2023年全國新高考n卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

I.在復(fù)平面內(nèi)，(1+3I)(3T)對應(yīng)的點(diǎn)位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)集合A={0,—〃},5={1,〃一2,2〃一2},若A=3,則。=().

2

A.2B.1C.—D.—1

3

3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高

中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有

).

ACQc盛種B.C北種

Cd。種D-GQC品種

2x-l

4.若/(x)=(x+a)ln2+］為偶函數(shù)，則。一().

A.-1B.0cID.1

丫2

已知橢圓C:二+丁=1的左、右焦點(diǎn)分別為瓦,,若△耳A3

5.F2,直線y=與C交于A,8兩點(diǎn)

3

面積是面積的2倍，則().

2B及rV2_2

A.v--.-------D.

-3

333

6.已知函數(shù)/(x)=ae「Inx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為().

1-2

A.eB.eC.e-'D.e

已知。為銳角，cosa=⑴5,貝"in4=(

7.).

42

3-75?-1+75Q一非-1+V5

A.--------D.3D.

8-------------------------------844

8.記S,,為等比數(shù)列{%}的前w項(xiàng)和，若邑=-5,Ss=21s2,貝(J&=().

1

A.120B.85C.-85D.-120

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,A3為底面直徑，ZAPB=12Q°,PA=2,點(diǎn)C在底面圓周上,

且二面角P—AC—O為45。，貝u().

A.該圓錐的體積為兀B,該圓錐的側(cè)面積為4扃

C.AC=2-42D.AB4C面積為6

10.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=—百-1)過拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與c交于N兩點(diǎn)，

/為C的準(zhǔn)線，貝U().

Q

Ap=2B.|W|=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.為等腰三角形

b-

11.若函數(shù)/(x)=alnx+—+=(aw0)既有極大值也有極小值，貝U().

A.bc>0B.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<0

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為&(0<1<1),收到0的概

率為1—1；發(fā)送1時(shí)，收到。的概率為，(0<，<1),收到1的概率為1-，.考慮兩種傳輸方案：單次傳

輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需

要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即

為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(l-a)(l-,)2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為，(I-，)？

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為，(1-，)2+(1-，)3

D.當(dāng)0<】<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為。的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為。的概

率

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.己知向量a,o滿足卜―可=/，卜+々=12a—可，則網(wǎng)=.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2,高為3的正四棱錐，所

得棱臺的體積為.

2

8

15.已知直線/：%一行+1=0與(C:(x—19)~+/=4交于A,8兩點(diǎn)，寫出滿足“一A5C面積為的機(jī)

的一個(gè)值______.

1九

16.已知函數(shù)/(x)=sin(aa+0),如圖A,B是直線y=-與曲線y=/(%)的兩個(gè)交點(diǎn)，若|48|=—,

貝1J/（兀）;

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要文字說明、證明過程或演算步驟。

17.記4aBe的內(nèi)角A,5c的對邊分別為a,b,c,已知ABC的面積為6，D為BC中點(diǎn),且AO=1.

,71

(1)若ZADC=—,求tanB；

3

(2)若Z?2+02=8，求及C.

18.｛4｝為等差數(shù)列，bn=\"3田物，記S.，T,分別為數(shù)列｛4｝，也｝的前〃項(xiàng)和，§4=32,

[24,〃為偶數(shù)

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：當(dāng)〃>5時(shí)，Tn>Sn.

19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得

到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

3

頻率/蛆距

0.040…

0.036...................

0.034...................

0.012

0.010---------….…卜…--------

0002指標(biāo)(L002I**??????H????,???指_標(biāo)

()95100105110115120125130<^^7075W)859095100105

患病者

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人判

定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為0(c)；誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為4(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率M。)=。-5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q(c)；

(2)設(shè)函數(shù)〃c)=Mc)+q(c),當(dāng)ce［95,105］時(shí)，求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間［95,105］的最

小值.

20.如圖，三棱錐A—BCD中，DA=DB=DC,BD±CD,ZADB=ZADC=60，E為BC楙點(diǎn).

(2)點(diǎn)尸滿足而=DA，求二面角D—AB—尸的正弦值.

21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為卜2q,0),離心率為生.

(1)求C的方程；

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為4，4,過點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn)，M在第二象限,

直線MA與N4交于點(diǎn)P.證明:點(diǎn)P在定直線上.

22.(1)證明：當(dāng)Ovxvl時(shí)，x—x2<sinx<x:

(2)已知函數(shù)〃%)=85分一111(1一%2),若％=0是/(x)的極大值點(diǎn)，求〃的取值范圍.

