第11講解直角三角形（5大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊）二．解直角三角形的應(yīng)用（1）通過(guò)解直角三角形能解決實(shí)際問(wèn)題中的很多有關(guān)測(cè)量問(wèn)．如：測(cè)不易直接測(cè)量的物體的高度、測(cè)河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過(guò)測(cè)量角的度數(shù)和測(cè)量邊的長(zhǎng)度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長(zhǎng)度．（2）解直角三角形的一般過(guò)程是：①將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫(huà)出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題）．②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問(wèn)題的答案．三．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫(xiě)成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問(wèn)題中，一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問(wèn)題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．四．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問(wèn)題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問(wèn)題以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問(wèn)題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決．五．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題（1）在辨別方向角問(wèn)題中：一般是以第一個(gè)方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€(gè)方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問(wèn)題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角．考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．解直角三角形（共5小題）1．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)二模）如圖，梯子AB＝AC＝l，∠ACB＝α，兩梯腳之間的距離BC的長(zhǎng)為d．則d與l的關(guān)系式為（）A．d＝l?sinα B．d＝2l?cosα C．d＝2l?sinα D．d＝l?cosα【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可以用含l的式子表示d，本題得以解決．【解答】解：作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵AB＝AC＝l，BC＝d，∴CD＝d，∵∠ACB＝α，cos∠ACD＝，∴cosα＝，∴d＝2lcosα，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2022?海曙區(qū)校級(jí)一模）如圖1，以Rt△ABC的各邊為邊向外作等邊三角形，編號(hào)分別為①，②，③．如圖2，將①，②疊放在③中，若四邊形EGHF與GDCH的面積之比是，則sin∠ABC的值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理可知三個(gè)等邊三角形的面積滿足S①+S②＝S③，再根據(jù)給定的條件表示出①②③的面積，即可推出AC：BC即sin∠ABC的值．【解答】解：根據(jù)勾股定理，得AC2+AB2＝BC2，∴Rt△ABC的各邊為邊向外作等邊三角形，三個(gè)等邊三角形的面積滿足S①+S②＝S③，設(shè)四邊形EGHF的面積為161k，則GDCH的面積為64k，則有S②＝S①+161k，S③＝S①+161k+64k，得S①+S①+161k＝S①+161k+64k，∴S①＝64k，S③＝64k+161k+64k＝289k，∴S①：S③＝64：289，∴AC：BC＝8：17，∴sin∠ABC＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，通過(guò)三個(gè)等邊三角形的面積關(guān)系推導(dǎo)直角三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022?西湖區(qū)模擬）如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、E在格點(diǎn)上，連接AE、BC，點(diǎn)D在BC上且滿足AD⊥BC，則∠AED的正切值是（）A． B．2 C． D．【分析】連接OD，證明點(diǎn)A、D、B、E在以O(shè)為圓心，1為半徑的同一個(gè)圓上，把求∠AED的正切值轉(zhuǎn)化為求∠ABC的正切值．【解答】解：連接OD，∵AD⊥BC，O是AB中點(diǎn)，∴OD＝AB＝1，∴OD＝OA＝OE＝OD，∴點(diǎn)A、D、B、E在以O(shè)為圓心，1為半徑的同一個(gè)圓上，∴∠ABC＝∠AED，∴tan∠AED＝tan∠ABD＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握四點(diǎn)共圓的證明及三角函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵，其中連接OD，證明點(diǎn)A、D、B、E在以O(shè)為圓心，1為半徑的同一個(gè)圓上是本題的難點(diǎn)．4．（2022?松陽(yáng)縣二模）如圖，已知以AB為直徑的半圓，圓心為O，弦AC平分∠BAD，點(diǎn)D在半圓上，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：EF與半圓O相切于點(diǎn)C．（2）若AO＝3，BF＝2，求tan∠ACE的值．【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠E＝90°，再利用角平分線和等腰三角形的性質(zhì)可證AE∥OC，然后利用平行線的性質(zhì)可求出∠OCF＝90°，即可解答；（2）根據(jù)已知可求出OF＝5，AF＝8，再在Rt△OCF中，利用勾股定理求出CF＝4，然后證明A字模型相似三角形△FCO∽△FEA，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出AE，EF的長(zhǎng)，最后在Rt△ACE中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：∵CE⊥AD，∴∠E＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠EAC＝∠ACO，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCF＝90°，∵OC是半⊙O的半徑，∴EF與半圓O相切于點(diǎn)C；（2）∵AO＝3，BF＝2，∴OF＝OB+BF＝5，OC＝3，∴AF＝OF+OA＝8，∵∠OCF＝90°，∴CF＝＝＝4，∵∠E＝∠OCF＝90°，∠F＝∠F，∴△FCO∽△FEA，∴＝＝，∴＝＝，∴EA＝，EF＝，∴CE＝EF﹣CF＝，在Rt△ACE中，tan∠ACE＝＝＝2，∴tan∠ACE的值為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，熟練掌握切線的判定，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022?西湖區(qū)校級(jí)一模）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C為銳角且tanC＝1．（1）求△ABC的面積；（2）求AB的值；（3）求cos∠ABC的值．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，根據(jù)∠C的正切值確定∠C的度數(shù)，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出AD、CD，最后利用三角形的面積公式算出△ABC的面積；（2）先利用線段的和差關(guān)系求出BD，再利用勾股定理求出AB；（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出∠B的余弦值．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．∴∠ADC＝∠ADB＝90°．∵∠C為銳角且tanC＝1，∴∠C＝45°＝∠DAC．∴AD＝DC．∵sinC＝，AC＝4，∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，∴BD＝BC﹣DC＝2．