高級中學名校試卷PAGEPAGE2河南省鄭州市名校教研聯(lián)盟2024屆高三下學期模擬預測數(shù)學試卷一、選擇題1.已知復數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以.故選：B．2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，即，若，不符題意，若，符合題意，若，不符題意，故，所以.故選:C．3.已知點A，B，C，D為平面內不同的四點，若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由得，即，即，又，所以.故選：D．4.函數(shù)是偶函數(shù)，則a的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為是偶函數(shù)，所以，所以，故D正確.故選：D.5.知名數(shù)學教育家單墫曾為中學生寫了一個小冊子《十個有趣的數(shù)學問題》，其中提到了開普勒的將球裝箱的方法：考慮一個棱長為2的正方體，分別以該正方體的8個頂點及6個面的中心為球心作半徑為的球，這此球在正方體內的體積之和與正方體的體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗以8個頂點為球心的球各有在正方體內，以6個面的中心為球心的球各有在正方體內，所以這些球在正方體的體積之和為4個半徑為的球的體積之和，所以這些球在正方體內的體積之和與正方體的體積之比為.故選：D6.已知點O為坐標原點，點A為直線（）與橢圓C：（）的一個交點，點B在C上，OA⊥OB，若，則C的長軸長為（）A. B.3 C. D.6〖答案〗C〖解析〗設，，由，得，由OA⊥OB可得，所以，，所以，所以，，C的長軸長為，故選：C．7.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設（），則，所以在上單調遞減，所以，即，所以，，，所以，故選：A．8.已知第一象限內的點P在雙曲線（，）上，點P關于原點的對稱點為Q，，，是C的左、右焦點，點M是的內心（內切圓圓心），M在x軸上的射影為，記直線的斜率分別為，，且，則C的離心率為（）A.2 B.8 C. D.〖答案〗A〖解析〗設圓M與，分別切于點A，B，則，，且，所以，點，設，，則，所以，，，所以，.故選：A．二、選擇題9.近幾年隨著AI技術的發(fā)展，虛擬人的智能化水平得到極大的提升，虛擬主播逐步走向商用，如圖為2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)（較上一年增加的數(shù)量）條形圖，根據該圖，下列說法正確的是（）A.2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊數(shù)量逐年增加B.2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的中位數(shù)為410C.2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的極差為915D.從圖中9年企業(yè)注冊增加數(shù)字中任取2個數(shù)字，這兩個數(shù)字的平均數(shù)大于110的概率〖答案〗ACD〖解析〗對A，由每年增加數(shù)均為正數(shù)，可得A正確；對B，2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的中位數(shù)為121，B錯誤；對C，2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的極差為，C正確；對D，當且僅當從33，48，76，84，121中任取兩個數(shù)字，其平均數(shù)均不大于110，所以所求概率為，D正確.故選：ACD．10.過點作直線l與函數(shù)的圖象相切，則（）A.若P與原點重合，則l方程為B.若l與直線垂直，則C.若點P在的圖象上，則符合條件的l只有1條D.若符合條件的l有3條，則〖答案〗AD〖解析〗設l與圖象切于點，當點與點不重合時，切線斜率，整理得：，當點與點重合時，切線斜率，對于A，若P與原點重合，點在函數(shù)圖象上，則，此時，，l即x軸，方程為，A正確；對于B，若l與直線垂直，則，，當點為切點時，或，當點不為切點時，滿足，整理得，當時，，當時，，B錯誤；對于C，當點P在的圖象上時，，，則，即，所以或，故有兩解，符合條件的直線有兩條，C錯誤；對于D，若符合條件的l有3條，則點不在圖象上，設l與的圖象切于點，則有，設，，由得或，符合條件的l有3條，有3個零點，則，所以，，，D正確.故選：AD．11.已知，則（）A.的圖象關于點對稱B.的值域為C.