4

2023年全國新高考n卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

I.在復(fù)平面內(nèi)，(1+3I)(3T)對應(yīng)的點(diǎn)位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因?yàn)?l+3i)(3—i)=3+8i—3i?=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為(6,8),位于第一象限.

故選：A.

2.設(shè)集合A={0,—〃},B={l,a-2,2(2-2),若A=則〃=().

2

A.2B.1C.—D.—1

3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)包含關(guān)系分a-2=0和2a-2=0兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)閯t有：

若a-2=0,解得a=2,此時(shí)A={0,—2},§={1,0,2},不符合題意;

若2a—2=0,解得a=l,此時(shí)A={0,—1},B={l,-l,0},符合題意；

綜上所述：a=l.

故選：B.

3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高

中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有

().

A.c：3c盛種B.c；Mc機(jī)種

C.C；QC落種D.種

【答案】D

5

【解析】

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x幽=40人，高中部共抽取60x迎=20,

600600

根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C然-c鼠種.

故選：D.

2r-l

4.若〃x)=(x+a)ln］鬲為偶函數(shù)，則。=().

A.-1B.OC.D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出。值，再檢驗(yàn)即可.

【詳解】因?yàn)?(X)為偶函數(shù)，則/(I)=/(-I),(l+a)ln|=(-l+a)ln3,解得a=0,

2x—1ii

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=xlny—(2x-l)(2x+l)>0,解得尤或x<—5,

則其定義域?yàn)椴穦x〉g或X<-g},關(guān)于原點(diǎn)對稱.

/(-x)=(-x)ln|^E=(一x)ln||±j=(一=xln||^=〃x),

故此時(shí)為偶函數(shù).

故選：B.

2

5.已知橢圓C:(+y2=i的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，直線y=x+m與C交于A,8兩點(diǎn)，若△耳

面積是△《AB面積的2倍，則機(jī)=().

A2B拒c?D--

3333

【答案】C

【解析】

【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用△>(),求出加范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于加方

程，解出即可.

6

y=x+m

22

【詳解】將直線y=x+m與橢圓聯(lián)立《x21消去丁可得4x+6mx+3m—3=0,

---by2=1

13'

因?yàn)橹本€與橢圓相交于AB點(diǎn)，則A=36〃/—4x4(3機(jī)2—3)>0,解得—2<m<2,

設(shè)可到距離4,g到距離4，易知川-友,0),月(60卜

則4—,,\41+m\

|—A/2+m|

卜迪—=|-^+m|=2,解得加=—變或—3&（舍去）,

sF#BI夜+加I|0+〃z|3

6.已知函數(shù)〃x)=ae*—Inx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為().

A.e2B.eD.e-2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)/''(力=*-!20在(1,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，/'(x)=ae，—工之0在(1,2)上恒成立，顯然a>0,所以

XCl

設(shè)g(x)=xe，,xe(l,2),所以g[x)=(x+l)e，>0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

g(x)>g(l)=e,故e/,即/LeT,即a的最小值為e，

ae

故選：C.

7.已知l為銳角，cosa=上口5,貝Usin4=().

42

7

A3-迅—1+A/5r3—^5—1^-^/5

8844

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【詳解】因?yàn)閏osa=l_2sin2?=出5,而a為銳角，

24

解得：sinq=-不一1(^-1)'-V5-1.

2V8-V-16-4

故選：D.

8.記S“為等比數(shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和，若〃=—5,￡=21邑，則4=().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前，項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)醺的關(guān)系即可解出；

方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)求解.

【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,首項(xiàng)為為,

若q=l,則S6=6%=3x2ai=3S2,與題意不符，所以q/1；

由①可得，l+q2+d=21,解得：相=4,

所以$8=q,-g)=)x(]+q4)=_5><a+[6)=_85?

故選：c.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,

因?yàn)榉?—5,其=2電，所以1,否則$4=0,

從而，邑,邑—S2,4-S4,$8—S6成等比數(shù)列,

8

95

所以有，(―5—S2)=52(2電+5),解得：S2=-1或S2="

當(dāng)邑=一1時(shí)，S2,S4—S2,S6—S4,Ss—S6,即為-1,-4,-16,1+21,

易知，+21=—64,HPSg--85；

當(dāng)s'=—時(shí)，s&=q+a2+%+%=(q+w)(i+q-)=(i+qI)s?>o,

與邑=-5矛盾，舍去.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握國,反的關(guān)

系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運(yùn)算.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為。，A8為底面直徑，NAPB=120。,B4=2,點(diǎn)C在底面圓周上，

且二面角AC—O為45。，貝U().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為4屆

C.AC=2叵D.ZiB4c的面積為6

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識判斷C、D選項(xiàng)的正確性.