在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．（3）在Rt△ABD中，cos∠ABC＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值、三角形的面積公式及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．二．解直角三角形的應(yīng)用（共5小題）6．（2022?龍港市模擬）如圖，某學(xué)校操場(chǎng)上有甲、乙兩根木桿，若某一時(shí)刻太陽(yáng)光線與地面的夾角為α（α為銳角），甲、乙桿在水平地面的影長(zhǎng)分別為2米和1.5米．若甲桿比乙桿長(zhǎng)m米，則m的值等于（）A．2tanα B． C． D．tanα【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義表示出AB、CD的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：AB⊥BC，BC＝2米，DE⊥EF，EF＝1.5米．∠C＝∠F＝α，AB﹣DE＝m米，在Rt△ABC中，tan∠C＝tanα＝，∴AB＝BC?tanα＝2tanα，在Rt△DEF中，tan∠CF＝tanα＝，∴DE＝EF?tanα＝1.5tanα，∵AB﹣DE＝m米，∴m＝2tanα﹣1.5tanα＝tanα，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行投影，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．7．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)三模）鐵路道口的欄桿如圖．已知欄桿長(zhǎng)為3米，當(dāng)欄桿末端從水平位置上升到點(diǎn)C處時(shí)，欄桿前端從水平位置下降到點(diǎn)A處，下降的垂直距離AD為0.5米（欄桿的粗細(xì)忽略不計(jì)），上升前后欄桿的夾角為α，則欄桿末端上升的垂直距離CE的長(zhǎng)為（）A．米 B．米 C．（3tanα﹣0.5）米 D．（3sinα﹣0.5）米【分析】過(guò)點(diǎn)A作AF∥DE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【解答】解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作AF∥DE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∵AF∥DE，∴∠CFA＝∠CED＝90°，∠CAF＝∠CBE＝α，由題意可知：EF＝AD＝0.5米，AC＝3米，∵sin∠CAF＝，∴CF＝3sinα（米），∴CE＝CF﹣EF＝（3sinα﹣0.5）（米），即欄桿末端上升的垂直距離CE的長(zhǎng)為（3sinα﹣0.5）米．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義．8．（2022?永嘉縣三模）如圖，架在消防車(chē)上的云梯AB長(zhǎng)為15m，BD∥CE，∠ABD＝α，云梯底部離地面的距離BC為2m．則云梯的頂端離地面的距離AE的長(zhǎng)為（）A．（2+15sinα）m B．（2+15tanα）m C．17tanαm D．17sinαm【分析】先證明四邊形BCED是矩形，得到DE＝BC＝2m，用∠ABC的正弦求得AD＝ABsin∠ABD＝15sinα（m），得到AE＝DE+AD＝2+15sinα（m）．【解答】解：∵AE⊥CE，BC⊥CE，∴∠AEC＝∠BCE＝90°．∵BD∥CE，∴BD⊥AE，BD⊥BC．∴∠ADB＝∠BDE＝∠DBC＝90°．∴四邊形BCED是矩形．∴DE＝BC＝2m．∵AD＝ABsin∠ABD＝15sinα（m），∴AE＝DE+AD＝2+15sinα（m）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握矩形的判斷和性質(zhì)，正弦的定義是解決本題的關(guān)鍵．9．（2022?北侖區(qū)校級(jí)三模）圖1是淘寶上常見(jiàn)的“懶人桌”，其主體由一張桌面以及兩根長(zhǎng)度相等的支架組成，支架可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)收攏或打開(kāi)，圖2是其打開(kāi)示意圖，經(jīng)操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠ADC＝∠BCD≥90°時(shí)，可穩(wěn)定放置在水平地面上，經(jīng)測(cè)量，AD＝BC＝30cm，CD＝40cm．（1）當(dāng)其完全打開(kāi)且置于水平地面上時(shí)，測(cè)得∠ADC＝140°，求AB距離；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若要在該桌上辦公，已知眼睛與桌面的垂直距離以30cm為佳，實(shí)際辦公時(shí)，眼睛與桌面的垂直距離為34.8cm，若保持身體不動(dòng)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)支架AD以及BC抬高桌面，則A點(diǎn)應(yīng)向內(nèi)移動(dòng)多少厘米，才能達(dá)到最佳距離？（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【分析】（1）通過(guò)作高，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出AM即可；（2）求出抬高后的DM的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AM，進(jìn)而求出向內(nèi)移動(dòng)的距離即可．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB，垂足為M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB，垂足為N，則CD＝MN＝40cm，AM＝BN＝cos∠DAB?AD≈0.77×30＝23.1（cm），∴AB＝23.1×2+40＝86.2（cm），答：AB的距離約為86.2cm；（2）由題意得，桌子要抬高34.8﹣30＝4.8（cm），即DM要變?yōu)閟in∠DAB×30+4.8＝24（cm），∴AM＝＝＝18cm，即點(diǎn)A要向內(nèi)移動(dòng)23.1﹣18＝5.1（cm），答：向內(nèi)移動(dòng)5.1cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．10．（2022秋?婺城區(qū)校級(jí)月考）圖①是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，托板長(zhǎng)AB＝115mm，支撐板長(zhǎng)CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，且∠CDE＝60°．（1）求點(diǎn)C到直線DE的距離（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）；（2）若∠DCB＝70°時(shí)，求點(diǎn)A到直線DE的距離（計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位）；（3）為了觀看舒適，把（1）中∠DCB＝70°調(diào)整為90°，再將CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在DE上，則CD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為33.4°．（直接寫(xiě)出結(jié)果）（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）【分析】（1）作高CM，在直角三角形CDM中，由直角三角形的邊角關(guān)系可得答案；（2）作出點(diǎn)A到直線DE的距離AN，再過(guò)點(diǎn)CP⊥AN，在直角三角形ACP中，由邊角關(guān)系求出AP即可；（3）連接BD，由直角三角形的邊角關(guān)系求出∠BDC的度數(shù)，進(jìn)而求出∠BDE的度數(shù)即可．【解答】解：（1）如圖②，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DE，垂足為M，在Rt△CDM中，CD＝70mm，∠CDE＝60°，∵sin∠CDM＝，∴＝，∴CM＝35，即：點(diǎn)C到直線DE的距離為35mm；（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥DE，垂足為N，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AN，垂足為P，則CM＝PN，∴∠DCB＝70°，∠DCM＝90°﹣60°＝30°，∴∠BCM＝70°﹣30°＝40°，又∵CM∥AN，∴∠A＝∠BCM＝40°，在Rt△ACP中，AC＝115﹣35＝80mm，∠ACP＝90°﹣40°＝50°，∵sin∠ACP＝，即sin50°＝≈0.8，∴AP＝64，∴AN＝AP+PN＝64+35≈123.5，答：點(diǎn)A到直線DE的距離約為123.5mm；（3）如圖③，連接BD，在Rt△BCD中，BC＝35mm，CD＝70mm，∴tan∠BDC＝＝0.5，∴∠BDC≈26.6°，∴∠BDE＝∠CDE﹣∠CDB＝60°﹣26.6°＝33.4°，故答案為：33.4°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．