在區(qū)間上有33個零點D.若方程在（）有4個不同的解（，2，3，4），其中（，2，3），則的取值范圍是〖答案〗AB〖解析〗對A：由，所以，則的圖象關于對稱，故A正確；對B：由，因為，所以的一個周期為，不妨討論一個周期的值域情況，當，此時，則，因為，所以，則，則；當，此時，則，因為，所以，則，則，當，此時，則，因為，所以，則，則，當，此時，則，因為，所以，則，則，綜上所述，故B正確；對C：，令得或，可得（），所以，，所以在上有31個零點，故C錯誤；對D：是以為周期的周期函數(shù)，當時，則在上有2個實根，，且與關于對稱，所以；當時，則在上沒有實根，則在上有2個實根，，且與關于對稱，且，且，，當時，則上沒有實根，當時，有2個實根，但只需有4個零點，所以，又因為，所以的取值范圍是，故D錯誤，故選：AB．三、填空題12.展開式中x的系數(shù)為______.〖答案〗〖解析〗，的展開式為，所以可得x的系數(shù)為.故〖答案〗為：.13.平面幾何中有一個著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個頂點到其垂心（三角形三條高的交點）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點對邊距離的2倍．若點A，B，C都在圓E上，直線BC方程為，且，△ABC的垂心在△ABC內，點E在線段AG上，則圓E的標準方程______.〖答案〗〖解析〗由△ABC的垂心到直線BC距離，設圓E半徑為r，由塞爾瓦定理可得，由圓的幾何性質可得，聯(lián)立解得，，因為直線BC方程為，,且，所以直線EG方程為，設，則E到直線BC距離，解得（舍去）或，所以圓E的標準方程為．故〖答案〗為：14.四邊形ABCD中，，，，設△ABD與△BCD的面積分別為，，則的最大值為______.〖答案〗〖解析〗因為，由正弦定理得，所以，即，因為，所以，，，所以，，由余弦定理得，所以，當時取等號，所以，設，則，在中由余弦定理得，所以，當時，取得最大值，所以的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知等差數(shù)列滿足，．（1）求；（2）若，數(shù)列的前n項和為，求最小時對應的n的值．解：（1）設等差數(shù)列的公差為d，由，得，解得，，所以．（2）由（1）得，，當時，又，，所以，因為時，所以數(shù)列的前4項或前6項之和最小，即最小時n的值為4或6．16.如圖，在三棱錐中，，其余各棱的長均為6，點在棱上，，過點的平面與直線垂直，且與，分別交于點，．（1）確定，的位置，并證明你的結論；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取中點，連接，，由已知可得，所以，，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，過作的平行線與的交點即為，過作的平行線與的交點即為，因為，所以，，所以當，時，平面與直線垂直．（2）由題意可得，因為，所以，以為原點，直線，分別為軸，軸，過點與平面垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以，，．設平面的一個法向量為，則有，得，取，得，設直線DA與平面DEF所成角為，則，所以直線DA與平面DEF所成角的正弦值為．17.某高中數(shù)學興趣小組，在學習了統(tǒng)計案例后，準備利用所學知識研究成年男性的臂長y（cm）與身高x（cm）之間的關系，為此他們隨機統(tǒng)計了5名成年男性的身高與臂長，得到如下數(shù)據：x159165170176180y6771737678（1）根據上表數(shù)據，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數(shù)加以說明；（2）建立y關于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（3）從5名樣本成年男性中任取2人，記這2人臂長差的絕對值為X，求．參考數(shù)據：，，參考公式：相關系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．解：（1）由表中的數(shù)據和附注中的參考數(shù)據得，，，，，，，∴．因為y與x的相關系數(shù)近似為0.997，說明y與x的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與x的關系．（2）由及（1）得，，所以y關于x的回歸方程為．（3）X的取值依次為2，3，4，5，6，7，9，11，，，，，，，，,X的分布列X所以.18.已知傾斜角為（）的直線l與拋物線C：（）只有1個公共點A，C的焦點為F，直線AF的傾斜角為．