專(zhuān)題07一元一次方程的七種實(shí)際應(yīng)用1.數(shù)字問(wèn)題例1.一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的兩倍，將這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后得到的兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)小27，求這個(gè)兩位數(shù)．【解答】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為2x，原兩位數(shù)為（10×2x+x），十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后的數(shù)為（10x+2x），依題意，得：（10×2x+x）﹣（10x+2x）＝27，解得：x＝3，∴2x＝6，∴10×2x+x＝63．答：這個(gè)兩位數(shù)為63．【變式訓(xùn)練】一個(gè)三位數(shù)，十位數(shù)字是0，個(gè)位數(shù)字是百位數(shù)字的2倍，如果將這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字調(diào)換位置得到一個(gè)新的三位數(shù)，則這個(gè)新的三位數(shù)比原三位數(shù)的2倍少9，設(shè)原三位數(shù)的百位數(shù)字是x：（1）原三位數(shù)可表示為，新三位數(shù)可表示為；（2）列方程求解原三位數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)原三位數(shù)的百位數(shù)字是x，則個(gè)位數(shù)字是2x，又∵十位數(shù)字是0，∴原三位數(shù)可表示為100x+2x＝102x．∵新的三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是x，百位數(shù)字是2x，十位數(shù)字是0，∴新三位數(shù)可表示為100?2x+x＝201x．故答案為102x，201x；（2）由題意，得201x＝2?102x﹣9，解得x＝3．則102×3＝306．答：原三位數(shù)為306．2.年齡問(wèn)題例1.今年父親的年齡是兒子年齡的3倍，5年前父親的年齡比兒子年齡的4倍還大1歲，設(shè)今年兒子x歲，則可列方程為（）A．4x+1+5＝3（x+5） B．3x﹣5＝4（x﹣5）+1 C．3x+5＝4（x+5）+1 D．4x﹣5＝3（x﹣5）+1【解答】解：設(shè)今年兒子x歲，依題意，得：3x﹣5＝4（x﹣5）+1．故選：B．【變式訓(xùn)練】古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元3～4世紀(jì)）的墓碑上記栽著：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，兩頰長(zhǎng)起了細(xì)細(xì)的胡須；他結(jié)了婚，又度過(guò)了一生的七分之一；再過(guò)五年，他有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中度過(guò)了四年，也與世長(zhǎng)辭了．”根據(jù)以上信息，請(qǐng)你算出：（1）丟番圖的壽命；（2）丟番圖開(kāi)始當(dāng)爸爸時(shí)的年齡；（3）兒子死時(shí)丟番圖的年齡．【解答】解：設(shè)丟番圖的壽命為x歲，由題意得：16x+112x+17x+5+解得：x＝84，而16×84+112×84+1他兒子活了12x＝42歲．84﹣4＝80答：丟番圖的壽命是84歲；丟番圖開(kāi)始當(dāng)爸爸時(shí)的年齡是38；兒子死時(shí)丟番圖的年齡是80歲．3.折扣問(wèn)題例1.某書(shū)店把一本新書(shū)按標(biāo)價(jià)的八折出售，仍可獲利10%，若該書(shū)的進(jìn)價(jià)為24元，則標(biāo)價(jià)為（）A．30元 B．31元 C．32元 D．33元【解答】解：設(shè)這本新書(shū)的標(biāo)價(jià)為x元，依題意得：0.8x﹣24＝24×10%，解得：x＝33．故選：D．