三．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題（共4小題）11．（2022?文成縣一模）如圖，小羽利用儀器測(cè)量一電線桿AB的拉線AC的長(zhǎng)度，測(cè)得拉線AC與水平地面BC的夾角為70°，并測(cè)得C點(diǎn)到電線桿的距離BC為5米，則拉線AC的長(zhǎng)度為（）A．米 B．米 C．5sin70°米 D．5cos70°米【分析】根據(jù)余弦的定義計(jì)算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，cosC＝，則AC＝＝（米），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵．12．（2022?臺(tái)州）如圖1，梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2．梯子與地面所成的角α為75°，梯子AB長(zhǎng)3m，求梯子頂部離地豎直高度BC．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【分析】在Rt△ABC中，AB＝3m，sin∠BAC＝sin75°＝≈0.97，解方程即可．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，sin∠BAC＝sin75°＝≈0.97，解得BC≈2.9．答：梯子頂部離地豎直高度BC約為2.9m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．13．（2022?舟山二模）我市的白沙島是眾多海釣人的夢(mèng)想之地．小明的爸爸周末去白沙島釣魚(yú)，將魚(yú)竿AB擺成如圖1所示．已知AB＝4.8m，魚(yú)竿尾端A離岸邊0.4m，即AD＝0.4m．海面與地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如圖1，在無(wú)魚(yú)上鉤時(shí)，魚(yú)竿AB與地面AD的夾角∠BAD＝22°，海面上方的魚(yú)線BC與海面HC成一定角度．求點(diǎn)B到海面HC的距離；（2）如圖2，在有魚(yú)上鉤時(shí)，魚(yú)竿與地面的夾角∠BAD＝53°，此時(shí)魚(yú)線被拉直，魚(yú)線BO＝5.46m，點(diǎn)O恰好位于海面．求點(diǎn)O到岸邊DH的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°＝co53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°＝，cos22°≈，tan22°≈）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CH，垂足為F，延長(zhǎng)AD交BF于E，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出BE，繼而得出BF，即可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)B作BN⊥OH，垂足為N，延長(zhǎng)AD交BN于點(diǎn)M，垂足為M，先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出AM，繼而得出DM，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出BM，繼而得出BN，利用勾股定理求出ON，從而得出OH的長(zhǎng)．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CH，垂足為F，延長(zhǎng)AD交BF于E，垂足為E，則AE⊥BF，∵sin∠BAE＝，∴sin22°＝，∴≈，即BE≈1.8m，∴BF＝BE+EF＝1.8+1.2＝3（m），答：點(diǎn)B到海面HC的距離為3米；（2）過(guò)點(diǎn)B作BN⊥OH，垂足為N，延長(zhǎng)AD交BN于點(diǎn)M，垂足為M，由cos∠BAM＝，∴cos53°＝，∴≈，即AM≈2.88m，∴DM＝AM﹣AD＝2.88﹣0.4＝2.48（m），∵sin∠BAM＝，∴sin53°＝，∴≈，即BM≈3.84m，∴BN＝BM+MN＝3.84+1.2＝5.04（m），∴ON＝＝＝2.1（m），∴OH＝ON+HN＝ON+DM＝4.58（m），即點(diǎn)O到岸邊的距離為4.58m．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是表示出線段的長(zhǎng)后，理清線段之間的關(guān)系．14．（2022?鹿城區(qū)一模）如圖為北京冬奧會(huì)“雪飛天”滑雪大跳臺(tái)賽道．若點(diǎn)D與點(diǎn)A的水平距離DE＝a米，水平賽道BC＝b米，賽道AB，CD的坡角均為θ，則點(diǎn)A的高AE為（）A．（a﹣b）tanθ米 B．米 C．（a﹣b）sinθ米 D．（a﹣b）cosθ米【分析】延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)F，利用平行四邊形的判定與性質(zhì)得出DF的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【解答】解：延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)F，∵賽道AB，CD的坡角均為θ，∴∠AFE＝θ，∵BC∥DF，DC∥BF，∴四邊形CDFB是平行四邊形，∴BC＝DF，∴EF＝DF＝a﹣b，∴tanθ＝＝，∴AE＝（a﹣b）?tanθ（米）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確得出FE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．四．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共5小題）15．（2022?溫州校級(jí)模擬）為了疫情防控工作的需要，某學(xué)校在學(xué)校門(mén)口的大門(mén)上方安裝了一個(gè)人體體外測(cè)溫?cái)z像頭，攝像頭到地面的距離DE＝2.7米，小明身高BF＝1.5米，他在點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)D的仰角是在點(diǎn)B測(cè)得點(diǎn)D仰角的2倍，已知小明在點(diǎn)B測(cè)得的仰角是a，則體溫監(jiān)測(cè)有效識(shí)別區(qū)域AB的長(zhǎng)為（）米．A．tanα﹣tan2α B． C． D．【分析】根據(jù)題意可得：∠DCA＝90°，CE＝BF＝1.5米，從而可得DC＝1.2米，然后分別在Rt△DCB和Rt△DCA中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC和AC的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：∠DCA＝90°，CE＝BF＝1.5米，∵DE＝2.7米，∴DC＝DE﹣CE＝2.7﹣1.5＝1.2（米），在Rt△DCB中，∠DBC＝α，∴BC＝＝＝（米），在Rt△DCA中，∠DAC＝2∠DBC＝2α，∴AC＝＝＝（米），∴AB＝BC﹣AC＝（﹣）米，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．16．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）如圖，為了測(cè)量山坡上一棵樹(shù)PQ的高度，小明在點(diǎn)A處利用測(cè)角儀測(cè)得樹(shù)頂P的仰角為45°，然后他沿著正對(duì)樹(shù)PQ的方向前進(jìn)12m到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)測(cè)得樹(shù)頂P和樹(shù)底Q的仰角分別是60°和30°，設(shè)PQ垂直于AB，且垂足為C．則樹(shù)PQ的高度為（）（結(jié)果精確到0.1m，≈1.73）A．18.9 B．18.8 C．19.0 D．19.1【分析】設(shè)PC＝xm，在Rt△APC和Rt△BPC中，求出AC和BC，根據(jù)AB＝AC﹣BC即可列出方程求得x的值，再在Rt△BQC中利用三角函數(shù)求得QC的長(zhǎng)，則PQ的長(zhǎng)度即可求解．【解答】解：設(shè)PC＝xm．在Rt△APC中，∠PAC＝45°，∴AC＝PC＝x；∵∠PBC＝60°，∴∠BPC＝30°．在Rt△BPC中，BC＝PC＝x，∵AB＝AC﹣BC＝6，∴x﹣x＝12，解得：x＝18+6，則BC＝6+6，在Rt△BCQ中，QC＝BC＝6+2，∴PQ＝PC﹣QC＝18+6﹣（6+2）＝12+4≈18.9（m）．答：樹(shù)PQ的高度約為18.9m．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，三角函數(shù)的定義等知識(shí)；運(yùn)用三角函數(shù)求出PC和QC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．（2022?