為O，半徑為R，記圓臺(tái)的表面積為S1，球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)的可能的取值為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(π,3)D.eq\f(4,3)【變式2】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）某包裝設(shè)計(jì)部門為一球形塑料玩具設(shè)計(jì)一種正四面體形狀的外包裝盒（盒子厚度忽略不計(jì)），已知該球形玩具的直徑為2，每盒需放入10個(gè)塑料球，則該種外包裝盒的棱長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·四川宜賓·二模）所有棱長(zhǎng)均為6的三棱錐，其外接球和內(nèi)切球球面上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最大值為.強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知某正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東梅州·一模）某圓錐的底面直徑和高均是2，則其內(nèi)切球（與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的半徑為（

）A． B．C． D．3．（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）將邊長(zhǎng)為2的正三角形沿某條線折疊，使得折疊后的立體圖形有外接球，則當(dāng)此立體圖形體積最大時(shí)，其外接球表面積為（

）A． B． C． D．5．（2024·河北邯鄲·三模）已知在四面體中，，二面角的大小為，且點(diǎn)A，B，C，D都在球的球面上，為棱上一點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．若，則（

）A． B． C． D．6．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的底面為矩形，，，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，M為四棱錐內(nèi)切球表面上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2024·河南開封·二模）已知經(jīng)過(guò)圓錐的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是（

）A． B． C． D．8．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知四點(diǎn)均在半徑為（為常數(shù)）的球的球面上運(yùn)動(dòng)，且，若四面體的體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題1．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，若分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．平面C．點(diǎn)到平面的距離為D．三棱錐外接球的半徑為2．（2024·新疆·一模）如圖，兩個(gè)共底面的正四棱錐組成一個(gè)八面體E-ABCD-F，且該八面體的各棱長(zhǎng)均相等，則（

）A．異面直線AE與BF所成的角為60°B．BD⊥CE.C．此八面體內(nèi)切球與外接球的表面積之比為D．直線AE與平面BDE所成的角為60°3.（2024·江西上饒·一模）空間中存在四個(gè)球，它們半徑分別是2，2，4，4，每個(gè)球都與其他三個(gè)球外切，下面結(jié)論正確的是（

）A．以四個(gè)球球心為頂點(diǎn)的四面體體積為B．以四個(gè)球球心為頂點(diǎn)的四面體體積為C．若另一小球與這四個(gè)球都外切，則該小球半徑為D．若另一小球與這四個(gè)球都內(nèi)切，則該小球半徑為三、填空題1．（2024·貴州·三模）已知一個(gè)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其頂點(diǎn)為，底面圓心為，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，是底面內(nèi)接正三角形，且平面，則；三棱錐的外接球的表面積是.2．（2024·廣東·一模）已知表面積為的球O的內(nèi)接正四棱臺(tái)，，，動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則直線BP與平面所成角的正弦值的最大值為．3．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）如圖為某三棱錐的三視圖，其正視圖的面積為，則該三棱錐外接球表面積的最小值為．四、解答題1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）將個(gè)半徑為的球和個(gè)半徑為的球疊為兩層放在桌面上，上層只放個(gè)較小的球，個(gè)球兩兩相切，求上層小球的最高點(diǎn)到桌面的距離.

2．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖：長(zhǎng)為3的線段與邊長(zhǎng)為2的正方形垂直相交于其中心．(1)若二面角的正切值為，試確定在線段的位置；(2)在（1）的前提下，以，，，，，為頂點(diǎn)的幾何體是否存在內(nèi)切球？若存在，試確定其內(nèi)切球心的具體位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（23-24高三上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）如圖，已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為正三角形，是底面圓的直徑，點(diǎn)在上，且.

(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求能放置在該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積.4．（23-24高三上·上海普陀·期末）對(duì)于一個(gè)三維空間，如果一個(gè)平面與一個(gè)球只有一個(gè)交點(diǎn)，則稱這個(gè)平面是這個(gè)球的切平面.已知在空間直角坐標(biāo)系中，球的半徑為，記平面、平面、平面分別為、、.(1)若棱長(zhǎng)為的正方體、棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球均為球，求的值；(2)若球在處有一切平面為，求與的交線方程，