年中考第一次模擬考試（湖南長沙卷）數學·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．下列四個實數中，最小的是(

)A． B．4 C．1 D．【答案】D【分析】此題主要考查了實數大小比較的方法．正實數都大于0，負實數都小于0，正實數大于一切負實數，兩個負實數絕對值大的反而小，據此判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴最小的數是，故選：D．2．在以下回收、綠色食品、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是中心對稱圖形的是（

）A．B．C．D．

【答案】C【分析】根據中心對稱圖形的概念：一個圖形沿某個點旋轉180度后能與原圖完全重合的；由此問題可求解．【詳解】解：選項A、B、D不能找到一個點繞其旋轉180度后能與原圖完全重合，所以都不是中心對稱圖形，而C選項可以找到一個點繞其旋轉180度后能與原圖完全重合，所以是中心對稱圖形；故選C．【點睛】本題主要考查中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的概念是解題的關鍵．3．下列計算中，正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據積的乘方，完全平方公式，同底數冪的除法，二次根式的加法對各選項進行判斷即可．【詳解】解：由題意知，，正確，故A符合要求；，錯誤，故B不符合要求；，錯誤，故C不符合要求；，錯誤，故D不符合要求；故選：A．【點睛】本題考查了積的乘方，完全平方公式，同底數冪的除法，二次根式的加法．熟練掌握積的乘方，完全平方公式，同底數冪的除法，二次根式的加法是解題的關鍵．4．據共青團中央2023年5月3日發(fā)布的中國共青團團內統(tǒng)計公報，截至2022年12月底，全國共有共青團員7358萬．數據7358萬用科學記數法表示為（）A．7.358×107 B．7.358×103 C．7.358×104 D．7.358×106【答案】A【分析】本題主要考查了科學記數法，表示較大的數，利用科學記數法的法則解答即可．【詳解】解：7358萬，故選：A．5．如圖，把一個含有角的直角三角板放在兩條平行線m，n上，若，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可求，，即可求解．【詳解】解：如圖：

，，是的一個外角，，，，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，掌握性質是解題的關鍵．6．如圖，是的直徑，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圓周角的性質．由是的直徑可得，又由“同弧或等弧所對圓周角相等”可得，從而可求得．【詳解】∵是的直徑，∴，∵∴，∴．故選：C7．一元一次方程不等式組的解在數軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查的是一元一次不等式組的解法及在數軸上表示解集，在數軸上表示解集時“”，“”要用實心圓點表示；“”，“”要用空心圓點表示．熟練掌握不等式組的解法是解題的關鍵．先分別解出兩個不等式，然后找出解集，表示在數軸上即可．【詳解】解：，由①得，?，由②得，，故原不等式組的解集為：．在數軸上表示為：故答案為：D．8．如圖，在“經典誦讀”比賽活動中，某校10名學生參賽成績如圖所示，對于這10名學生的參賽成績，下列說法錯誤的是（）