蒼南縣一模）如圖，小華在屋頂D點(diǎn)時(shí)，測(cè)得對(duì)面圖書(shū)館頂部B的仰角為α，圖書(shū)館底部A的俯角為β，若這兩幢樓的距離AC＝32米，則圖書(shū)館樓高AB等于（）A．（32sinα+32sinβ）米 B．（32tanα+32tanβ）米 C．（+32tanβ）米 D．（32tanα+）米【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，在直角△ACE中利用三角函數(shù)求得CE的長(zhǎng)，然后在直角△ABE中求得BE的長(zhǎng)，即可求解．【解答】解：如圖，根據(jù)題意可知：DE⊥AB于點(diǎn)E，在Rt△BDE中∵∠BDE＝α，DE＝AC＝32米，∴BE＝DE?tanα＝32tanα（米），在Rt△ADE中，∵∠ADE＝β，DE＝AC＝32米，∴AE＝DE?tanβ＝32tanβ（米），∴AB＝BE+AE＝（32tanα+32tanβ）米，則圖書(shū)館樓高AB等于（32tanα+32tanβ）米．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了仰角與俯角的定義，以及三角函數(shù)，正確理解三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．18．（2022秋?海曙區(qū)期中）如圖，某中學(xué)無(wú)人機(jī)社團(tuán)成員在操場(chǎng)放飛無(wú)人機(jī)，小華站在A點(diǎn)處操作無(wú)人機(jī)，當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行到小華的正前上方點(diǎn)E處懸停，此時(shí)小華從遙控器飛行數(shù)據(jù)中得到無(wú)人機(jī)距離地面的高度BE為35m．社團(tuán)成員小亮在A處測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為75°，教學(xué)樓最高點(diǎn)D的仰角為45°，其中點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，當(dāng)無(wú)人機(jī)從E點(diǎn)開(kāi)始沿正東方向飛行一段距離到達(dá)點(diǎn)F，此時(shí)小亮發(fā)現(xiàn)無(wú)人機(jī)恰好在視線AD上，求無(wú)人機(jī)飛行的距離EF的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【分析】延長(zhǎng)AD交EM于點(diǎn)F，過(guò)F作FN⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，可得FN＝EB＝35m，在Rt△ABE中，tan75°＝＝≈3.73，求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)EF＝BN＝AN﹣AB可得答案．【解答】解：延長(zhǎng)AD交EM于點(diǎn)F，過(guò)F作FN⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，由題意得，F(xiàn)N＝EB＝35m，在Rt△AFN中，∠FAN＝45°，∴FN＝AN＝35m，在Rt△ABE中，∠EAB＝75°，EB＝35m，tan75°＝＝≈3.73，解得AB≈9.38，經(jīng)檢驗(yàn)，AB≈9.38是原方程的解且符合題意，∴EF＝BN＝AN﹣AB＝35﹣9.38＝25.62≈25.6（m）．答：無(wú)人機(jī)飛行的距離EF的長(zhǎng)度約為25.6m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．19．（2022?金華模擬）如圖，在坡度（即tanα）為的山坡l上一點(diǎn)P處，觀察對(duì)面山頂上的一座鐵塔BC，測(cè)得塔尖C的仰角為37°，塔底B的仰角為26.6°．已知塔高BC＝80m，點(diǎn)P的高度PE＝60m，圖中的點(diǎn)O，B，C，A，P在同一平面內(nèi)．（tan26.6°≈0.50，tan37°≈0.75）（1）求塔所在的山高OB．（2）求OA的長(zhǎng)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OC，垂足為D，根據(jù)題意得：PE＝OD＝60米，PD＝EO，然后設(shè)BD＝x米，則CD＝（80+x）米，在Rt△BPD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DP的長(zhǎng)，再在Rt△CPD中，利用銳角三角函數(shù)列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)山坡l的坡度為，可求出AE的長(zhǎng)，再利用（1）的結(jié)論求出OE的長(zhǎng)，然后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OC，垂足為D，由題意得：PE＝OD＝60米，PD＝EO，設(shè)BD＝x米，∵BC＝80米，∴CD＝BC+BD＝（80+x）米，在Rt△BPD中，∠BPD＝26.6°，∴DP＝≈＝2x（米），在Rt△CPD中，∠CPD＝37°，∴tan37°＝＝≈0.75，∴x＝160，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝160是原方程的根，∴BD＝160米，∴BO＝BD+OD＝220（米），∴塔所在的山高OB約為220米；（2）∵山坡l的坡度為，∴＝，∴AE＝2PE＝120（米），∵OE＝DP＝2x＝320（米），∴AO＝OE﹣AE＝200（米），∴OA的長(zhǎng)為200米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．五．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題（共5小題）20．（2022?金東區(qū)一模）某海域有A，B兩個(gè)島嶼，B島在A島北偏西30°方向上，距A島120海里．有一艘船從A島出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B島南偏東75°方向的C處．（1）求∠BCA的度數(shù)．（2）求BC的長(zhǎng)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)以及方向角的定義得出∠FBA＝∠EAB＝30°，∠FBC＝75°，那么∠ABC＝45°，又根據(jù)方向角的定義得出∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝75°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝60°；（2）作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，解Rt△ABD，得出BD＝AD，解Rt△ACD，得出CD，進(jìn)而得出BC＝BD+CD．【解答】解：（1）如圖，∵∠EAB＝30°，AE∥BF，∴∠FBA＝∠EAB＝30°，又∵∠FBC＝75°，∴∠ABC＝∠FBC﹣∠FBA＝45°，又∵∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝30°+45°＝75°，∴∠ACB＝180°﹣45°﹣75°＝60°；（2）如圖，作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵∠ABD＝45°，AB＝120海里，∴AD＝BD＝AB?sin45°＝120×＝60（海里），在Rt△ACD中，∵∠C＝60°，AD＝60海里，∴CD＝AD?tan30°＝60×＝20（海里），∴BC＝BD+CD＝60+20（海里）．答：BC的長(zhǎng)為（60+20）海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，銳角三角函數(shù)定義，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求出線段BD與CD的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?婺城區(qū)校級(jí)月考）如圖，A位于學(xué)校主教學(xué)樓P南偏東45°方向，且距離教學(xué)樓60米，小明同學(xué)從這里出發(fā)沿著正北方向走了一段時(shí)間后，到達(dá)位于主教學(xué)樓北偏東30°方向的綜合樓B處，此時(shí)小明同學(xué)一共走的距離為（30+30）米．【分析】過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于C，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出PC、AC，根據(jù)正切的定義求出BC，得到答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，PA＝60米，∠A＝45°，則PC＝AC＝PA＝30（米），在Rt△PCB中，∠B＝30°，則BC＝＝＝30（米），則AB＝AC+BC＝（30+30）米，故答案為：（30+30）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．22．（2022?