考向3構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題角度1一次函數(shù)、二次函數(shù)分段函數(shù)模型某農(nóng)業(yè)合作社生產(chǎn)了一種綠色蔬菜共14噸，如果在市場上直接銷售，每噸可獲利0.2萬元；如果進(jìn)行精加工后銷售，每噸可獲利0.6萬元，但需另外支付一定的加工費(fèi)，總的加工費(fèi)P(單位：萬元)與精加工的蔬菜量x(單位：噸)有如下關(guān)系：P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)x2，0≤x≤8，,\f(3x＋8,10)，8<x≤14.))設(shè)該農(nóng)業(yè)合作社將x(單位：噸)蔬菜進(jìn)行精加工后銷售，其余在市場上直接銷售，所得總利潤(扣除加工費(fèi))為y(單位：萬元)．(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)精加工蔬菜多少噸時，總利潤最大，并求出最大利潤．[解析](1)由題意知，當(dāng)0≤x≤8時，y＝0.6x＋0.2(14－x)－eq\f(1,20)x2＝－eq\f(1,20)x2＋eq\f(2,5)x＋eq\f(14,5)，當(dāng)8<x≤14時，y＝0.6x＋0.2(14－x)－eq\f(3x＋8,10)＝eq\f(1,10)x＋2，即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)x2＋\f(2,5)x＋\f(14,5)，0≤x≤8，,\f(1,10)x＋2，8<x≤14.))(2)當(dāng)0≤x≤8時，y＝－eq\f(1,20)x2＋eq\f(2,5)x＋eq\f(14,5)＝－eq\f(1,20)(x－4)2＋eq\f(18,5)，所以當(dāng)x＝4時，ymax＝eq\f(18,5).當(dāng)8<x≤14時，y＝eq\f(1,10)x＋2，所以當(dāng)x＝14時，ymax＝eq\f(17,5).因?yàn)閑q\f(18,5)>eq\f(17,5)，所以當(dāng)x＝4時，ymax＝eq\f(18,5).所以當(dāng)精加工蔬菜4噸時，總利潤最大，最大利潤為eq\f(18,5)萬元．名師點(diǎn)撥：1．分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值．2．構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準(zhǔn)確、簡潔，做到分段合理不重不漏．角度2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸．嫦娥五號返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因?yàn)樗捎脧椞椒祷貜椀?，?shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示)．現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為100m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)(C)A．4 B．5C．6 D．7[解析]設(shè)石片第n次“打水漂”時的速率為vn，則vn＝100×0.90n－1.由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，則(n－1)ln0.90<ln0.6，即n－1>eq\f(ln0.6,ln0.9)≈eq\f(－0.511,－0.105)≈4.87，則n>5.87，故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.名師點(diǎn)撥：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用技巧1．與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問題，在求解時，要先學(xué)會合理選擇模型，在兩類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．2．在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進(jìn)入消費(fèi)者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費(fèi)A之間滿足關(guān)系R＝aeq\r(A)(a為常數(shù))，廣告效應(yīng)為D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應(yīng)，投入的廣告費(fèi)應(yīng)為eq\f(1,4)a2(用常數(shù)a表示)．[解析]令t＝eq\r(A)(t≥0)，則A＝t2，所以D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))2＋eq\f(1,4)a2.所以當(dāng)t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2時，D取得最大值．2．(角度2)(2020·新高考Ⅰ卷)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)(B)A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天[解析]因?yàn)镽0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝eq\f(3.28－1,6)＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，