【詳解】依題意，ZAPB=120°,PA=2,所以。P=l,04=03=百，

A選項(xiàng),圓錐的體積為gxjix(G)xl=7l,A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為兀xgx2=2扃，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，設(shè)。是AC的中點(diǎn)，連接ORPD,

則AC±OD,AC±PD,所以4DO是二面角P—AC—O的平面角，

則NPDO=45°,所以O(shè)P=OD=1,

故AD=CD=y/^l=母,則AC=2及，C選項(xiàng)正確；

9

D選項(xiàng)，PD==&,所以Spa。=gx2j^xj^=2,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-6過拋物線C:丁=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與c交于M,N兩點(diǎn)，

/為C的準(zhǔn)線，貝I().

Q

A.p=2B.|W|=j

C.以MN為直徑的圓與/相切D.為等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得。，根據(jù)弦長公式求得|MN|,根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答

案.

【詳解】A選項(xiàng)：直線y=—6(%—1)過點(diǎn)(1,0),所以拋物線。：丁2=20*(0>0)的焦點(diǎn)尸。,0),

所以^=l,p=2,2p=4,則A選項(xiàng)正確，且拋物線C的方程為y2=4x.

B選項(xiàng)：設(shè)加(芭,必),"(孫％)，

由卜2=一G("一°消去)并化簡得貨T°x+3=(x—3)(3x—1)=0,

y=4x

,

解得\—3,x2——所以[MN]=玉+冗2+〃=3+]+2=,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)：設(shè)MN的中點(diǎn)為A,",N,A到直線/的距離分別為4，4，d，

因?yàn)閐=g?+4)=+|N司)=^\MN\,

即A到直線/的距離等于MN的一半，所以以為直徑的圓與直線/相切，C選項(xiàng)正確.

10

D選項(xiàng)：直線y=——1),BPV3x+y-yfi=0,

。到直線出尤+y—6=0的距離為』=@，

2

所以三角形OMN的面積為L、3、走=生8,

2323

—A/3（3—1）=-2-^3,y=—G（g—=~~

由上述分析可知％=2

所以|OM|=’3?+—2G『=逐,|ON|=

所以三角形OMN不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

11.若函數(shù)/(x)=Mnx+2+4(awO)既有極大值也有極小值，貝U(

XX

A.bc>0B.ab>0C.Z?2+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)/'(x),由已知可得/(X)在(0,+8)上有兩個(gè)變號零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方

程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=alnx+?+二的定義域?yàn)?0,+8),求導(dǎo)得于工玲二)士々=ax—-by2c

XXXXXX

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)既有極大值也有極小值，則函數(shù)/(%)在(。,+8)上有兩個(gè)變號零點(diǎn)，而

因此方程雙2—區(qū)—2c=0有兩個(gè)不等的正根%1，%2,

11

A=/+Sac>0

b

于是《%+/=一>。即有Z?2+8ac>0，ab>0,ac<0,顯然a%c<0，即Z?c<0,A錯(cuò)誤，BCD

a

2c

=---->0

a

正確.

故選：BCD

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為1(0＜]＜1),收到0的概

率為1—2;發(fā)送1時(shí)，收到。的概率為，(。＜，＜1),收到1的概率為1-，.考慮兩種傳輸方案：單次傳

輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需

要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即

為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-a)(l-")2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1概率為，(1-")2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為，(1-/)2+(1-/)3

D.當(dāng)0＜夕＜0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概

率

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算判斷AB；利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率計(jì)算判斷C；求

出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送。接收0、發(fā)送1

接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1—")(1—0)(1—")=(1—。)(1—分產(chǎn),A正確；

對于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當(dāng)于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1—，＞，?—，)="(I—，)？，B正確；

對于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件

和，

12

它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為C；A(1—￡)2+(1—￡)3=(1—02(1+20,c錯(cuò)誤；

對于D,由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=(l—a)2(l+2a),

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率P'=l—。，而0<e<0.5,

因止匕尸一尸'=(1—0)2(1+20)—(1—0)=。(1—0)(1—2。)>0,即。>0，D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，

相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量向,g滿足,一同=百，忖+同=忸_同,則卜|=.