（1）求證：；（2）若，直線l與直線交于點P，直線AF與C的另一個交點為B，求證：．證明：（1）設，則l的方程為，與聯(lián)立得，因為直線l與拋物線C只有1個公共點，所以，整理得，所以，又，所以，因為，，所以，，所以．（2）時，C的方程為，把，代入得l的方程為，把代入得，所以，由（1）知，，設，設直線AB方程為，與聯(lián)立得，t，是該方程的兩個根，所以，所以，所以，所以19.已知函數(shù)（），．（1）若，的導數(shù)分別為，,且，求a的取值范圍；（2）用表示a，b中的最小值，設，若，判斷的零點個數(shù)．解：（1）因為（），所以，由得，因為，所以，所以問題轉化為時恒成立，即時恒成立，設（），則，時，單調遞減，時，單調遞增，所以，所以，即a的取值范圍是．（2）因為，設，則，（?。┤簦瑫r，單調遞增，時，單調遞減，所以，所以時，，，沒有零點，（ⅱ）若，由（1）知，當時，，在上單調遞增，且，所以，當時，單調遞增，且，，存在唯一使得，則，，當時，，，當時，，在上單調遞減，且，，所以存在唯一使得，，綜上，時沒有零點，時有2個零點．河南省鄭州市名校教研聯(lián)盟2024屆高三下學期模擬預測數(shù)學試卷一、選擇題1.已知復數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以.故選：B．2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，即，若，不符題意，若，符合題意，若，不符題意，故，所以.故選:C．3.已知點A，B，C，D為平面內不同的四點，若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由得，即，即，又，所以.故選：D．4.函數(shù)是偶函數(shù)，則a的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為是偶函數(shù)，所以，所以，故D正確.故選：D.5.知名數(shù)學教育家單墫曾為中學生寫了一個小冊子《十個有趣的數(shù)學問題》，其中提到了開普勒的將球裝箱的方法：考慮一個棱長為2的正方體，分別以該正方體的8個頂點及6個面的中心為球心作半徑為的球，這此球在正方體內的體積之和與正方體的體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗以8個頂點為球心的球各有在正方體內，以6個面的中心為球心的球各有在正方體內，所以這些球在正方體的體積之和為4個半徑為的球的體積之和，所以這些球在正方體內的體積之和與正方體的體積之比為.故選：D6.已知點O為坐標原點，點A為直線（）與橢圓C：（）的一個交點，點B在C上，OA⊥OB，若，則C的長軸長為（）A. B.3 C. D.6〖答案〗C〖解析〗設，，由，得，由OA⊥OB可得，所以，，所以，所以，，C的長軸長為，故選：C．7.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設（），則，所以在上單調遞減，所以，即，所以，，，所以，故選：A．8.已知第一象限內的點P在雙曲線（，）上，點P關于原點的對稱點為Q，，，是C的左、右焦點，點M是的內心（內切圓圓心），M在x軸上的射影為，記直線的斜率分別為，，且，則C的離心率為（）A.2 B.8 C. D.〖答案〗A〖解析〗設圓M與，分別切于點A，B，則，，且，所以，點，設，，則，所以，，，所以，.故選：A．二、選擇題9.近幾年隨著AI技術的發(fā)展，虛擬人的智能化水平得到極大的提升，虛擬主播逐步走向商用，如圖為2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)（較上一年增加的數(shù)量）條形圖，根據該圖，下列說法正確的是（）A.2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊數(shù)量逐年增加B.2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的中位數(shù)為410C.2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的極差為915D.從圖中9年企業(yè)注冊增加數(shù)字中任取2個數(shù)字，這兩個數(shù)字的平均數(shù)大于110的概率〖答案〗ACD〖解析〗對A，由每年增加數(shù)均為正數(shù)，可得A正確；對B，2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的中位數(shù)為121，B錯誤；對C，2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的極差為，C正確；對D，當且僅當從33，48，76，84，121中任取兩個數(shù)字，其平均數(shù)均不大于110，所以所求概率為，D正確.