關于函數(shù)及其圖像第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)及其圖像1.2函數(shù)極限1.3無窮小量與無窮大量1.4數(shù)列的極限1.5兩個重要極限1.6無窮小的比較1.7連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)

第2頁,共83頁，2024年2月25日，星期天1.1函數(shù)及其圖像一、集合二、常量、變量、函數(shù)三、函數(shù)的初等性質(zhì)四、函數(shù)的初等運算五、基本初等函數(shù)與初等函數(shù)六、函數(shù)關系的建立重點：函數(shù)的概念、初等函數(shù)難點：復合函數(shù)第3頁,共83頁，2024年2月25日，星期天1.1.1基礎知識回顧1.集合:具有某種特定性質(zhì)的對象（事物）的總體.組成這個集合的對象稱為該集合的元素.有限集（列舉表示）無限集（命題式表示）集合：A，B，C…表示；元素：a，b，c…表示第4頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.實數(shù)與數(shù)軸O1-1x實數(shù)系的連續(xù)性：實數(shù)的集合與數(shù)軸上的點的集合一一對應第5頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例如不含任何元素的集合稱為空集例如規(guī)定空集為任何集合的子集.A是B的子集

,或稱B包含A,若且則稱A

與B

相等,例如,,記作記作定義2

.若設有集合A，B，必有3.集合之間的關系則稱第6頁,共83頁，2024年2月25日，星期天定義3

.

給定兩個集合A,B,定義下列運算:并集交集且差集且余集直積記為平面上的全體點集或AB第7頁,共83頁，2024年2月25日，星期天4.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,記作（a,b）稱為閉區(qū)間,記作[a,b]第8頁,共83頁，2024年2月25日，星期天稱為半開區(qū)間,記作[a,b)稱為半開區(qū)間,記作(a,b]有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.第9頁,共83頁，2024年2月25日，星期天5.鄰域:點a的去心的鄰域，記作設a和數(shù)集稱為點a的鄰域.是兩個實數(shù)，且點a叫做這鄰域的中心，叫做這鄰域的半徑.第10頁,共83頁，2024年2月25日，星期天幾個邏輯符號表示對“任意一個”、“對每一個”表示“存在一個”、“至少有一個”使得“”表示“蘊含”，“可推出”“”“”表示“當且僅當”、“充分必要”、“等價”“滿足方程”第11頁,共83頁，2024年2月25日，星期天在邏輯推理過程中最常用的兩個邏輯記號“”表示“對每一個”,或“任取”,或“任意給定”;“”表示“存在”,或“至少存在一個”,或“能夠找到”.如實數(shù)的阿基米德(Archimedes)公理:任意給定兩個正的實數(shù)a,b,都存在一個自然數(shù)n,用邏輯符號將阿基米德公理改寫:練習第12頁,共83頁，2024年2月25日，星期天6.絕對值:運算性質(zhì):絕對值不等式:第13頁,共83頁，2024年2月25日，星期天1.1.2函數(shù)

在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.常量變量第14頁,共83頁，2024年2月25日，星期天因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域函數(shù)定義：設是一個非空集合，f是一個確定的法則，如果通過法則f，存在唯一的則稱由f確定了一個定義于D上，取值于R的函數(shù)，記作與x相對應，當時，稱為函數(shù)在點處的函數(shù)值.函數(shù)值全體組成的數(shù)集稱為函數(shù)的值域.第15頁,共83頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則.第16頁,共83頁，2024年2月25日，星期天約定:如無特別指出，定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值（自然定義域）.定義:第17頁,共83頁，2024年2月25日，星期天說明：第18頁,共83頁，2024年2月25日，星期天⑷不同的對應法則表示不同的函數(shù),如)(xfy=、)(xgy=、)(xyj=等等。⑸

函數(shù)有三種表示法：圖象法、表格法.⑹

在解析法中,函數(shù)的解析式有兩類：一個解析式表示的函數(shù),例如:圓的面積S與半徑R的關系是

、解析法一類僅只有另一類是由一個以上的解析式表示的函數(shù),在定義域內(nèi)的不同范圍用不同的解析式表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù)。這種函數(shù)例如

，某市出租車的乘車費y(元)與里程x(公里)之間的關系是：注意：分段函數(shù)是一個函數(shù)

，而不是幾個函數(shù)。第19頁,共83頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)的定義域1.函數(shù)中有分式,要求分母不能為零2.函數(shù)中根式,要求負數(shù)不能開偶次方3.函數(shù)中有對數(shù)式,要求真數(shù)必須大于零4.函數(shù)中有對數(shù)式和反三角函數(shù)式,要求符合它們定義域若函數(shù)式是上述各式的混合式,則應取各部分定義域的交集第20頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例1求下列函數(shù)的定義域第21頁,共83頁，2024年2月25日，星期天練解第22頁,共83頁，2024年2月25日，星期天(2)符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo(1)絕對值函數(shù)xyO第23頁,共83頁，2024年2月25日，星期天12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(4)狄利克雷函數(shù)(3)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)[5.3]=5,[-4.5]=-5.第24頁,共83頁，2024年2月25日，星期天(5)取最值函數(shù)yxoyxo第25頁,共83頁，2024年2月25日，星期天在自變量的不同變化范圍中,

對應法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).第26頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例1解下列各題第27頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例2解:故定義域是[-3,-1].因為f(x)的定義域是[0,2],所以對f(x+3)的有0≤x+3≤2,即-3≤x≤-1,故f(x+3)的定義域是[-3,-1].第28頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例3脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間的函數(shù)關系式.解單三角脈沖信號的電壓第29頁,共83頁，2024年2月25日，星期天第30頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例4.

