專題02尺規(guī)作圖與最短路徑幾何中，用（無刻度）的直尺和圓規(guī)作圖為尺規(guī)作圖.一.五種基本作圖1.作一條線段等于已知線段2.作一個角等于已知角3.作已知角的平分線（理論依據(jù)：SSS）4.過一點(diǎn)（直線上或外）作已知直線的垂線5.作已知線段的垂直平分線二.尺規(guī)綜合作圖1.已知三邊作三角形2.已知兩邊及夾角作三角形3.已知兩角及夾邊作三角形三.最短路徑1.單動點(diǎn)（P為直線l上一動點(diǎn)，PA+PB最?。?.雙動點(diǎn)（B、C為直線OM，ON上的動點(diǎn)，△ABC周長最?。┢渲?，∠O=90°－∠BAC.△ABC周長為A’A’’的長.3.造橋選址【典例解析】【例1-1】（2020·慶云縣月考）某地有兩條相交叉的公路，計(jì)劃修建一個飯館：希望飯館點(diǎn)P既在MN這條公路上，又到直線OA、OB的距離相等．你能確定飯館應(yīng)該建在什么位置嗎？（保留作圖痕跡）【例1-2】（2019·舞鋼市月考）小安的一張地圖上有A，B，C3三個城市，地圖上的C城市被墨污染了（如圖），但知道∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，你能用尺規(guī)作圖幫他在下圖中確定C城市的具體位置嗎？（不作法，保留作圖痕跡）【變式1-1】（2020·麗水市蓮都區(qū)教研室期末）下列尺規(guī)作圖分別表示：①作一個角的平分線；②作一個角等于已知角；③作一條線段的垂直平分線．其中作法正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【變式1-2】（2019·河北南宮期末）下面是黑板上出示的尺規(guī)作圖題，需要回答橫線上符號代表的內(nèi)容：如圖，已知，求作：，使．作法：（1）以為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)、；（2）作射線，并以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧交于點(diǎn)；（3）以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點(diǎn)；（4）作，即為所求作的角．A．表示點(diǎn) B．表示C．表示 D．表示射線【變式1-3】（2020·山東青島期中）如圖，AB是某條河上的一座橋，現(xiàn)要在河的下游點(diǎn)C處再建一座與AB平行的橋CD，請用直尺和圓規(guī)畫出CD的方向．【變式1-4】（2020·廣州月考）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出的依據(jù)是（）A．S．S．S B．S．A．S C．A．S．A D．A．A．S【例2-1】（2020·曲阜月考）如圖，在△ABC中，∠C=90°，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心、適當(dāng)長為半徑作圓弧，分別交邊AC、AB于點(diǎn)M、N；②分別以點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心、大于MN的長為半徑作圓弧，在∠BAC內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P；③作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD=4，AB=15，則△ABD的面積是（）A．15 B．30 C．45 D．60【例2-2】（2020·廣東廣州月考）如圖，△ABC中，，AC=BC．（1）用直尺和圓規(guī)作的平分線交BC于點(diǎn)D（保留作圖痕跡）（2）過點(diǎn)D畫△ABD的邊AB上的高DE，交線段AB于點(diǎn)E，若△BDE的周長是5cm，求AB的長．【變式2-1】（2020·山東博山二模）已知∠AOB＝60°，以O(shè)為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA，OB于點(diǎn)M，N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN的長度為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)P，以O(shè)P為邊作∠POC＝15°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°【變式2-2】（2020·廣東）如圖，在銳角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm．（1）尺規(guī)作圖：作BC邊的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)D、E（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，連結(jié)BD，求△ABD的周長．【變式2-3】（2020·山東省陵城區(qū)月考）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于P，連接AP并延長交BC于點(diǎn)D，則∠ADB=________．【變式2-4】（2020·長春月考）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計(jì)算（）A． B． C． D．【例3】（2020·禹城市期末）如圖，等邊中，D為邊中點(diǎn)，是的延長線．按下列要求作圖并回答問題：（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（1）作的平分線；（2）作，且交于點(diǎn)E；（3）在（1），（2）的條件下，可判斷與的數(shù)量關(guān)系是__________；請說明理由．【變式3-1】（2020·福建學(xué)業(yè)考試）如圖，為一鈍角三角形，且（1）分別以，為底向外作等腰和等腰（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）已知為上一動點(diǎn)，通過尺規(guī)作圖的方式找出一點(diǎn)，連接，，使得并證明．【變式3-2】（2020·南京師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點(diǎn)和，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，則下列說法中：①是的平分線；②；③點(diǎn)在的垂直平分線上；④．其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【例4-1】（2020·長沙月考）在△ABC中，∠A=50°，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)O分別作AC，AB的垂線，垂足分別為M，N，點(diǎn)P為AM上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q為AN上一動點(diǎn)，連接OP，OQ，PQ，當(dāng)△OPQ的周長最小時，∠POQ的度數(shù)為______度．【例4-2】（2020·重慶期末）如圖，在中，，，，是的角平分線，點(diǎn)，點(diǎn)分別是，邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的最小值為___________．【變式4-1】（2020·江蘇無錫二模）如圖，一面鏡子斜固定在地面上，且點(diǎn)為距離地面為的一個光源，光線射出經(jīng)過鏡面處反射到地面點(diǎn)，當(dāng)光線經(jīng)過的路徑長最短為時，的長為___________．【變式4-2】（2020·宜興市月考）如圖，P為內(nèi)一定點(diǎn)，M，N分別是射線上的點(diǎn)，當(dāng)周長最小時，，則_________．【習(xí)題專練】1.（2020·南京月考）有三條兩兩相交的公路，要建一個加油站，使它到三條公路的距離相等，那么加油站可建的地點(diǎn)有_________________個．2.