A．眾數是90分 B．方差是10 C．平均數是91分 D．中位數是90分【答案】B【分析】根據眾數、中位數、平均數、方差的定義和統(tǒng)計圖中提供的數據分別列出算式，求出答案．【詳解】解：A、∵90出現了5次，出現的次數最多，∴眾數是90；故此選項不符合題意；B、方差是：；故此選項符合題意；C、平均數是（85×2+100×1+90×5+95×2）÷10＝91；故此選項不符合題意；D、∵共有10個數，∴中位數是第5、6個數的平均數，∴中位數是（90+90）÷2＝90；故此選項不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了折線統(tǒng)計圖，用到的知識點是眾數、中位數、平均數、方差，能從統(tǒng)計圖中獲得有關數據，求出眾數、中位數、平均數、方差是解題的關鍵．9．在同一平面直角坐標系中，函數和的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查正比例函數的系數和一次函數常數項決定圖象所過象限的知識點．【詳解】解：．由函數得，與圖象的矛盾，故本選項不符合題意；．函數所過象限錯誤，故本選項不符合題意；．函數所過象限錯誤，故本選項不符合題意；．由函數得，與圖象的一致，故本選項符合題意．故選：D．10．“千門萬戶瞳瞳日，總把新桃換舊符”．春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，古人常用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現在，人們常用貼“?！弊?、貼春聯、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿．某商家在春節(jié)期間開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿100元，就可以從“?！弊帧⒋郝?、燈籠這三類禮品中免費領取一件．禮品領取規(guī)則：顧客每次從裝有大小、形狀、質地都相同的三張卡片(分別寫有“福”字、春聯、燈籠)的不透明袋子中，隨機摸出一張卡片，然后領取一件與卡片上文字所對應的禮品．現有2名顧客都只領取了一件禮品，那么他們恰好領取同一類禮品的概率是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】分別用表示寫有“?！弊帧⒋郝?、燈籠的三張卡片，利用列表法求出概率即可．【詳解】解：分別用A，B，C表示寫有“?！弊?、春聯、燈籠的三張卡片，列表如下：ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C共有9中等可能的結果，其中他們恰好領取同一類禮品有種等可能的結果，∴；故選C．【點睛】本題考查列表法求概率，解題的關鍵是正確的列出表格．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．若在實數范圍內有意義，則的取值范圍是．【答案】【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握相關定義是解題關鍵．直接利用二次根式有意義則被開方數大于或等于零即可得出答案．【詳解】解：在實數范圍內有意義，故，解得：．故答案為：．12．分式方程的解是．【答案】【分析】先去分母，再解出整式方程，然后檢驗，即可求解．【詳解】解：去分母得：，解得：，檢驗：當時，，∴原方程的解為．故答案為：【點睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵．解分式方程注意要檢驗．13．若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，實數m的取值范圍是．【答案】/【分析】利用方程有兩個不相等的實數根時，，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍．【詳解】解：關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，，即，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵．14．如圖，扇形的半徑為1，分別以點A、B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，，則的長（結果保留π）．

【答案】/【分析】先求解，再利用弧長公式計算即可．【詳解】解：由作圖知：垂直平分，∵，∴，∵扇形的半徑是1，∴的長．故答案為：．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，等腰三角形的性質，弧長的計算，熟記弧長公式是解本題的關鍵．15．如圖，反比例函數的圖象經過對角線的交點，已知點A，，在坐標軸上，，的面積為16，則．

【答案】【分析】由平行四邊形面積轉化為矩形面積，在得到矩形面積，應用反比例函數比例系數k的意義即可．【詳解】解：如圖，過點做軸于點．

四邊形為平行四邊形，，又軸，為矩形，，，為對角線交點，軸，四邊形為矩形面積為8，即，設點坐標為，．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數k的幾何意義以及平行四邊形的性質，理解等底等高的平行四邊形與矩形面積相等是解題的關鍵．16．《九章算術》是中國古代的數學專著，書中記載了這樣一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其大意是：如圖，的兩條直角邊的長分別為5和12，則它的內接正方形的邊長為．【答案】/【分析】先設正方形的邊長為x，再表示出，，然后說明∽，并根據對應邊成比例得出答案.【詳解】根據題意可知，．設正方形的邊長為x，則，.∵四邊形是正方形，∴．∵，∴∽，∴，即，解得.所以正方形的邊長為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的性質和判定，相似三角形的對應邊成比例是求線段長的常用方法．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25每題10分，共72分）17．計算：【答案】【分析】本題考查實數的混合運算，先計算特殊角三角函數值，零次冪，負整數次冪，絕對值，再進行加減運算即可，正確計算是解題的關鍵．【詳解】解：18．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵．先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把a的值代入進行計算即可．【詳解】解：原式當時，原式．19．如圖，從水平面看一山坡上的通訊鐵塔，在點A處用測角儀測得塔頂端點P的仰角是，向前走9米到達B點，用測角儀測得塔頂端點P和塔底端點C的仰角分別是和．