已知函數(shù)解:及寫出f(x)的定義域及值域,并求f(x)的定義域值域第31頁,共83頁，2024年2月25日，星期天1.1.3函數(shù)的幾種特性1．函數(shù)的有界性(bounded)

:M=1-M=-1第32頁,共83頁，2024年2月25日，星期天有界的充分必要條件是既有上界又有下界。xyo第33頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例.第34頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

注有界的幾何意義如左下圖.有界無界:無界第35頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2．函數(shù)的單調(diào)性(monotonicity)

:xyo當時,恒有稱f(x)為I上的單調(diào)增函數(shù).設函數(shù)f(x)的定義域是D，且有區(qū)間若第36頁,共83頁，2024年2月25日，星期天xyo當時,恒有稱f(x)為I上的單調(diào)減函數(shù).設函數(shù)f(x)的定義域是D，且有區(qū)間若第37頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

注

2.

應指明單調(diào)區(qū)間,否則會產(chǎn)生錯誤,

例:解.>0>0?<0?第38頁,共83頁，2024年2月25日，星期天容易看出:不難驗證:第39頁,共83頁，2024年2月25日，星期天3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x第40頁,共83頁，2024年2月25日，星期天yxox-x奇函數(shù)第41頁,共83頁，2024年2月25日，星期天如xycos=在區(qū)間),(+￥-￥上是偶函數(shù)(如圖2.1)如3xy=在),(+￥-￥上是奇函數(shù)(如圖2.2)函數(shù)xxy2sin4+=在),(+￥-￥上是非奇非偶函數(shù)(如圖2.3)圖2.1圖2.2圖2.3第42頁,共83頁，2024年2月25日，星期天4．函數(shù)的周期性(periodicity)

:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.周期為第43頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)狄利克雷(德)1805-1859有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(當x是有理函數(shù)時)(當x是無理函數(shù)時)這是一個周期函數(shù),任何正有理數(shù)r都是它的周期.因為不存在最小的正有理數(shù),所以沒有最小正周期.第44頁,共83頁，2024年2月25日，星期天1.1.4函數(shù)的初等運算1.函數(shù)的四則運算

第45頁,共83頁，2024年2月25日，星期天第46頁,共83頁，2024年2月25日，星期天DWDW2.反函數(shù)(inversefunction)運算第47頁,共83頁，2024年2月25日，星期天注第48頁,共83頁，2024年2月25日，星期天習慣上,的反函數(shù)記成1.反函數(shù)的求法：先由y=f(x)解出根據(jù)習慣，f(x)的反函數(shù)記為第49頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.函數(shù)與反函數(shù)的圖形關于直線對稱.即即3.反函數(shù)與函數(shù)的關系第50頁,共83頁，2024年2月25日，星期天第51頁,共83頁，2024年2月25日，星期天3復合函數(shù)手電筒D復合函數(shù)

第52頁,共83頁，2024年2月25日，星期天復合函數(shù)也可以看作是產(chǎn)品的二次加工（多次加工）第53頁,共83頁，2024年2月25日，星期天xuy定義:設函數(shù)y=f(x)的定義域是而函數(shù)的值域為若則可確定y為x的函數(shù),稱為f與的復合函數(shù)，記為即第54頁,共83頁，2024年2月25日，星期天注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的;2.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構成；3.復合運算不滿足交換性,第55頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例2解第56頁,共83頁，2024年2月25日，星期天綜上所述第57頁,共83頁，2024年2月25日，星期天1)

冪函數(shù)(powerfunction)1.1.5基本初等函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函數(shù)（6類）：常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。

第58頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2)指數(shù)函數(shù)(exponentialfunction)定義域為值域為第59頁,共83頁，2024年2月25日，星期天3)對數(shù)函數(shù)(logarithmfunction)定義域為值域為第60頁,共83頁，2024年2月25日，星期天4)三角函數(shù)(trigonometricfunction)正弦函數(shù)定義域為值域為第61頁,共83頁，2024年2月25日，星期天余弦函數(shù)定義域為值域為第62頁,共83頁，2024年2月25日，星期天正切函數(shù)余切函數(shù)定義域值域定義域值域第63頁,共83頁，2024年2月25日，星期天5)反三角函數(shù)(inversetrigonometricfunction)定義域值域

主值反正弦函數(shù)第64頁,共83頁，2024年2月25日，星期天定義域值域

主值反余弦函數(shù)第65頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

主值定義域值域反正切函數(shù)反余切函數(shù)

主值定義域值域

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).第66頁,共83頁，2024年2月25日，星期天(2)初等函數(shù)(elementaryfunction)及其分解初等函數(shù).如都是初等函數(shù).不是初等函數(shù).

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算(加、減、乘、除)和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為第67頁,共83頁，2024年2月25日，星期天又如2321+=+xxey等都是初等函數(shù)。如?íì<3+=0,0,3)(2xxxxxf不是初等函數(shù)。2x=如：+xsin1xxxxy32logtan4cos1-+-+=,分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)注意：是初等函數(shù)。?íì<-3=0,0,xxxx而第68頁,共83頁，2024年2月25日，星期天雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù):奇函數(shù).偶函數(shù).1、雙曲函數(shù)第69頁,共83頁，2024年2月25日，星期天奇函數(shù),有界函數(shù),第70頁,共83頁，2024年2月25日，星期天雙曲函數(shù)常用公式第71頁,共83頁，2024年2月25日，星期天反雙曲函數(shù)奇函數(shù),第72頁,共83頁，2024年2月25日，星期天奇函數(shù),第73頁,共83頁，2024年2月25日，星期天第74頁,共83頁，2024年2月25日，星期天1.1.6函數(shù)關系的建立例1函數(shù)的列表表示：某公司一年中月銷售個統(tǒng)計月份1