年九年級數學中考復習《拋物線與x軸的交點問題》1．已知二次函數y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，當x取互為相反數的任意兩個實數值時，對應的函數值y總相等，則關于x的一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的兩根之積為（）A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．02．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣（x+3）2+k經過坐標原點O，與x軸的另一個交點為A．過拋物線的頂點B分別作BC⊥x軸于點C、BD⊥y軸于點D，則圖中陰影部分圖形的面積和為（）A．18 B．12 C．9 D．63．如圖，二次函數y＝﹣x2+﹣1的圖象交x軸于A，B兩點，圖象上的一點C使∠CBA＝135°，則點C的坐標是（）A．（4，﹣1） B．（4，﹣） C．（4.5，﹣） D．（4.5，﹣）4．已知二次函數y＝﹣x2+x+6及一次函數y＝x+m，將該二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象（如圖所示），當直線y＝x+m與這個新圖象有四個交點時，m的取值范圍是（）A．﹣7＜m＜﹣3 B．3＜m＜6 C．﹣7＜m＜3 D．﹣3＜m＜65．拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A、B（m+2，0），與y軸相交于點C，點D在該拋物線上，坐標為（m，c），則點A的坐標是（）A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（﹣4，0） D．（﹣1，0）6．拋物線y＝x2+bx+3的對稱軸為直線x＝﹣1．若關于x的一元二次方程x2+（b+1）x+3﹣t＝0（t為實數）在﹣4≤x≤1的范圍內只有一個解，則t的值是（）A．t＝7 B．t＝3 C．t＝7或t＝ D．t＝3或t＝7．二次函數y＝ax2+bx的圖象如圖所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有兩個不相等的實數根，則整數m的最小值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．已知二次函數y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，若m，n是關于x的方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的兩個根，則實數m，n，p，q的大小關系可能是（）A．m＜p＜q＜n B．m＜p＜n＜q C．p＜m＜n＜q D．p＜m＜q＜n9．拋物線y＝x2+bx+4與x軸有且只有1個公共點，則b＝．10．如圖，拋物線y＝x2﹣3與x軸交于A、B兩點，P是以點C（0，4）為圓心，3為半徑的圓上的動點，M是線段PA的中點，連結OM．則線段OM的最大值是．11．將拋物線y＝（x+1）2﹣4向上平移a個單位后得到的拋物線恰好與x軸只有一個交點，則a的值為．12．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D，點C的坐標為（2，﹣4）；當CD最短時，則拋物線頂點縱坐標為．13．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+2x的頂點為A，在x軸下方作垂直于y軸的直線BC拋物線于點B、C，連接AB、AC，若點B到x軸的距離是點A到x軸距離的3倍，則△ABC的面積為．14．已知二次函數y1＝（x+1）2﹣3向右平移2個單位得到拋物線y2的圖象，則陰影部分的面積為．15．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸只有一個交點，與x軸平行的直線l交拋物線于A、B，交y軸于M．①若拋物線經過（0，4），則b＝．②若AB＝6，則OM的長為．16．若函數y＝x2+bx﹣5的對稱軸為直線x＝2，則關于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解為．17．已知點P為二次函數y＝x2﹣2x﹣3圖象上一點，設這個二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點（A在B的右側），與y軸交于C點，若△APC為直角三角形且AC為直角邊，則點P的橫坐標的值為．18．已知關于x的二次函數y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3．（1）該函數圖象經過點（2，﹣3）．