麗水二模）如圖，從A點(diǎn)測(cè)得M村在北偏東30°方向，小明從A點(diǎn)沿北偏東60°方向步行800米達(dá)到C處，測(cè)得M村位于點(diǎn)C的北偏西75°方向，若在AC上找點(diǎn)N，使得MN最短，AN的長(zhǎng)是400（）米．【分析】過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，依據(jù)題意可得∠MAN＝30°，∠BCM＝75°，∠DCA＝60°，AC＝800，進(jìn)而可得∠MCN＝45°，則MN＝CN，設(shè)MN＝x，在Rt△AMN中，可得tan30°＝＝，即可求出x的值，進(jìn)而可得出答案．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，依據(jù)題意，可得∠MAN＝60°﹣30°＝30°，∠BCM＝75°，∠DCA＝60°，AC＝800米，∴∠MCN＝180°﹣75°﹣60°＝45°，則MN＝CN，設(shè)MN＝x，則AN＝800﹣x，在Rt△AMN中，tan30°＝＝，解得x＝400（），∴AN＝800﹣400（）＝400（）米．故答案為：400（）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，熟練掌握解直角三角形的知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用23．（2022?上虞區(qū)模擬）如圖，海岸線上有兩座燈塔A，B，燈塔A位于燈塔B的正東方向，與燈塔B相距8km．海上有甲、乙兩艘貨船，甲船位于燈塔B的北偏東30°方向，與燈塔B相距8km的C處；乙船位于燈塔A的北偏東15°方向，與燈塔A相距6km的D處．求：（1）甲船與燈塔A之間的距離；（2）兩艘貨船之間的距離．【分析】（1）連接AC，由圖可得∠ABC＝60°，△ABC是等邊三角形，進(jìn)而可得AB的長(zhǎng)度；（2）過(guò)C作CE⊥AD于E，根據(jù)45°角的余弦求出CE，再根據(jù)勾股定理可得答案．【解答】解：（1）連接AC，∵BC＝AB＝8km，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝8km，答：甲船與燈塔A之間的距離是8km；（2）過(guò)C作CE⊥AD于E，由（1）得，∠CAB＝60°，∠CAE＝45°，AC＝8km，∴Rt△ACE中，CE＝AE＝cos45°×8＝4（km），∵AD＝6km，∴DE＝AD﹣AE＝2（km），∴CD＝＝2（km），答：兩艘貨船之間的距離是2km．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角定義．24．（2022?富陽(yáng)區(qū)一模）如圖，一艘貨船以36海里/時(shí)的速度在海面上航行，當(dāng)他行駛到A處時(shí)，發(fā)現(xiàn)它的東北方向有一燈塔B，獲準(zhǔn)繼續(xù)向北航行40分鐘后到達(dá)C處，發(fā)現(xiàn)燈塔B在它北偏東60度方向．求此時(shí)貨輪與燈塔B的距離（結(jié)果精確到0.01海里）．【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC延長(zhǎng)線于D，由題意得∠DAB＝45°，∠DCB＝60°，AC＝24（海里），則△ADB是等腰直角三角形，得AD＝BD，∠CBD＝30°，則BC＝2CD，設(shè)CD＝x海里，則BC＝2x海里，BD＝AD＝（24+x）（海里），然后在Rt△BDC中，由勾股定理得出方程，即可解決問(wèn)題．【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC延長(zhǎng)線于D，如圖所示：由題意得：∠DAB＝45°，∠DCB＝60°，AC＝36×＝24（海里），則△ADB是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∠CBD＝90°﹣∠DCB＝90°﹣60°＝30°，∴BC＝2CD，設(shè)CD＝x海里，則BC＝2x海里，BD＝AD＝AC+CD＝（24+x）（海里），在Rt△BDC中，BC2＝CD2+BD2，即（2x）2＝x2+（24+x）2，解得：x1＝12+12，x2＝12﹣12（不合題意舍去），∴BC＝2×（12+12）≈65.57（海里），答：此時(shí)貨輪與燈塔B的距離約為65.57海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·浙江·杭州市采荷中學(xué)二模）如圖，在中，，設(shè)，，所對(duì)的邊分別為4，3，5，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：在△ABC中，∠C=90°，設(shè)∠A、∠B，∠C所對(duì)的邊分別為4，3，5，所以sinB=，即3=5sinB，因此選項(xiàng)A不符合題意，選項(xiàng)B符合題意，tanB=，即3=4tanB，因此選項(xiàng)C不符合題意，選項(xiàng)D不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，理解銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．2．（2021·浙江浙江·九年級(jí)月考）如圖，是河堤橫斷面的迎水坡，坡高，水平距離，則斜坡的坡度為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)坡度的定義直接求解即可．【詳解】解：∵坡高AC=1，水平距離BC=，∴斜坡AB的坡度為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，理解坡度的概念是解題的關(guān)鍵．3．（2021·浙江瑞安·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，是梯子兩梯腿張開(kāi)的示意圖，AB＝AC，梯腿與地面夾角∠ACB＝∠，當(dāng)梯子頂端離地面高度AD＝2.8m時(shí)，則梯子兩梯腳之間的距離BC＝（）m．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD＝DC＝BC，根據(jù)正切的定義計(jì)算，得到答案．【詳解】∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC，在Rt△ADC中，tanC＝，∴DC＝＝，∴BC＝2DC＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·浙江·翠苑中學(xué)二模）如圖，在中，，是邊上的高，則下列選項(xiàng)中不能表示的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可推出△ABC、△ADB、△ADC均為直角三角形，再在三個(gè)直角三角形中分別表示出tanB即可．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AD是BC邊上的高，∴△ABC、△ADB、△ADC均為直角三角形，又∵∠C+∠B=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠B=∠DAC，在Rt△ABC中，tanB=，故A可以表示；在Rt△ABD中，tanB=，故B可以表示；在Rt△ADC中，tanB=tan∠DAC=，故C可以表示；D不能表示tanB；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形相關(guān)知識(shí)，熟練掌握銳角三角函數(shù)在直角三角形中的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．5．（2021·浙江浙江·九年級(jí)月考）在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=6，則AB的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作CD⊥AB于D，則△BCD是等腰直角三角形，得BD=CD，∠BCD=45°，求出∠ACD=30°，由直角三角形的性質(zhì)得AD=AC=3，BD=CD=AD=3，即可得出答案．【詳解】解：作CD⊥AB于D，如圖所示：則∠BDC=∠ADC=90°，∵∠B=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，∠BCD=45°，∵∠ACB=75°，∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°，∴AD=AC=×6=3，CD==3，∴BD=CD=3，∴AB=BD+AD=3+3=3（+1）；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）二模）如圖，已知中，，，分別為，的中點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)作的平行線與的角平分線交于點(diǎn)，連結(jié)，若，，則的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意延長(zhǎng)DF交AB于H，過(guò)F作FT⊥AB于T，連接CF，設(shè)DF=x，運(yùn)用三角形中位線定理、全等三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)定義構(gòu)建方程，求出x即可得出答案．【詳解】解：延長(zhǎng)DF交AB于H，過(guò)F作FT⊥AB于T，連接CF，