【變式訓(xùn)練】甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板為獲取利潤(rùn)，決定將甲服裝按50%的利潤(rùn)定價(jià)，乙服裝按40%的利潤(rùn)率定價(jià)．在實(shí)際出售時(shí)，應(yīng)顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店老板共獲利157元．甲、乙兩件服裝的成本各為多少元？【解答】解：設(shè)甲服裝的成本是x元，則乙服裝的成本是（500﹣x）元，依題意有0.9×（1+50%）x+0.9×（1+40%）（500﹣x）﹣500＝157，解得x＝300，500﹣x＝200．答：甲服裝的成本為300元，乙服裝的成本為200元．4.利潤(rùn)問(wèn)題例1.某超市計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的節(jié)能燈共1000只，這兩種節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如下表：進(jìn)價(jià)（元/只）售價(jià)（元/只）甲型2530乙型4560（1）如果進(jìn)貨款恰好為37000元，那么可以購(gòu)進(jìn)甲型節(jié)能燈多少只？（2）超市為慶祝元旦進(jìn)行大促銷(xiāo)活動(dòng)，決定對(duì)乙型節(jié)能燈進(jìn)行打折銷(xiāo)售，要求全部售完后，乙型節(jié)能燈的利潤(rùn)率為20%，請(qǐng)問(wèn)乙型節(jié)能燈需打幾折？【解答】解：（1）設(shè)商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲型節(jié)能燈x只，則購(gòu)進(jìn)乙型節(jié)能燈（1000﹣x）只，由題意，得25x+45（1000﹣x）＝37000，解得：x＝400購(gòu)進(jìn)乙型節(jié)能燈1000﹣x＝1000﹣400＝600（只）答：購(gòu)進(jìn)甲型節(jié)能燈400只，購(gòu)進(jìn)乙型節(jié)能燈600只進(jìn)貨款恰好為37000元．（2）設(shè)乙型節(jié)能燈需打a折，0.1×60a﹣45＝45×20%，解得a＝9，答：乙型節(jié)能燈需打9折．【變式訓(xùn)練】武漢大洋百貨經(jīng)銷(xiāo)甲、乙兩種服裝，甲種服裝每件進(jìn)價(jià)500元，售價(jià)800元；乙種服裝商品每件售價(jià)1200元，可盈利50%．（1）每件甲種服裝利潤(rùn)率為，乙種服裝每件進(jìn)價(jià)為元；（2）若該商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種服裝共40件，恰好總進(jìn)價(jià)用去27500元，求商場(chǎng)銷(xiāo)售完這批服裝，共盈利多少？（3）在元旦當(dāng)天，武漢大洋百貨實(shí)行“滿1000元減500元的優(yōu)惠”（比如：某顧客購(gòu)物1200元，他只需付款700元）．到了晚上八點(diǎn)后，又推出“先打折”，再參與“滿1000元減500元”的活動(dòng)．張先生買(mǎi)了一件標(biāo)價(jià)為3200元的羽絨服，張先生發(fā)現(xiàn)竟然比沒(méi)打折前多付了20元錢(qián)問(wèn)大洋百貨商場(chǎng)晚上八點(diǎn)后推出的活動(dòng)是先打多少折之后再參加活動(dòng)？【解答】解：（1）∵甲種服裝每件進(jìn)價(jià)500元，售價(jià)800元，∴每件甲種服裝利潤(rùn)率為800-500500×100%=∵乙種服裝商品每件售價(jià)1200元，可盈利50%．∴乙種服裝每件進(jìn)價(jià)為12001+50%=800（元），故答案為：60%，（2）設(shè)甲種服裝進(jìn)了x件，則乙種服裝進(jìn)了（40﹣x）件，由題意得，500x+800（40﹣x）＝27500，解得：x＝15．商場(chǎng)銷(xiāo)售完這批服裝，共盈利15×（800﹣500）+25×（1200﹣800）＝14500（元）．答：商場(chǎng)銷(xiāo)售完這批服裝，共盈利14500元．（3）設(shè)打了y折之后再參加活動(dòng)．①3200×y10-2×500=3200﹣3×500+20．解得：②3200×y10-500=3200-3×500+20，解得③3200×y10=3200-3×500+20，解得y答：先打八五折再參加活動(dòng)．