故選：ACD．10.過點作直線l與函數(shù)的圖象相切，則（）A.若P與原點重合，則l方程為B.若l與直線垂直，則C.若點P在的圖象上，則符合條件的l只有1條D.若符合條件的l有3條，則〖答案〗AD〖解析〗設l與圖象切于點，當點與點不重合時，切線斜率，整理得：，當點與點重合時，切線斜率，對于A，若P與原點重合，點在函數(shù)圖象上，則，此時，，l即x軸，方程為，A正確；對于B，若l與直線垂直，則，，當點為切點時，或，當點不為切點時，滿足，整理得，當時，，當時，，B錯誤；對于C，當點P在的圖象上時，，，則，即，所以或，故有兩解，符合條件的直線有兩條，C錯誤；對于D，若符合條件的l有3條，則點不在圖象上，設l與的圖象切于點，則有，設，，由得或，符合條件的l有3條，有3個零點，則，所以，，，D正確.故選：AD．11.已知，則（）A.的圖象關于點對稱B.的值域為C.在區(qū)間上有33個零點D.若方程在（）有4個不同的解（，2，3，4），其中（，2，3），則的取值范圍是〖答案〗AB〖解析〗對A：由，所以，則的圖象關于對稱，故A正確；對B：由，因為，所以的一個周期為，不妨討論一個周期的值域情況，當，此時，則，因為，所以，則，則；當，此時，則，因為，所以，則，則，當，此時，則，因為，所以，則，則，當，此時，則，因為，所以，則，則，綜上所述，故B正確；對C：，令得或，可得（），所以，，所以在上有31個零點，故C錯誤；對D：是以為周期的周期函數(shù)，當時，則在上有2個實根，，且與關于對稱，所以；當時，則在上沒有實根，則在上有2個實根，，且與關于對稱，且，且，，當時，則上沒有實根，當時，有2個實根，但只需有4個零點，所以，又因為，所以的取值范圍是，故D錯誤，故選：AB．三、填空題12.展開式中x的系數(shù)為______.〖答案〗〖解析〗，的展開式為，所以可得x的系數(shù)為.故〖答案〗為：.13.平面幾何中有一個著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個頂點到其垂心（三角形三條高的交點）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點對邊距離的2倍．若點A，B，C都在圓E上，直線BC方程為，且，△ABC的垂心在△ABC內，點E在線段AG上，則圓E的標準方程______.〖答案〗〖解析〗由△ABC的垂心到直線BC距離，設圓E半徑為r，由塞爾瓦定理可得，由圓的幾何性質可得，聯(lián)立解得，，因為直線BC方程為，,且，所以直線EG方程為，設，則E到直線BC距離，解得（舍去）或，所以圓E的標準方程為．故〖答案〗為：14.四邊形ABCD中，，，，設△ABD與△BCD的面積分別為，，則的最大值為______.〖答案〗〖解析〗因為，由正弦定理得，所以，即，因為，所以，，，所以，，由余弦定理得，所以，當時取等號，所以，設，則，在中由余弦定理得，所以，當時，取得最大值，所以的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知等差數(shù)列滿足，．（1）求；（2）若，數(shù)列的前n項和為，求最小時對應的n的值．解：（1）設等差數(shù)列的公差為d，由，得，解得，，所以．（2）由（1）得，，當時，又，，所以，因為時，所以數(shù)列的前4項或前6項之和最小，即最小時n的值為4或6．16.如圖，在三棱錐中，，其余各棱的長均為6，點在棱上，，過點的平面與直線垂直，且與，分別交于點，．（1）確定，的位置，并證明你的結論；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取中點，連接，，由已知可得，所以，，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，過作的平行線與的交點即為，過作的平行線與的交點即為，因為，所以，，所以當，時，平面與直線垂直．（2）由題意可得，因為，所以，以為原點，直線，分別為軸，軸，過點與平面垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以，，．設平面的一個法向量為，則有，得，取，得，設直線DA與平面DEF所成角為，則，所以直線DA與平面DEF所成角的正弦值為．17.某高中數(shù)學興趣小組，在學習了統(tǒng)計案例后，準備利用所學知識研究成年男性的臂長y（cm）與身高x（cm）之間的關系，為此他們隨機統(tǒng)計了5名成年男性的身高與臂長，得到如下數(shù)據：x159165170176180y6771737678（1）根據上表數(shù)據，可用線性回