設(shè)DF=x，

∵DH∥AC，D為BC的中點(diǎn)，

∴H為AB的中點(diǎn)，

∴BH=AH，

∴DH是△ABC的中位線，

∴DH=AC=1，

∴FH=1-x，

∵FA平分∠CAB，F(xiàn)E⊥AC，F(xiàn)T⊥AB，

∴FE=FT，

∵E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)E⊥AC，

∴CF=AF，

在Rt△CFE和Rt△AFT中，

，

∴Rt△CFE≌Rt△AFT（HL），

∴AE=AT=1，

∵∠FAE=∠AFH=∠FAH，

∴FH=AH=BH=1-x，

∴TH=1-（1-x）=x，

∵∠C=∠BDH=∠TFH，

∴sin∠C=sin∠TFH，

∴，

解得：或（舍去），

∴，

∵DE=，

∴.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．二、填空題7．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）二模）一顆珍貴的百年老樹(shù)傾斜程度越來(lái)越厲害了．出于對(duì)它的保護(hù)，需要測(cè)量它的高度，做法如下：在地面上選取一點(diǎn)，測(cè)得，米，，則這棵樹(shù)的高約為_(kāi)_______米．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，設(shè)米，利用銳角三角函數(shù)可得，AH=BH=x，從而得到，即可解出，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，設(shè)米，∵，∠BHC=90°，∴，∵，∴∠ABH=45°，∴∠ABH=∠BAC，∴AH=BH=x，∵米，∴，解得：，∴AH=BH=12∴（米）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，作適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2021·浙江平陽(yáng)·九年級(jí)期中）小明在某次投籃中剛好把球打到籃板的點(diǎn)D處后進(jìn)球．已知小明與籃框內(nèi)的距離米，眼鏡與底面的距離米，視線與水平線的夾角為，已知，則點(diǎn)D到底面的距離是_______米．【答案】3.2【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義可知，可得的長(zhǎng)，再根據(jù)，即可解答．【詳解】解：由題意可得：，解得故答案為3.2【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的定義求得的長(zhǎng)．9．（2021·浙江·溫州繡山中學(xué)三模）如（圖1），一個(gè)可繞公共頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的收納柜放置在櫥柜轉(zhuǎn)角處，兩層抽屈形狀大小都相同（圖2），（圖3）為上層抽屜旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的俯視圖，下層抽屜的長(zhǎng)AD＝30cm，寬AB＝20cm，MA＝10cm，當(dāng)上層抽屜旋轉(zhuǎn)至邊B′C′恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)如（圖2），AD′與邊MN平行，此時(shí)點(diǎn)D′到BC的距離為_(kāi)___cm；當(dāng)上層抽屜旋轉(zhuǎn)至AD′碰到邊MN時(shí)如（圖3），此時(shí)點(diǎn)D′到BC的距離為_(kāi)___cm．【答案】【分析】如圖2所示，過(guò)D′作與E，求證，即可得出，結(jié)果可得；根據(jù)圖2可得出，如圖3所示，作交延長(zhǎng)線與，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程求解，然后根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】如圖2所示，過(guò)D′作與E，∵，∴?A∴，∴D′到BC的距離為：；如圖2所示：，∴，∴，如圖3所示，作交延長(zhǎng)線與，∵圖2中，∴，設(shè)，則，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．10．（2021·浙江·寧波市海曙外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，有一個(gè)底面直徑與杯高均為15cm的杯子里而盛了一些溶液，當(dāng)它支在桌子上傾斜到液面與杯壁呈才能將液體倒出，則此時(shí)杯子最高處距離桌面__cm，，【答案】21.15【分析】過(guò)最高點(diǎn)作桌面的垂線，過(guò)流水口作桌面的垂線，作于點(diǎn)，運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行解答．【詳解】解：過(guò)最高點(diǎn)作桌面的垂線，過(guò)流水口作桌面的垂線，作于點(diǎn)，如圖所示，在中，有，，，，，，，，在中，，，．故答案為：21.15．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵．11．（2021·浙江·諸暨牌頭中學(xué)九年級(jí)）如圖，在中，，以其三邊為邊向外作正方形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作分別交邊，于點(diǎn)，．若，，則_______．【答案】【分析】連接EC，HC，設(shè)CR與AB交于點(diǎn)M，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證明出，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠ABC的三角函數(shù)值，然后根據(jù)正方形AFGB的性質(zhì)和的長(zhǎng)度列方程求出BC的長(zhǎng)度，進(jìn)一步根據(jù)∠BCQ的三角函數(shù)值求出CQ的長(zhǎng)度，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PC的長(zhǎng)度，即可求出PQ的長(zhǎng)度．【詳解】如圖所示，連接EC，HC，設(shè)CR與AB交于點(diǎn)M．∵四邊形ACDE和四邊形CBHI都是正方形，∴，又∵，∴，∴點(diǎn)E，C，H三點(diǎn)共線，∴，又∵，∴．∴，∵四邊形ACDE和四邊形CBHI都是正方形，∴?ACE和?∴，，∵?ABC是直角三角形，，∴，∴，∵四邊形AFGB是正方形，，∴，∴由題意可知四邊形AFRM是矩形，∴AF=RM=AB．∴設(shè)CM=x，AB=AF=MR=26-x，在Rt△CMB中，，∴BM=3x，BC=，∵，∴，解得：．∴CM=6，BC=6，∵PQ⊥CR，AB⊥CR，∴PQ∥AB，∴，∴，∴，∴，∴解得：．又∵，∴，解得：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)的運(yùn)用等知識(shí)，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2021·浙江·諸暨市開(kāi)放雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)A（3，3），點(diǎn)B（0，），點(diǎn)A在二次函數(shù)y＝x2+x﹣9的圖象上，作射線AB，再將射線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°，交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)B作軸，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，設(shè)，則，則，根據(jù)三角函數(shù)得出，則，解之可得，求得直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立可得點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作軸，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可得,∴,設(shè)，則，∴，∴,∴，∵,∴，∴，兩邊平方得：，解得：(舍)，∴,，∴,∴,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：，設(shè)直線的解析式為：，則，解得，∴表達(dá)式為，將其代入拋物線方程y＝x2+x﹣9，解得或，即為點(diǎn)A，將代入直線AC得，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，求一次函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得一次函數(shù)解析式與二次函數(shù)解析式聯(lián)立是解題的關(guān)鍵．13．（2021·浙江龍游·九年級(jí)期末）如圖，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點(diǎn)O是三角形的重心，點(diǎn)D是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)DO交AB于點(diǎn)E，將ADE沿DE進(jìn)行翻折得到，與BC交于點(diǎn)F，連結(jié)．（1）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，則的長(zhǎng)為_(kāi)__．（2）BF的最小值為_(kāi)__．【答案】【分析】（1）設(shè)與CE交于P，由折疊的性質(zhì)可知，，根據(jù)，，即可得到，求出AP的長(zhǎng)即可得到答案；（2）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于H，在OH上取一點(diǎn)P使得OP=DP，由題意可得，當(dāng)BF最小即CF最大時(shí)，D一定在CH之間，先由重心定理求出，在證明△AHO∽△ACM，得到,，，設(shè)，，，則，，證明∴，得到，，再根據(jù)，求得，設(shè)CF=y，即可得到，再利用一元二次方程根的判別式求解即可得到答案．【詳解】解：（1）如圖所示，設(shè)與CE交于P，由折疊的性質(zhì)可知，，∵O是三角形ABC的重心，∴E是AB的中點(diǎn)，又∵∠ACB=90°，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）如圖所示，AM為BC邊上的中線即，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于H，在OH上取一點(diǎn)P使得OP=DP，由題意可得，當(dāng)BF最小即CF最大時(shí)，D一定在CH之間，由重心定理可知，，∵OH⊥AC，BC⊥AC，∴OH∥BC，∴△AHO∽△ACM，∴,∴，，設(shè)，，，則，，由翻折的性質(zhì)可得，，∠AGD=90°，∴∠ADG+∠DAG=∠DHO+∠DOH=90°，∴，又∵OP=DP，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，即解得，∴，設(shè)CF=y，∴，∴，∴，∴，∵關(guān)于a的方程一定有解，∴，∴,解得（舍去，因?yàn)镃F<CM=4）或，∴，∴，∴BF的最小值為．