5.工程問(wèn)題例1.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做5天完成，乙單獨(dú)做8天完成．若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此項(xiàng)工作的34．若設(shè)甲一共做了xA．x5+x+18=34 B．x【解答】解：設(shè)甲一共做了x天，由題意得：x5故選：B．【變式訓(xùn)練】某街道1000米的路面下雨時(shí)經(jīng)常嚴(yán)重積水．需改建排水系統(tǒng)．市政公司準(zhǔn)備安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)做這項(xiàng)工程，根據(jù)評(píng)估，有兩個(gè)施工方案：方案一：甲、乙兩隊(duì)合作施工，那么12天可以完成；方案二：如果甲隊(duì)先做10天，剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)施工，還需15天才能完成．（1）甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少天？（2）方案一中，甲、乙兩隊(duì)實(shí)際各施工了多少米？【解答】解：（1）設(shè)甲隊(duì)每天施工x米，則乙隊(duì)每天施工1000-10x依題意，得：12x+12×1000-10x15=1000，解得：x＝∴1000÷50＝20（天），1000÷1003答：甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要20天，則乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要30天．（2）50×12＝600（米），1003×12＝答：方案一中，甲隊(duì)實(shí)際施工了600米，乙隊(duì)實(shí)際施工了400米．6.工程問(wèn)題例1.甲、乙兩人騎自行車(chē)分別從相距36km的兩地勻速同向而行，如果甲比乙先出發(fā)半小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)后經(jīng)3小時(shí)甲追上乙；如果乙比甲先出發(fā)1小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)后經(jīng)5小時(shí)甲才能追上乙．請(qǐng)問(wèn)：甲、乙兩人騎自行車(chē)每小時(shí)各行多少千米？【分析】設(shè)甲騎自行車(chē)每小時(shí)行x千米，則乙騎自行車(chē)每小時(shí)行（76x﹣12）千米，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，即可得出關(guān)于x【解答】解：設(shè)甲騎自行車(chē)每小時(shí)行x千米，乙騎自行車(chē)每小時(shí)行（76x﹣125x﹣（5+1）（76x﹣12）＝36解得：x＝18，76x﹣12＝21﹣12＝9答：甲騎自行車(chē)每小時(shí)行18千米，乙騎自行車(chē)每小時(shí)行9千米．【變式訓(xùn)練】A、B兩地相距480km，C地在A、B兩地之間．一輛轎車(chē)以100km/h的速度從A地出發(fā)勻速行駛，前往B地．同時(shí)，一輛貨車(chē)以80km/h的速度從B地岀發(fā)，勻速行駛，前往A地．（1）當(dāng)兩車(chē)相遇時(shí)，求轎車(chē)行駛的時(shí)間；（2）當(dāng)兩車(chē)相距120km時(shí)，求轎車(chē)行駛的時(shí)間；（3）若轎車(chē)到達(dá)B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次經(jīng)過(guò)C地，兩次經(jīng)過(guò)C地的時(shí)間間隔為2.2h，求C地距離A地路程．【解答】解：（1）設(shè)兩車(chē)相遇時(shí)，轎車(chē)行駛的時(shí)間為t小時(shí)，由題意可得100t+80t＝480。解得t=83，答：兩車(chē)相遇時(shí)，轎車(chē)行駛的時(shí)間為（2）設(shè)兩車(chē)相距120km時(shí)，轎車(chē)行駛的時(shí)間x小時(shí)，由題意可以分相遇前和相遇后兩種情況．