(1)求的度數；(2)求該鐵塔的高度．（結果精確到米；參考數據：，）【答案】(1)(2)米【分析】本題考查了仰角的定義、解直角三角形、三角函數；（1）延長交直線于點F，根據直角三角形兩銳角互余求得即可；（2）設米，根據，構建方程求出x即可．【詳解】（1）延長交直線于點F，則，

依題意得：，，∴．（2）設米，∵，，∴，∴，∴米，在中，，，在中，，∴，∴，∴，∴（米），即該鐵塔的高度約為米．20．為了進一步加強中小學國防教育，教育部研究制定了《國防教育進中小學課程教材指南》．某中學開展了形式多樣的國防教育培訓活動．為了解培訓效果，該校組織七、八年級全體學生參加了國防知識競賽（百分制），并規(guī)定90分及以上為優(yōu)秀，分為良好，分為及格，59分及以下為不及格．該學校七、八兩個年級各有學生300人，現隨機抽取了七、八年級各20名學生的成績進行了整理與分析，下面給出了部分信息．a．抽取七年級20名學生的成績如下：65875796796789977710083698994589769788188b．抽取七年級20名學生成績的頻數分布直方圖如圖1所示（數據分成5組：，，，，）c．抽取八年級20名學生成績的扇形統(tǒng)計圖如圖2所示．

d．七年級、八年級各抽取的20名學生成績的平均數、中位數、方差如下表：年級平均數中位數方差七年級81八年級82請根據以上信息，回答下列問題：(1)補全七年級20名學生成績的頻數分布直方圖，寫出表中的值；(2)估計七、八兩個年級此次競賽成績達到優(yōu)秀的學生共有多少人；(3)若本次競賽成績達到81分及以上的同學可以獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會，請根據樣本數據估計，七、八兩個年級中哪個年級獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會的學生人數更多？并說明理由．【答案】(1)補全條形統(tǒng)計圖見解析；(2)七、八兩個年級此次競賽成績達到優(yōu)秀的學生共有165人(3)七年級獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會的學生人數更多；理由見解析【分析】（1）根據題意可得七年級成績位于的有4人；七年級成績位于第10位和第11位的是81和83，即可求解；（2）先求出八年級成績優(yōu)秀的所占的百分比，再分別用300乘以各自的百分比，即可求解；（3）分別求出七、八兩個年級獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會的學生人數，然后進行比較即可．【詳解】（1）解：根據題意得：七年級成績位于的有4人，補全圖形如下：

七年級成績位于第10位和第11位的是81和83，∴七年級成績的中位數；（2）解：根據題意得：八年級成績良好的所占的百分比為∴八年級成績優(yōu)秀的所占的百分比為，∴八年級成績達到優(yōu)秀的學生有（人），七年級成績達到優(yōu)秀的學生有人，（人），答：七、八兩個年級此次競賽成績達到優(yōu)秀的學生共有165人．（3）解：八年級獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會的學生人數約為：（人），七年級獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會的學生人數約為：（人），∵，∴七年級獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會的學生人數更多．【點睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，求中位數，用樣本估計總體，明確題意，準確從統(tǒng)計圖中獲取信息是解題的關鍵．21．如圖，在中，，點在邊上，連接，將繞點逆時針旋轉得到，連接，．