【答案】目

【解析】

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令：結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算

律運(yùn)算求解.

【詳解】法一：因?yàn)殁?同=忸—即即(a+42=(2a—6)1

r?rrr?r?rrr?9

則Q+2a-b+b=4a—4a-b+bf整理得。-2a-b=09

又因?yàn)椴法Db卜g,即(〃—b/=3,

則；-2荽+九九3,所以1=技

±±irirrrrrrrr

法二：設(shè)°=/7,貝U=J3,a+b=c+2瓦2〃一Z?=2c+6,

/1r、2/rr、2r?rrr?r?rrr?

由題思可得：(c+2Z?)=(2c+"),則C+4c-/?+4Z?=4c+4c-Z?+Z?,

整理得：1J2,即l=0=后

故答案為：拒.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2,高為3的正四棱錐，所

得棱臺的體積為.

【答案】28

【解析】

【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺體

13

的體積公式直接運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：由于2=工，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為gx（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為!x（2x2）x3=4,

所以棱臺的體積為32—4=28.

方法二：棱臺的體積為；x3x（16+4+J16x4）=28.

故答案為：28.

Q

15.己知直線/：%一切+1=0與iC:(x-1)2+/=4交于A,8兩點(diǎn)，寫出滿足面積為的機(jī)

的一個(gè)值______.

【答案】2（2,-2-工中任意一個(gè)皆可以）

22

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長以及點(diǎn)C到直線A3的距離，結(jié)合面積公式即可解出.

【詳解】設(shè)點(diǎn)C到直線A3的距離為d,由弦長公式得=2,4-屋，

所以='xd><2j4—d?=5，解得：d=述或d=撞，

2555

1+12/<]

2,——所以2I-----4=.7等5或2------

由1=11/",解得：加=±2或加=±：.

y/1+m2yl+m，1+療5sjl+m252

14

故答案為：2（2,—2,1,—工中任意一個(gè)皆可以）.

22

1JT

16.已知函數(shù)/■（x）=sin（ox+0）,如圖A,B是直線y=—與曲線y=/（x）的兩個(gè)交點(diǎn)，若恒回=—,

26

則/（兀）=-

【解析】

【分析】設(shè)A七,；,8，依題可得，x-X）jr12TL

2一,結(jié)合sinx=—的解可得，a）（x-x'）=—,

62v-21l73

從而得到①的值，再根據(jù)[I兀）=0以及/（0）＜0,即可得/（x）=sin[4x-1兀），進(jìn)而求得/（兀）.

【詳解】設(shè)A、,；）./,；1,由可得々一玉=￡,

|兀571

由sinx=—可知，x=—+2版或兀=——+2kn,keZ,由圖可知,

266

公4+夕一（口Xj+"）=w?！?§,即0（％2—%）=3<9=4.

|兀所以8?兀+夕=左兀，即夕8兀+析，keZ.

因?yàn)榱藄infj=0,=-g

33

所以/（x）=sin14%—g兀+左兀）=sin14%—g2兀+析）,

3

所以/（》）=5由]4%一|^）或/（》）=—5111]4%一2|^）,

3

又因?yàn)?（。）＜0，所以/（x）=sin[4x-g兀），,/（兀）=sin卜兀—2=—走

—71

3

故答案為：印

【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出。以及函數(shù)/（X）的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性

15

質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.記上/3。的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,4c,已知，RC的面積為班，。為中點(diǎn)，且AD=1.

71

(1)若ZADC=—,求tanB；

3

(2)若〃+C2=8，求瓦

【答案】(1)B；

5

(2)b=c=2.

【解析】

【分析】(1)方法1,利用三角形面積公式求出。，再利用余弦定理求解作答；方法2,利用三角形面積公

式求出作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.

(2)方法1,利用余弦定理求出a,再利用三角形面積公式求出/ADC即可求解作答；方法2,利用向量

運(yùn)算律建立關(guān)系求出a,再利用三角形面積公式求出/ADC即可求解作答.