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了重心定理，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，一元二次方程根的判別式，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．14．（2021·浙江·杭州市豐潭中學(xué)二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，點(diǎn)E是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△CDE沿CE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′恰好落在矩形的內(nèi)角平分線上時(shí)（∠DCD'為銳角），則cos∠DCD'＝__________________．【答案】或或或【分析】根據(jù)D′恰好落在矩形的內(nèi)角平分線上時(shí)，分四種情況，分別考慮，當(dāng)D'落在∠BCD的平分線上，則∠DCD'=45°即可；當(dāng)D'落在∠D的平分線上，則∠DCD'=90°，不符合題意；當(dāng)D'落在∠ABC的平分線上，則∠D'BC=45°，當(dāng)D'落在∠BAD的平分線上，則∠DAG=45°，都是在Rt△CD'H中，利用勾股定理列出方程，即可求出答案．【詳解】解：如圖1，當(dāng)D'落在∠BCD的平分線上，則∠DCD'＝45°，cos∠DCD'＝；當(dāng)D'落在∠D的平分線上，則∠DCD'＝90°，不符合題意，舍去；如圖2，當(dāng)D'落在∠ABC的平分線上，則∠D'BC＝45°，連接BD'，作D'H⊥BC于H，設(shè)D'H＝t，則BH＝t，CH＝8﹣t，在Rt△CD'H中，由勾股定理得：t2+（8﹣t）2＝62，解得：t＝4±，∵D'H⊥BC，CD⊥BC，∴∠DCD'＝∠CD'H，∴cos∠DCD'＝cos∠CD'H＝；如圖3，當(dāng)D'落在∠BAD的平分線上，則∠DAG＝45°，連接AD'，過(guò)D'作D'H⊥BC于H，延長(zhǎng)HD'交AD于G，設(shè)D'G＝t，則AG＝t，D'H＝6﹣t，HC＝8﹣t，在Rt△CD'H中，由勾股定理得：（6﹣t）2+（8﹣t）2＝62，解得t1＝7+（不合題意，舍去），t2＝7﹣，∴D'H＝6﹣t＝﹣1，∵D'H⊥BC，CD⊥BC，∴∠DCD'＝∠CD'H，∴cos∠DCD'＝cos∠CD'H＝，綜上所述：cos∠DCD'＝或或或．故答案為：或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，以及三角形函數(shù)等知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想，分別畫(huà)出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2021·浙江·杭州市公益中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）已知，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)得∠ABC=∠BCD，即可求證△ABC∽△BCD；（2）設(shè)BC=k，則AC=2k，根據(jù)勾股定理可求得AB，再根據(jù)△ABC∽△BCD得對(duì)應(yīng)邊比值相等即可解題．【詳解】（1）∵，∴，又∵∴；（2）∵∴可設(shè)，則，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．16．（2021·浙江·紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學(xué)二模）如圖，某商場(chǎng)從一層到二層的樓梯由臺(tái)階AB，CD和一段水平平臺(tái)BC構(gòu)成，AB與CD互相平行并且與地面成31°角．已知臺(tái)階AB＝5.2米，CD＝2.8米，平臺(tái)BC＝2.5米．求商場(chǎng)一層的高度（結(jié)果精確到0.1米）．參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601．【答案】4.1米【分析】延長(zhǎng)BC與DE交于G，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE于F，先證明四邊形BFEG是矩形，得到BF=GE，∠CGD=90°，再解直角三角形即可．【詳解】解：如圖所示延長(zhǎng)BC與DE交于G，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE于F，∵BF⊥AE，DE⊥AE，BC∥EF，∴四邊形BFEG是矩形，∴BF=GE，∠CGD=90°，∵，GD=CDsin3∴米，∴商場(chǎng)一層的高度為4.1米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．17．（2021·浙江浙江·九年級(jí)月考）如圖，在中，．求的值．【答案】sinA．【分析】根據(jù)tanB和BC的值可以求出直角邊AC的值，再由勾股定理即可求得AB的值，再根據(jù)正弦函數(shù)即可求得sinA的值．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=4，∴tanB=，∴AC=3，∵AB2=AC2+BC2，∴AB=5，∴sinA=．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟記三角函數(shù)的定義，能夠根據(jù)三邊，求出各角的三角函數(shù)．18．（2020·浙江衢江·九年級(jí)期末）某社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量河兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸邊點(diǎn)A處，測(cè)得河的北岸邊點(diǎn)B在其北偏東45°方向，然后向西走50m到達(dá)C點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏東60°方向，如圖．（1）求∠CBA的度數(shù)；（2）求這段河的寬度．（結(jié)果精確到1m）【答案】（1）15°；（2）【分析】(1)如圖，作于點(diǎn)D，可得，再根據(jù)題目中度數(shù)可以求得∠CBA的度數(shù)；(2)根據(jù)題意，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)可以求得河寬，注意要精確到1m．【詳解】(1)解：如圖，作于點(diǎn)D，由題意可得，（2）由題意可得，AC=50m，答：這段河的寬度約為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用銳角三角函數(shù)解答．19．（2020·浙江·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）九年級(jí)期末）水亭門(mén)是衢州國(guó)家級(jí)儒學(xué)文化產(chǎn)業(yè)園核心區(qū)的重要組成部分，也是古城的中央休閑區(qū)和市政府傾力打造的5A級(jí)景區(qū)主景點(diǎn)．在課外實(shí)踐活動(dòng)中，我校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組決定測(cè)量該水亭門(mén)的高．他們的操作方法如下：如圖，先在D處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為20°，再往水亭門(mén)的方向前進(jìn)22米至C處，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為31°（點(diǎn)D、C、B在一直線上），求水亭門(mén)AB的高．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】19.8米【分析】在Rt△ABD中可得出BD=，在Rt△ABC中，可得BC=，則可得BD-BC=22，求出AB即可．【詳解】解：由題意得，∠ABD=90°，∠D=20°，∠ACB=31°，CD=22，在Rt△ABD中，∵tan∠D=，∴BD==，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=，∴BC==，∵CD=BD-BC，∴22=?，解得AB=19.8米．答：水城門(mén)AB的高為19.8米．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形，然后利用三角函數(shù)值求出未知線段的長(zhǎng)度．20．（2021·浙江省杭州市上泗中學(xué)二模）圖1是某小型汽車(chē)的側(cè)面示意圖，其中矩形表示該車(chē)的后備箱，在打開(kāi)后備箱的過(guò)程中，箱蓋可以繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，箱蓋落在的位置（如圖2所示）已知厘米，厘米，厘米．（1）求點(diǎn)到的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求、兩點(diǎn)的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）厘米；（2）厘米【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D′作D′H⊥BC，垂足為點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性質(zhì)可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通過(guò)解直角三角形可求出D′F的長(zhǎng)，結(jié)合FH＝DC＝DE＋CE及D′H＝D′F＋FH可求出點(diǎn)D′到BC的距離；（2）連接AE，AE′，EE′，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，進(jìn)而可得出△AEE′是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的長(zhǎng)度，結(jié)合EE′＝AE可得出E、E′兩點(diǎn)的距離．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)D'作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖所示．由題意，得：厘米，．四邊形是矩形，，．在中，厘米，又厘米，厘米，厘米，厘米．（2）連接，，，如圖4所示，由題意，得：，，是等邊三角形，．四邊形是矩形，．在中，厘米，厘米，厘米，厘米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）通過(guò)解直角三角形求出D′F的長(zhǎng)度；（2）利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)度．