(1)求證：；(2)若時，求的長；(3)點在上運動時，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)存在，【分析】（1）由即可證明；（2）證明（），勾股定理得到，在中，勾股定理即可求解；（3）證明，即可求解．【詳解】（1）解：由題意，可知，，．．即．．（2）在中，，．．，，．．．在中，．（3）由（2）可知，．當最小時，有的值最小，此時．為等腰直角三角形，．．即的最小值為．【點睛】本題主要考查了圖形的幾何變換，涉及到等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．22．某服裝店老板到廠家選購A、B兩種型號的服裝，若購進A種型號服裝9件與B種型號服裝10件共需要1810元；若購進A種型號服裝12件與B種型號服裝8件共需要1880元．(1)A、B兩種型號的服裝每件分別為多少元？(2)若銷售1件A型服裝可獲利18元，銷售1件B型服裝可獲利30元，根據市場需求，服裝店老板決定購進A型服裝的數量要比購進B型服裝的數量的2倍還多4件，這樣服裝全部售出后可使總的獲利不少于732元，問至少購進B型服裝多少件？【答案】(1)A種型號服裝每件90元，B種型號服裝每件100元．(2)至少購進B型服裝10件．【分析】本題考查了一元一次不等式的應用、一元一次方程的應用，準確地找到等量關系并用方程組表示出來是解題的關鍵．（1）根據題意可知，本題中的相等關系是“A種型號服裝9件，B種型號服裝10件，需要1810元”和“A種型號服裝12件，B種型號服裝8件，需要1880元”，列方程組求解即可．（2）利用兩個不等關系列不等式，結合實際意義求解．【詳解】（1）設A種型號服裝每件x元，B種型號服裝每件y元．依題意可得：，解得：，答：A種型號服裝每件90元，B種型號服裝每件100元．（2）設B型服裝購進m件，則A型服裝購進件．根據題意得：，解不等式得，答：至少購進B型服裝10件．23．如圖，四邊形為矩形，點在邊上，，連接，過點作交于點，分別過點、作、且、相交于點．

(1)求證：；(2)連接，若，點是的中點，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據即余角的性質得到，可得，根據矩形的性質可得，可證明，由此即可求證；（2）根據題意可證四邊形是正方形，在中由勾股定理求出的長，且是等腰直角三角形，根據其性質得到．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：如圖所示，連接，

∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∵，點是的中點，∴，∵，在中，，∴，∵四邊形是正方形，∴是等腰直角三角形，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，矩形的性質，正方形的性質，勾股定理，解題的關鍵是證明，由勾股定理求出的長，由等腰直角三角形的性質即可得到．24．如圖，A，B，C是上的三點，且，，點D為優(yōu)弧上的動點，且．(1)如圖1，若，延長到F，使得，連接，求證：是的切線；(2)如圖2，若的角平分線與相交于E，求的半徑與的長；(3)如圖3，將的邊所在的直線繞點A旋轉得到，直線與相交于M，N，連接．在運動的過程中，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，說明變化規(guī)律．【答案】(1)見解析(2)的半徑為，(3)在運動的過程中，的值不發(fā)生變化，其值為25【分析】（1）連接，先證，推出，得到四邊形是平行四邊形，，再得到，即可證得結論；（2）連接交于H，連接，由垂徑定理得，根據，求出，設的半徑為x，則，，在中，由勾股定理求出，的半徑為，根據角平分線定義及同弧所對圓周角相等得到，由此得到；（3）連接，并延長交于Q，連接，過點A作于P，證明，得到，由（2）可知，點A到直線的距離為3，直線繞點A旋轉得到，A到直線的距離始終等于3，不會發(fā)生改變，由此得到．【詳解】（1）證明：連接，如圖1所示：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；

圖1（2）解：連接交于H，連接，如圖2所示：∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，設的半徑為x，則，，在中，由勾股定理得：，解得：，∴的半徑為，∵平分，∴，∵，∴，∴；

圖2（3）解：連接，并延長交于Q，連接，過點A作于P，如圖3所示：則是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由（2）可知，點A到直線的距離為3，直線繞點A旋轉得到，∴點A到直線的距離始終等于3，不會發(fā)生改變，∴，∵，∴，∴在運動的過程中，的值不發(fā)生變化，其值為25．

圖3【點睛】此題考查銳角三角函數，證明直線是圓的切線，平行四邊形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，垂徑定理，等知識，熟練掌握各知識點并綜合應用是解題的關鍵．25．定義：在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點坐標為，那么我們把經過點且平行于軸的直線稱為這條拋物線的極限分割線．【特例感知】(1)拋物線的極限分割線與這條拋物線的交點坐標為______．【深入探究