①求這個二次函數的表達式及頂點坐標；②分別求出這個二次函數圖象與x軸，y軸的交點坐標；（2）將這個二次函數的圖象沿x軸平移，使其頂點恰好落在y軸上，請直接寫出平移后的函數表達式．19．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0）兩點，交y軸于點E．（1）求此拋物線的解析式；（2）求該拋物線的頂點坐標和對稱軸；（3）若直線y＝x+1與拋物線交于A、D兩點，與y軸交于點F，連接DE，求△DEF的面積．20．如圖，已知拋物線y＝x2﹣9與x軸交于點A，B（點A位于點B的左側），C為頂點，直線y＝x+m經過點A，與y軸交于點D．（1）求線段AD的長；（2）平移該拋物線得到一條新拋物線，設新拋物線的頂點為C'．若新拋物線經過點D，并且新拋物線的頂點和原拋物線的頂點的連線CC'平行于直線AD，求新拋物線對應的函數表達式．21．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A，B兩點，且點B的坐標為（2，0），與y軸交于點C，拋物線對稱軸為直線x＝﹣，連接AC，BC，點P是拋物線上在第二象限內的一個動點．過點P作x軸的垂線PH，垂足為點H，交AC于點Q．過點P作PG⊥AC于點G．（1）求拋物線的解析式．（2）求△PQG周長的最大值及此時點P的坐標．22．如圖，對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線與x軸相交于A，B兩點，C為拋物線與y軸的交點，點A（﹣3，0），點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的關系式．（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PBC的周長最?。咳舸嬖?，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．（3）若點P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點P的坐標．23．如圖，已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象的頂點為（4，﹣2），且經過點B（0，6）．（1）求該二次函數的解析式．（2）求出二次函數圖象與x軸的交點A和C的坐標．（3）在拋物線上存在一點P，使△ACP的面積等于8．求出點P的坐標．24．如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），拋物線的頂點為P，連接AC．（1）求此拋物線的表達式；（2）在拋物線上找一點D，使得DC與AC垂直，且直線DC與x軸交于點Q，求D的坐標；（3）拋物線對稱軸上是否存在一點M，使得S△MAP＝3S△ACP，若存在，求出M點坐標；若不存在，請說明理由．參考答案1．解：∵二次函數y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，當x取互為相反數的任意兩個實數值時，對應的函數值y總相等，∴該函數的對稱軸為直線x＝﹣＝0，解得a＝﹣2，∴二次函數y＝4x2﹣1，∴當y＝0時，0＝4x2﹣1，解得x1＝﹣，x2＝，∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的兩根是x1＝﹣，x2＝，∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的兩根之積是（﹣）×＝﹣，故選：B．2．解：把（0，0）代入y＝﹣（x+3）2+k，得﹣（0+3）2+k＝0，解得k＝6，∴拋物線解析式為y＝﹣（x+3）2+6，∴B點坐標為（﹣3，6），∵BC⊥x軸于C，∴圖中陰影部分圖形的面積和＝S矩形OCBD＝3×6＝18．故選：A．3．解：二次函數y＝﹣x2+﹣1中，令y＝0，則y＝﹣x2+﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A（1，0），B（3，0），過點C作CD⊥x軸于點D，∵∠CBA＝135°，∴∠CBD＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，設BD＝CD＝m，∴C（3+m，﹣m），∵點C在二次函數y＝﹣x2+﹣1的圖象上，∴﹣m＝﹣（3+m）2+（3+m）﹣1，解得m1＝1，m2＝0（舍去），∴C（4，﹣1），故選：A．4．解：如圖所示，當直線y＝x+m與這個新圖象有四個交點時，m一定小于0，故選：A．5．解：令x＝0，得到y(tǒng)＝c，∴C（0，c），∵D（m，c），得函數圖象的對稱軸是x＝，設A點坐標為（x，0），由A、B關于對稱軸x＝，得＝，解得x＝﹣2，即A點坐標為（﹣2，0），故選：B．6．