21．（2021·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為C，點(diǎn)A是拋物線對(duì)稱軸左側(cè)上一點(diǎn)，連結(jié)，以，為邊構(gòu)造平行四邊形．（1）如圖1，當(dāng)軸時(shí)，①已知，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，求拋物線的解析式；②若，求b的值；（2）如圖2，若，連結(jié)交y軸于點(diǎn)E，且，是否存在這樣的b值，使四邊形是菱形?若存在，求出b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）①；②；（2）存在，．【分析】（1）①先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可得；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得的長(zhǎng)，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，最后在中，解直角三角形即可得；（2）連接，交于點(diǎn)，先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)可得，從而可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式可得點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的解析式即可得．【詳解】解：（1）①當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)是，軸，，將點(diǎn)代入得：，解得，則拋物線的解析式為；②如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，拋物線的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，，即，，，由二次函數(shù)的對(duì)稱性得：，，，是等邊三角形，，在中，，，即，解得或（不符題意，舍去），則的值為；（2）如圖，連接，交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，當(dāng)時(shí)，，，，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，將代入得：，即，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，則直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，故存在這樣的值，使四邊形是菱形，的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法和菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．（2021·浙江·寧波市第七中學(xué)九年級(jí)月考）一個(gè)四邊形被一條對(duì)角線分割成兩個(gè)三角形，如果被分割的兩個(gè)三角形相似，我們稱該對(duì)角線為相似對(duì)角線．（1）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為AD的中點(diǎn)，AF=1，連結(jié)CE，CF，求證：EF為四邊形AECF的相似對(duì)角線；（2）在四邊形ABCD中，∠BAD=120°，AB=3，AC=，AC平分∠BAD，且AC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線，求BD的長(zhǎng)；（3）如圖2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點(diǎn)E是線段AB（不取端點(diǎn)A，B）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）或；（3）或或3【分析】（1）如圖1中，只要證明△AEF∽△ECF即可解決問(wèn)題；（2）如圖2、圖3中，AC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線，有兩種情形：①如圖2中，△ACB≌△ACD時(shí)．②如圖3中，當(dāng)△ACD∽△ABC時(shí)，分別求解即可；（3）分三種情形①如圖4中，當(dāng)△AEF和△CEF關(guān)于EF對(duì)稱時(shí)，EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線．②如圖5中，如圖取AD中點(diǎn)F，連接CF，將△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延長(zhǎng)CD′交AB于E，易證EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線．③如圖6中，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，作EF⊥AD于F，延長(zhǎng)CB交FE的延長(zhǎng)線于M，則易證EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線．此時(shí)BE=3；【詳解】解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∵AE=DE=2，AF=1，∴，∵∠A=∠D=90°，∴△AEF∽△DCE，∴∠AEF=∠DCE，，∵∠DCE+∠CED=90°，∴∠AEF+∠CED=90°，∴∠FEC=∠A=90°，∵，∴，∴△AEF∽△ECF，∴EF為四邊形AECF的相似對(duì)角線．（2）如圖2中，∵AC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線，∴有兩種情形：①如圖2中，△ACB≌△ACD時(shí)，∵AB=AD=3，BC=CD，∴AC垂直平分DB，在Rt△AOB中，∵AB=3，∠ABO=30°，∴BO=AB?cos30°=，∴BD=2OB=．②如圖3中，當(dāng)△ACD∽△ABC時(shí)，可得AC2=AB?AD，∴6=3AD，∴AD=2，在Rt△ADH中，∵∠HAD=60°，AD=2，∴AH=AD=1，DH=AH=，在Rt△BDH中，BD=．（3）①如圖4中，當(dāng)△AEF和△CEF關(guān)于EF對(duì)稱時(shí)，EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線，設(shè)AE=EC=x，在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，∴x2=（6-x）2+42，解得x=，∴此時(shí)BE=AB-AE=6-=．②如圖5中，如圖取AD中點(diǎn)F，連接CF，將△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延長(zhǎng)CD′交AB于E，易證EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線．由△AEF∽△DFC得到，，∴，∴AE=，∴BE=AB-AE=．③如圖6中，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，作EF⊥EC交AD于F，延長(zhǎng)CB交FE的延長(zhǎng)線于M，則易證EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線．此時(shí)BE=3．綜上所述，滿足條件的BE的值為或或3．【點(diǎn)睛】本題考查相似形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．23．（2020·浙江·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）九年級(jí)期末）已知在矩形ABCD中，tan∠DBC，BC＝8，點(diǎn)E在射線OD上，連接EC，在射線BC上取點(diǎn)F，使得EF＝EC，射線EF與射線AC交于點(diǎn)P．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段OD上（不包括O、D），求證：△CPF∽△BEC；（2）在（1）的條件下，設(shè)CF＝x，△PFC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求OE的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）；（3）或【分析】（1）由題意易得，然后問(wèn)題可求證；（2）由（1）可得，則有，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，則有，，進(jìn)而可得，然后可得，最后問(wèn)題可求解；（3）由題意可分：①當(dāng)點(diǎn)E在OD上，②當(dāng)點(diǎn)E在線段OD外，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行分類求解即可．【詳解】（1）證明：∵EF＝EC，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OC，∴，∴△CPF∽△BEC；（2）在Rt△DBC中，∵tan∠DBC，BC＝8，∴，由（1）可知△CPF∽△BEC，∴，∴，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，如圖所示：∵EF＝EC，∴，∴，∴，∴，∵S?∴S△∵點(diǎn)E在線段OD上（不包括O、D），∴；（3）①當(dāng)點(diǎn)E在線段OD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，如圖：∵在矩形ABCD中，OB=OC，BC=8，∴BG=GC=4，∵tan∠DBC，∴，∴∵EF＝EC，，∴∵△CPF∽△BEC，∴，∴，由（2）可得，∴，，∵OG⊥BC，EH⊥BC，∴?BGO∴，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)E在線段OD外時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC，如圖所示：同理（1）可知△CPF∽△BEC，∴，∴，∴，∴，，∵OM⊥BC，EN⊥BC，∴?BMO由①可知OM=2，，∴，∴，∴；綜上所述：當(dāng)時(shí)，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)及三角函數(shù)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．24．（2021·浙江·紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學(xué)二模）定義：如圖1，四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在□ABCD四條邊上（不與□ABCD的頂點(diǎn)重合），我們稱四邊形EFGH為□ABCD的內(nèi)接四邊形．（1）如圖1，若ABCD的內(nèi)接四邊形EFGH是平行四邊形，求證