①相遇前兩車(chē)相距120km時(shí)，有100t+80t＝480﹣120，解得t＝2②相遇后兩車(chē)相距120km時(shí)，有100t+80t＝480+120，解得t=答：當(dāng)轎車(chē)行駛2小時(shí)或103小時(shí)，兩車(chē)相距120km（3）設(shè)C地距離B地路程為ykm，由題意可得y100解得y＝120，即C地距離B地路程為120km，而A、B兩地相距480km，所以AC＝480﹣120＝360（km），答：A、C兩地的路程為360km．7.方案問(wèn)題例1.2016年春節(jié)即將來(lái)臨，甲、乙兩單位準(zhǔn)備組織退休職工到某風(fēng)景區(qū)游玩．甲、乙兩單位共102人，其中甲單位人數(shù)多于乙單位人數(shù)，且甲單位人數(shù)不夠100人．經(jīng)了解，該風(fēng)景區(qū)的門(mén)票價(jià)格如下表：數(shù)量（張）1﹣5051﹣100101張及以上單價(jià)（元/張）60元50元40元如果兩單位分別單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)門(mén)票，一共應(yīng)付5500元．（1）如果甲、乙兩單位聯(lián)合起來(lái)購(gòu)買(mǎi)門(mén)票，那么比各自購(gòu)買(mǎi)門(mén)票共可以節(jié)省多少錢(qián)？（2）甲、乙兩單位各有多少名退休職工準(zhǔn)備參加游玩？（3）如果甲單位有12名退休職工因身體原因不能外出游玩，那么你有幾種購(gòu)買(mǎi)方案，通過(guò)比較，你該如何購(gòu)買(mǎi)門(mén)票才能最省錢(qián)？【解答】解：（1）如果甲、乙兩單位聯(lián)合起來(lái)購(gòu)買(mǎi)門(mén)票需40×102＝4080（元），則比各自購(gòu)買(mǎi)門(mén)票共可以節(jié)省：5500﹣4080＝1420（元）；（2）設(shè)甲單位有退休職工x人，則乙單位有退休職工（102﹣x）人．依題意得：50x+60×（102﹣x）＝5500，解得：x＝62．則乙單位人數(shù)為：102﹣x＝40．答：甲單位有62人，乙單位有40人；（3）方案一：各自購(gòu)買(mǎi)門(mén)票需50×60+40×60＝5400（元）；方案二：聯(lián)合購(gòu)買(mǎi)門(mén)票需（50+40）×50＝4500（元）；方案三：聯(lián)合購(gòu)買(mǎi)101張門(mén)票需101×40＝4040（元）；綜上所述：因?yàn)?400＞4500＞4040．故應(yīng)該甲乙兩單位聯(lián)合起來(lái)選擇按40元一次購(gòu)買(mǎi)101張門(mén)票最省錢(qián)．【變式訓(xùn)練】當(dāng)涂大青山有較為豐富的毛竹資源．某企業(yè)已收購(gòu)毛竹110噸，根據(jù)市場(chǎng)信息，將毛竹直接銷(xiāo)售，每噸可獲利100元；如果對(duì)毛竹進(jìn)行粗加工，每天可加工8噸，每噸可獲利1000元；如果進(jìn)行精加工，每天可加工1.5噸，每噸可獲利5000元，由于受條件限制，在同一天中只能采用一種方式加工，并且必須在一個(gè)月（30天）內(nèi)將這批毛竹全部銷(xiāo)售．為此研究了兩種方案：（1）方案一：將收購(gòu)毛竹全部粗加工后銷(xiāo)售，則可獲利元；方案二：30天時(shí)間都進(jìn)行精加工，未來(lái)得及加工的毛竹，在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售，則可獲利元．（2）是否存在第三種方案，將部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天內(nèi)完成？若存在，求銷(xiāo)售后所獲利潤(rùn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）方案一：由已知將毛竹全部粗加工后銷(xiāo)售，即獲利為：1000×110元．方案二：30天時(shí)間都進(jìn)行精加工，未來(lái)得及加工的毛竹，在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售，則可獲利為：1.5×30×5000+（110﹣1.5×30）×100（元）．