解：∵拋物線y＝x2+bx+3的對稱軸為直線x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，解得b＝2，∴一元二次方程x2+（b+1）x+3﹣t＝0可以寫成x2+3x+3﹣t＝0，當方程x2+3x+3﹣t＝0有兩個相等的實數根時，32﹣4×（3﹣t）＝0，解得t＝，此時x＝﹣＝﹣，∵關于x的一元二次方程x2+（b+1）x+3﹣t＝0（t為實數）在﹣4≤x≤1的范圍內只有一個解，∴當t＝，x＝﹣符合題意；令y＝x2+3x+3﹣t，則或，解得t＝7，由上可得，t的值是或7，故選：C．7．解：∵ax2+bx+m﹣2＝0有兩個不相等的實數根，∴ax2+bx＝2﹣m有兩個不相等的實數根，令y1＝ax2+bx，y2＝2﹣m（表示與x軸平行的直線），∴y1與y2有兩個交點，∴2﹣m＜2，∴m＞0∵m是整數，∴m＝1，故選：C．8．解：∵二次函數y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，∴該函數開口向上，當x＝p或x＝q時，y＝﹣2，∵m，n是關于x方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的兩個根，∴y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，當x＝m或x＝n時，y＝0，∴p，q一定處在m，n中間故選：A．9．解：令y＝0，則當拋物線y＝x2+bx+4的圖象與x軸只有一個公共點時，關于x的一元二次方程x2+bx+4＝0的根的判別式△＝0，即b2﹣4×4＝0，解得b＝±4．故答案是：±4．10．解：令y＝x2﹣3，則x＝±3，故點B（﹣3，0），設圓的半徑為r，則r＝3，連接PB，而點M、O分別為AP、AB的中點，故OM是△ABP的中位線，當B、C、P三點共線，且點C在PB之間時，PB最大，此時OM最大，則OM＝BP＝（BC+r）＝（+3）＝4，故答案為：4．11．解：拋物線y＝（x+1）2﹣4向上平移a個單位后得到的拋物線的解析式為y＝（x+1）2﹣4+a，此時拋物線的頂點坐標為（﹣1，﹣4+a），因為新拋物線恰好與x軸有一個交點，所以﹣4+a＝0，解得a＝4．故答案為：4．12．解：根題意知，當CD⊥y軸時，線段CD最短．∵點C的坐標為（2，﹣4），∴點D的坐標為（0，﹣4）．將其代入y＝ax2﹣4ax+3a，得3a＝﹣4，解得a＝﹣．∴該拋物線解析式是：y＝﹣x2+x﹣4．∵y＝﹣x2+x﹣4＝﹣（x﹣2）2+．∴該拋物線的頂點坐標是（2，）．∴拋物線頂點縱坐標為．故答案是：．13．解：由拋物線y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1知，A（1，1）．∵點B到x軸的距離是點A到x軸距離的3倍，∴yB＝﹣3．則﹣x2+2x＝﹣3，即x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1．∵BC⊥y軸，∴B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3）．∴BC＝4．∴S△ABC＝×4×4＝8．故答案是：8．14．解：設點M為拋物線y1的頂點，點N為拋物線y2的頂點，連接MA、NB，則四邊形AMNB的面積和陰影部分的面積相等，∵二次函數y1＝（x+1）2﹣3，∴該函數的頂點M的坐標為（﹣1，﹣3），∴點M到x軸的距離為3，∵MN＝2，∴四邊形AMNB的面積是2×3＝6，∴陰影部分的面積是6，故答案為：6．15．解：①拋物線y＝x2+bx+c與x軸只有一個交點，則b2﹣4c＝0，拋物線過點（0，4），則c＝4，故b2﹣16＝0，解得b＝±4（舍去正值），故b＝﹣4，故答案為﹣4；②拋物線y＝x2+bx+c與x軸只有一個交點，則b2﹣4c＝0，設OM＝h，A、B點的橫坐標分別為m、n，則：A（m，h）、B（n，h），由題意得：x2+bx+（c﹣h）＝0，則：m+n＝﹣b，mn＝c﹣h，AB＝6＝n﹣m＝＝，解得：h＝9，即OM＝9，故答案為9．16．解：x＝﹣＝﹣＝2，解得：b＝﹣4，故x2﹣bx﹣5＝2x﹣13，即為：x2﹣6x+8＝0，解得：x＝2或4，故答案為：x1＝2，x2＝4．17．解：對于y＝x2﹣2x﹣3①，令y＝0，則x＝3或﹣1，令x＝0，則y＝﹣3，故點A、B、C的坐標分別為：（3，0）、（﹣1，0）、（0，﹣3）．①當∠ACP為直角時，如下圖，由點A、C的坐標知，OA＝OC＝3，即直線AC的與x軸負半軸的夾角為45°，而∠ACP為直角，故直線PC的傾斜角為45°，故設直線PC的表達式為：y＝﹣x+b，將點C的坐標代入上式并解得：b＝﹣3，故直線PC的表達式為：y＝﹣x﹣3②，聯立①②并解得：x＝0或1（舍去0），故點P的坐標為：（1，﹣4）；②當∠PAC為直角時，同理可得：點P（﹣2，5）；故答案為﹣2或1．18．解：（1）①∵該二次函數圖象經過點（2，﹣3），∴﹣3＝22﹣（m﹣2）×2﹣3，解得m＝4．