【小問1詳解】

7T

方法1：在.ABC中，因?yàn)椤橹悬c(diǎn)，ZADC=-,AD=1,

]

則S,nr=~AD-DCsinZADC=-xlx-ax—=—a=-S=—，解得a=4,

ADC2222822

27c

在△ABD中，ZADB=—,由余弦定理得°?uEy+AoZ—ZBDAQcosNADB，

即°2=4+I—2x2xlx(—L)=7,解得C=V7,則cos§=7?-1=逆,

22A/7X214

所以tanB=眄O=^

cosB5

16

jr

方法2：在二45。中，因?yàn)?。?C中點(diǎn)，ZADC=-,AD=1,

3

則s=-AD-DCsinZADC=-xlx-ax—=—a=-S,=->解得a=4,

ADnCr2222822

在，ACD中，由余弦定理得b1CD2+AD2-2CD-ADcosZADB，

即〃=4+l—2x2xlxJ=3,解得6=6,有4。2+人。2=4=32,則=

C=~,過A作AELBC于E,于是CE=ACcosC=』,AE=ACsinC=^，BE昊,

6222

所以tanB=M=立.

BE5

【小問2詳解】

，1,1

c-—a+l-2x—tzxlxcos(7i-ZADC)

方法1：在△ABD與.ACD中，由余弦定理得<:；,

b1=—a2+l-2x—tzxlxcosZADC

[42

整理得JY+ZUZZ+CZ,而步+°2=8,則q=2g，

又S=Lxgxlxsin/A￡>C=3,解得sin/ADC=l,而0</4。。<兀，于是NADC='，

ADC222

所以6=C=JAD2+CD2=2-

方法2：在ABC中，因?yàn)椤锽C中點(diǎn)，則2A￡>=AB+AC，又CB=AB—AC，

于是=(AB+AC)2+(AB—AC)2=2(02+c2)=i6，即4+儲=16,解得。=2百，

又S=LxGxlxsin/ADC=走，解得sin/4DC=l,而0</4￡>。<兀，于是NADC='，

ADC222

所以J=C=JAD2+CD2=2-

r->,]?！币?,九為奇數(shù)r、,,

18.｛4｝為等差數(shù)列，bn=\，記S”，北分別為數(shù)列｛4｝，也｝的前W項(xiàng)和，$4=32,

為偶數(shù)

1=16.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

17

（2）證明：當(dāng)〃>5時(shí)，Tn>Sn.

【答案】（1）an=2n+3.

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,用表示S“及北，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結(jié)論求出S“，bn,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出T“，并與S”作差比較作答；方

法2,利用（1）的結(jié)論求出S“，bn,再分奇偶借助等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求出北，并與S.作差比較作答.

【小問1詳解】

,,a;一6,n=2k—1

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,而a=；，左eN*,

乙a”.it—乙K

則a二4-6也=2%=2%+2d也=a3-6=(\+2J-6,

—44+6d—32

于是1解得q=5,d=2,a=a+(n-V)d=2〃+3,

看=4%+41—12=16n{

所以數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式是an=2?+3.

【小問2詳解】

、、，?、乙c〃(5+2〃+3)2/2〃_3,"=2"1/6叱，

萬法1：由(1)知，s=-------------=n-+4nbn=

n24n+6,n=2k

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，bn-i+bn=2(〃-1)—3+4〃+6=6〃+1,

_13+(6n+l)〃327

=-------------------—n+—n

n2222f

371

22

當(dāng)〃〉5時(shí)，Tn-Sn=(—n+-n)-(n+4n)=-n(n-l)>0,因此，>S〃，

327325

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，T“=Tn+i-bn+1=-(ZI+1)+-(H+1)-[4(H+1)+6]=-?+-H-5,

351

當(dāng)〃>5時(shí)，7；,-S?=(-?2+-n-5)-(n2+4?)=-(H+2)(n-5)>0,因此北〉S,,

所以當(dāng)〃>5時(shí)，Tn>Sn.

,n(5+2?+3)2Ai[2n-3,n=2k-l

萬法2：由(1)知，S=---------------=-+4n,b=\次eN,

n2nn|4〃+6,"=2左

、1/、1/ffl4iLrt_LT/771\/I11\—1+2(〃-1)—3Tl14+4/1+6〃327

當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)，7；=(4+4+…+〃—i)+(8+%+…+么)=-----工---------5+------z------5=5n+5”

18

371

當(dāng)〃〉5時(shí)，Tn-S幾=/+—M)—(zz2+4/2)=-n(ji—1)>0,因此，>,

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，若〃N3,貝IJ

—1+2〃一3n+114+4(〃一1)+6n—1

--------------1------------------

T〃=Si+&++2)+(年+。4+-+%)=

2222

3535

=—/+—〃—5,顯然工=4=-1滿足上式，因此當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，(=—/+—"—5,

2222

351

22

當(dāng)〃>5時(shí)，Tn-SII=(-n+-n-5)-(n+4n)=-(n+2)(n-5)>0,因此

所以當(dāng)〃>5