（2020·江陰市月考）在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，且頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，在內(nèi)部有、、、四個格點(diǎn)，到三個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)3.（2020·洛陽市二模）如圖，在ABC中，AB＝4，AC＝9，BC＝11，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，E，作直線DE，交BC于點(diǎn)M；分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P、Q，作直線PQ，交BC于點(diǎn)N；連接AM、AN．則MAN的周長為（）A．9 B．10 C．11 D．134.（2020·河南一模）如圖，在平行四邊形中，，，，分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)、，作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長為_______．5．（2020·宜興市月考）如圖，在△ABC中，AB＞AC．按以下步驟作圖：分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于BC一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N；作直線MN交AB于點(diǎn)D；連結(jié)CD．若AB=6，AC=4，則△ACD的周長為．6.（2020·商城縣第二中學(xué)月考）如圖，已知∠AOB（1）尺規(guī)作圖：作出∠AOB的角平分線OP，補(bǔ)充完整作圖步驟，（保留作圖痕跡）①____________________________分別交OA、OB于F，E兩點(diǎn)；②____________________________，兩條圓弧交于點(diǎn)P；③____________________________即為所求．（2）過點(diǎn)F作FD∥OB交OP于點(diǎn)D，F(xiàn)M⊥OD，垂足為M，求證：△FMO≌△FMD．7．（2019·廣東陽山期中）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．如圖，王師傅開車在一條公路上經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C處兩次拐彎后繼續(xù)前行，且前行方向和原來的方向AB相同．已知第一次的拐角為∠ABC，請借助圓規(guī)和直尺作出第二次拐彎后的拐角∠BCD．8．（2020·陜西清澗期末）如圖，直線與相交于點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，請用尺規(guī)求作一點(diǎn)，使直線，且點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）9．（2020·北京月考）下面是小星同學(xué)設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程：已知：如圖，直線l和直線l外一點(diǎn)A求作：直線AP，使得AP∥l作法：如圖①在直線l上任取一點(diǎn)B（AB與l不垂直），以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與直線l交于點(diǎn)C．②連接AC，AB，延長BA到點(diǎn)D；③作∠DAC的平分線AP．所以直線AP就是所求作的直線根據(jù)小星同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（填推理的依據(jù)）∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（填推理的依據(jù)）∴∠DAC＝2∠ABC∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP∴∠DAP＝∠ABC∴AP∥l（填推理的依據(jù)）10．（2020·遼寧昌圖期末）已知三角形的兩角及夾邊，求作這個三角形（保留痕跡，不寫作法）已知：，線段c，求作，使11．（2020·北京期末）尺規(guī)作圖之旅下面是一副純手繪的畫作，其中用到的主要工具就是直尺和圓規(guī)，在數(shù)學(xué)中，我們也能通過尺規(guī)作圖創(chuàng)造出許多帶有美感的圖形．尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，只允許使用圓規(guī)和直尺，來解決平面幾何作圖問題．（作圖原理）在兩年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里中，我們認(rèn)識了尺規(guī)作圖，并學(xué)會用尺規(guī)作圖完成一些作圖問題，請仔細(xì)思考回顧，判斷以下操作能否通過尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)，可以實(shí)現(xiàn)的畫√，不能實(shí)現(xiàn)的畫×．（1）過一點(diǎn)作一條直線．()（2）過兩點(diǎn)作一條直線．()（3）畫一條長為3㎝的線段．()（4）以一點(diǎn)為圓心，給定線段長為半徑作圓．()（回顧思考）還記得我們用尺規(guī)作圖完成的第一個問題嗎？那就是“作一條線段等于已知線段”，接著，我們學(xué)習(xí)了使用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，作角平分線，過直線外一點(diǎn)作垂線……而這些尺規(guī)作圖的背后都與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)原理密切相關(guān)，下面是用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法及說理，請補(bǔ)全過程．已知：∠AOB．求作：使作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）畫一條射線，以點(diǎn)為圓心，OC長為半徑畫弧，交于點(diǎn)；（3）以點(diǎn)為圓心，____________________；（4）過點(diǎn)畫射線，則．說理：由作法得已知：求證：證明：()所以()（小試牛刀）請按照上面的范例，完成尺規(guī)作圖并說理：過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線．已知：直線與直線外一點(diǎn)A．求作：過點(diǎn)A的直線，使得．（創(chuàng)新應(yīng)用）現(xiàn)實(shí)生活中許多圖案設(shè)計(jì)都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)原理，下面是一個常見商標(biāo)的設(shè)計(jì)示意圖．假設(shè)你擁有一家書店，請利用你手中的刻度尺和圓規(guī)，為你的書店設(shè)計(jì)一個圖案．要求保留作圖痕跡，并寫出你的設(shè)計(jì)意圖．12．（2020·山東安丘月考）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求，的值；（2）畫出，并求出它的面積；（3）畫出與關(guān)于軸成軸對稱的圖形，并寫出各個頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）在軸上找一點(diǎn)，使最小（不寫作法，保留作圖痕跡）13.（2020·宜興市月考）現(xiàn)有三個村莊A，B，C，位置如圖所示，線段AB，BC，AC分別是連通兩個村莊之間的公路．現(xiàn)要修一個水站P，使水站不僅到村莊A，C的距離相等，并且到公路AB，AC的距離也相等，請?jiān)趫D中作出水站P的位置．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．）

14.（2020·濱州渤海中學(xué)月考）尺規(guī)作圖：如圖，某地有兩個工廠M、N和兩條相交又的公路a，b現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩個工廠的距離相等，到兩條公路的距離也相等．你