∴二次函數的表達式為y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴二次函數頂點坐標為（1，﹣4）；②令x＝0，則y＝﹣3．∴該二次函數圖象與y軸的交點坐標為（0，﹣3）．令y＝0，則x1＝﹣1，x2＝3．∴該二次函數圖象與x軸的交點坐標為（﹣1，0），（3，0）．（2）y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3＝（x﹣）2﹣﹣3，∴該函數的頂點坐標是（，﹣﹣3）．∴頂點恰好落在y軸上，∴該函數圖象向右平移個單位．∴．19．解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0）兩點，∴，解得：，故拋物線解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，拋物線解析式為：y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴此拋物線的頂點坐標為（1，﹣4），對稱軸為直線x＝1；（3）聯立方程組得：，解得：（舍去），，∴D（4，5）．在直線y＝x+1中，當x＝0時，y＝1，∴F（0，1）在拋物線y＝x2﹣2x﹣3中，當x＝0時，y＝﹣3，∴E（0，﹣3）．∴EF＝1﹣（﹣3）＝4．過點D作DM⊥y軸于點M，∴S△DEF＝EF?DM＝8．20．解：（1）由x2﹣9＝0得，x1＝﹣3，x2＝3，∵點A位于點B的左側，∴A（﹣3，0），∵直線y＝x+m經過點A，∴﹣3+m＝0，解得，m＝3，∴點D的坐標為（0，3），∴AD＝＝3；（2）設新拋物線對應的函數表達式為：y＝x2+bx+3，y＝x2+bx+2＝（x+）2+3﹣，則點C′的坐標為（﹣，3﹣），∵CC′平行于直線AD，且經過C（0，﹣9），∴直線CC′的解析式為：y＝x﹣9，∴3﹣＝﹣﹣4，解得，b1＝1+，b2＝1﹣，∴新拋物線對應的函數表達式為：y＝x2+（1+）x+3或y＝x2+（1﹣）x+3．21．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點B（2，0），對稱軸為直線x＝﹣，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣x+3．（2）令y＝0，即﹣x2﹣x+3＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2，∴A（﹣3，0），令x＝0，得C（0，3），∵直線AC經過A（﹣3，0），C（0，3），設直線AC的解析式為：y＝kx+b，則，∴，∴直線AC的解析式為y＝x+3，∴∠BAO＝45°，∵PH⊥AO，PG⊥AB，∴∠AQH＝∠PQG＝∠QPG＝45°，∴△PQG是等腰直角三角形，設P（m，﹣m2﹣m+3），∴Q（m，m+3），∴PQ＝﹣m2﹣m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣m，∴當m＝﹣時，PQmax＝，此時P（﹣，），∵△PQG是等腰直角三角，∴△PQG周長＝﹣m2﹣m+（﹣m2﹣m），＝（+1）（﹣m2﹣m），＝（+1）PQ，∴△PFG周長的最大值為：（+1）．22．解：（1）拋物線的對稱軸為x＝﹣1，點A（﹣3，0），則點B（1，0），設拋物線的表達式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），將點C的坐標代入上式并解得a＝1，故拋物線的表達式為y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：點B關于函數對稱軸的對稱點為點A，AC交x＝﹣1于點P，此時△PBC的周長最小，理由：△PBC的周長＝BC+PB+PC＝BC+PA+PC＝BC+AC為最小，設直線AC的表達式為y＝kx+b，則，解得，故直線AC的表達式為y＝﹣x﹣3，當x＝﹣1時，y＝﹣x﹣3＝1﹣3＝﹣2，故點P的坐標為（﹣1，﹣2）；（3）由點C的坐標知，OC＝3，設P點坐標為（x，x2+2x﹣3），∵S△POC＝4S△BOC，∴×3×|x|＝4××3×1，解得x＝4或﹣4．當x＝4時，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21；當x＝﹣4時，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5．∴點P的坐標為（4，21）或（﹣4，5）．23．解：（1）拋物線的表達式為y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣4）2﹣2，將點B的坐標代入上式得，6＝a（0﹣4）2﹣2，解得a＝，故拋物線的表達式為y＝（x﹣4）2﹣2；（2）令y＝（x﹣4）2﹣2＝0，解得x＝2或6，故點A、C的坐標分別為（2，0）、（6，0）；（3）△A