（2）由已知分析存在第三種方案，可設(shè)粗加工x天，則精加工（30﹣x）天，則得方程8x+1.5×（30﹣x）＝110，解方程求出粗加工、精加工的天數(shù)，從求出銷(xiāo)售后所獲利潤(rùn)．【解答】解：（1）方案一：由已知得：將毛竹全部粗加工后銷(xiāo)售，則可獲利為：1000×110＝110000（元）．故可獲利110000元；方案二：30天時(shí)間都進(jìn)行精加工，未來(lái)得及加工的毛竹，在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售，則可獲利為：1.5×30×5000+（110﹣1.5×30）×100＝231500（元）．故可獲利231500元．（2）由已知分析存在第三種方案．設(shè)粗加工x天，則精加工（30﹣x）天，依題意得：8x+1.5×（30﹣x）＝110，解得：x＝10，30﹣x＝20，所以銷(xiāo)售后所獲利潤(rùn)為：1000×10×8+5000×20×1.5＝230000（元）．故銷(xiāo)售后所獲利潤(rùn)為230000元．故答案為：110000；290000．課后作業(yè)1．列方程表示下列語(yǔ)句所表示的相等關(guān)系：（1）某地21年9月6日的溫差是，這天最高氣溫是，最低氣溫是；（2）七年級(jí)學(xué)生人數(shù)為n，其中男生占，女生有110人；（3）一種商品每件的進(jìn)價(jià)為a元，售價(jià)為進(jìn)價(jià)的1.1倍，現(xiàn)每件又降價(jià)10元，現(xiàn)售價(jià)為每件210元；（4）在5天中，小華共植樹(shù)60棵，小明共植樹(shù)棵，平均每天小華比小明多種2棵樹(shù)．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【詳解】（1）根據(jù)題意，得；（2）根據(jù)題意，得；（3）根據(jù)題意，得；（4）根據(jù)題意，得．2．公園門(mén)票價(jià)格規(guī)定如下表：購(gòu)票張數(shù)1~50張51~100張100張以上每張票的價(jià)格13元11元9元某校七年級(jí)（1）（2）兩個(gè)班共104人去游園，其中（1）班有40多人，不足50人．經(jīng)估算，如果兩個(gè)班都以班為單位購(gòu)票，則一共應(yīng)付1240元．問(wèn)：（1）兩班各有多少學(xué)生？（2）如果兩班聯(lián)合起來(lái)，作為一個(gè)團(tuán)體購(gòu)票，可省多少錢(qián)？（3）如果七年級(jí)（1）班單獨(dú)組織去游園，作為組織者的你如何購(gòu)票才最省錢(qián)？【答案】（1）七年級(jí)（1）班有48人，七年級(jí)（2）班有56人；（2）省304元；（3）按照51張票購(gòu)買(mǎi)比較省錢(qián)．【詳解】解：（1）設(shè)七年級(jí)（1）班的人數(shù)為x人，則七年級(jí)（2）班的人數(shù)為（104-x）人，由題意得：，解得：，∴七年級(jí)（2）班的人數(shù)為：（人）；答：七年級(jí)（1）班的人數(shù)為48人，七年級(jí)（2）班的人數(shù)為56人．（2）由表格及題意可得：兩班聯(lián)合起來(lái)的票錢(qián)為：（元），∴1240-936=304（元）；答：作為一個(gè)團(tuán)體購(gòu)票可省304元．（3）由（1）得：七年級(jí)（1）班的人數(shù)為48人，由表格可得：當(dāng)以48人去購(gòu)票時(shí)，則需花費(fèi)48×13=624（元）；當(dāng)以51人去購(gòu)票時(shí)，則需花費(fèi)51×11=561（元）；答：購(gòu)買(mǎi)51張門(mén)票時(shí)最省錢(qián)．3．根據(jù)題意，列出方程：（1）根據(jù)第六次全國(guó)人口普查統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，截至2010年11月1日0時(shí)，全國(guó)每10萬(wàn)人中只具有小學(xué)文化程度的人數(shù)為26779人，與2000年第五次全國(guó)人口普查相比減少了，2000年第五次全國(guó)人口普查時(shí)每10萬(wàn)人中約有多少人只具有小學(xué)文化程度？（2）某商店對(duì)超過(guò)15000元的物品提供分期付款服務(wù)，顧客可以先付3000元，以后每