高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)列多選題的專項(xiàng)培優(yōu)易錯(cuò)試卷練習(xí)題附解析一、數(shù)列多選題1．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由題意可得數(shù)列滿足遞推關(guān)系，依次判斷四個(gè)選項(xiàng)，即可得正確答案.【詳解】對(duì)于A，寫出數(shù)列的前6項(xiàng)為，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，，……，，可得：，故C正確.對(duì)于D，斐波那契數(shù)列總有，則，，，……，，，可得，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題以“斐波那契數(shù)列”為背景，考查數(shù)列的遞推關(guān)系及性質(zhì)，考查方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意遞推關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)換，屬于中檔題.2．已知數(shù)列滿足，，，其前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列B．滿足的的最大值是9C．除以的余數(shù)只能為0或1D．【答案】ABC【分析】根據(jù)題意對(duì)變形得，進(jìn)而根據(jù)累加法求得，再依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，故等式兩邊同除以得：，所以，，，故根?jù)累加法得：，由于，故，檢驗(yàn)滿足，故所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故A選項(xiàng)正確；由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得：，故，解得：，故滿足的的最大值是9，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)除以的余數(shù)只能為1；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)除以的余數(shù)只能，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，，顯然，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查累加法求通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和法，等差數(shù)列的相關(guān)公式應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于整理變形已知表達(dá)式得，進(jìn)而根據(jù)累加法求得通項(xiàng)公式.3．（多選）在遞增的等比數(shù)列中，已知公比為，是其前項(xiàng)和，若，，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列【答案】BC【分析】計(jì)算可得，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故選項(xiàng)正確；，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】∵∴解得或∵為遞增數(shù)列，∴∴，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；∴，，∴，，∴數(shù)列是等比數(shù)列，故選項(xiàng)正確；又，∴數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明數(shù)列的性質(zhì)，常用的方法有：（1）定義法；（2）中項(xiàng)公式法.要根據(jù)已知靈活選擇方法證明.4．將個(gè)數(shù)排成n行n列的一個(gè)數(shù)陣，如圖：該數(shù)陣第一列的n個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，每一行的n個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列(其中).已知，，記這個(gè)數(shù)的和為S.下列結(jié)論正確的有（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)第一列成等差，第一行成等比可求出，列式即可求出，從而求出通項(xiàng)，進(jìn)而可得，根據(jù)錯(cuò)位相減法可求得，再按照分組求和法，每一行求和可得S，由此可以判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】∵a11＝2，a13＝a61+1，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），A正確；∴，C錯(cuò)誤；∴，①②,①-②化簡(jiǎn)計(jì)算可得：,B正確；S＝(a11+a12+a13+……+a1n)+(a21+a22+a23+……+a2n)+……+(an1＋an2＋an3＋……＋ann)，D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對(duì)于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對(duì)于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.5．已知首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，.若，則的值可以是（）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】BCD【分析】由已知條件得出數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，從而得數(shù)列是等比數(shù)列，由此可求得奇數(shù)項(xiàng)的表達(dá)式（也即得到偶數(shù)項(xiàng)的表達(dá)式），對(duì)可先求得其奇數(shù)項(xiàng)的和，再得偶數(shù)項(xiàng)的和，從而得，計(jì)算出與接近的和，，，從而可得結(jié)論．【詳解】依題意，，，，所以，,∴.又，故數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，故奇，偶，故奇＋偶，故，，故使得的最小整數(shù)的值為18.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的和的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是是由已知關(guān)系得出數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)滿足的性質(zhì)，求出奇數(shù)項(xiàng)的表達(dá)式（也可求出偶數(shù)項(xiàng)的表達(dá)式），而求和時(shí)，先考慮項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)的和，這樣可分類求各：先求奇數(shù)項(xiàng)的和，再求偶數(shù)項(xiàng)的和，從而得所有項(xiàng)的和，利用這個(gè)和的表達(dá)式估計(jì)和接近4000時(shí)的項(xiàng)數(shù)，從而得出結(jié)論．6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為.已知，，則（）A． B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．時(shí)，的最小值為13 D．?dāng)?shù)列中最小項(xiàng)為第7項(xiàng)【答案】ACD【分析】由已知得，又，所以，可判斷A；由已知得出，且，得出時(shí)，，時(shí)，，又，可得出在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，可判斷B；由，可判斷C；判斷，的符號(hào)，的單調(diào)性可判斷D；【詳解】由已知得，，又，所以，故A正確；由，解得，又，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，又，所以時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B不正確；由于，而，所以時(shí)，的最小值為13，故C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，，，時(shí)，為遞增數(shù)列，為正數(shù)且為遞減數(shù)列，所以數(shù)列中最小項(xiàng)為第7項(xiàng)，故D正確；【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的公差，項(xiàng)的符號(hào)，數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的最值項(xiàng)，屬于較難題.7．已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，且，則（）A．B．C．?dāng)?shù)列中可以取出無(wú)窮多項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列D．設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則【答案】AC【分析】利用已知條件可得與已知條件兩式相減，結(jié)合是等差數(shù)列，可求的值即可判斷選項(xiàng)A，令即可求的值，可判斷選項(xiàng)B，分別計(jì)算的通項(xiàng)即可判斷選項(xiàng)C，分別討論兩種情況下，即可求可判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減，得，因?yàn)?，所以，，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，，易解得或，故選項(xiàng)B不正確；由選項(xiàng)A、B可知，當(dāng)，時(shí)，，可取遍所有正整數(shù)，所以可取出無(wú)窮多項(xiàng)成等比數(shù)列，同理當(dāng)時(shí)也可以取出無(wú)窮多項(xiàng)成等比數(shù)列，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)，所以，故選項(xiàng)D不正確．故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法（1）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用倒序相加法（2）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用錯(cuò)位相減法來(lái)求；（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些項(xiàng)可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和，形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.8．下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的幾個(gè)命題，其中正確的有（）A．?dāng)?shù)列遞增B．為的前n項(xiàng)和,則數(shù)列是遞增的等差數(shù)列C．若，為的前n項(xiàng)和，且為等差數(shù)列，則D．若，為的前n項(xiàng)和，則方程有唯一的根【答案】ABD【分析】選項(xiàng)A.由題意可判斷；選項(xiàng)B.先求出，根據(jù)可判斷；選項(xiàng)C.若,則，則或時(shí)為等差數(shù)列可判斷；選項(xiàng)D.由可判斷.【詳解】選項(xiàng)A.由題意，則，所以數(shù)列遞增，故A正確.選項(xiàng)B.,則所以，則，所以數(shù)列是遞增的等差數(shù)列.故B正確.選項(xiàng)C.若,則，則當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列.當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列.所以選項(xiàng)C不正確.選項(xiàng)D.,即，則又由，所以，得，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的判定和單調(diào)性的單調(diào)，解答本題的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列的定義和前項(xiàng)和公式進(jìn)行判斷，求出，從而判斷，屬于中檔題.二、平面向量多選題9．已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】設(shè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別是，分類討論點(diǎn)在平行四邊形的位置有：，，，將向量用坐標(biāo)表示，即可求解.【詳解】第四個(gè)頂點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)第四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．故選:ABC.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量關(guān)系求平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)，考查分類討論思想，屬于中檔題.10．關(guān)于平面向量有下列四個(gè)命題，其中正確的命題為（）A．若，則；B．已知，，若，則；C．非零向量和，滿足，則與的夾角為30o；D．【答案】BCD【分析】通過(guò)舉反例知A不成立，由