異面直線所成的角1.(2024·山東濰坊檢測)已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝2，AC＝2，BC＝2eq\r(2)，PA＝3，D為PB的中點，則異面直線AD與PC所成角的余弦值為(D)A.eq\f(2\r(15),15) B．eq\f(5\r(3),12)C．eq\f(5,14) D．eq\f(9,13)[解析]如圖所示，由AB＝2，AC＝2，BC＝2eq\r(2)，則有AB2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC，解法一(平移法)：取BC的中點E，連接AE，DE，則DE∥PC，∠ADE或其補角即為異面直線AD與PC所成的角．E為BC的中點，則AE＝eq\r(2)，PA⊥平面ABC，Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(9＋4)＝eq\r(13)，∴DE＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(\r(13),2)，Rt△PAB中，PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(9＋4)＝eq\r(13)，∴DA＝eq\f(\r(13),2)，在△ADE中，根據(jù)余弦定理可得cos∠ADE＝eq\f(AD2＋DE2－AE2,2AD×DE)＝eq\f(\f(13,4)＋\f(13,4)－2,2×\f(13,4))＝eq\f(9,13).所以異面直線AD與PC所成角的余弦值為eq\f(9,13).故選D.解法二(向量法)：由PA⊥平面ABC可知PA⊥AB、PA⊥AC，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2,0,0)，C(0，2,0)，A(0,0,0)，P(0,0,3)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(3,2)))，從而eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(3,2)))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0,2，－3)，記AD與PC所成角為θ，則cosθ＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))||\o(PC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(9,2),\r(13)×\f(\r(13),2))＝eq\f(9,13).故選D.2.(2024·湖北部分學(xué)校聯(lián)考、黑龍江大慶質(zhì)檢)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1，D，E分別為AC，BC的中點，則異面直線C1D與B1E所成角的余弦值為(D)A.eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(10),10) D．eq\f(\r(30),10)[解析]解法一：設(shè)AB＝2，取A1B1的中點F，連接C1F，DF，則DF∥B1E，∠C1DF為異面直線C1D與B1E所成的角或補角．易求DF＝B1E＝eq\r(5)，C1F＝eq\r(5)，C1D＝eq\r(6)，所以cos∠C1DF＝eq\f(\f(1,2)C1D,DF)＝eq\f(\f(\r(6),2),\r(5))＝eq\f(\r(30),10).解法二：由題意知AB、BC、BB1兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝BC＝AA1＝2，則eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(－1,1,2)，eq\o(EB1,\s\up6(→))＝(0，－1,2)，記C1D與B1E所成角為θ，則cosθ＝eq\f(|\o(DC1,\s\up6(→))·\o(EB1,\s\up6(→))|,|\o(DC1,\s\up6(→))|·|\o(EB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,\r(6)×\r(5))＝eq\f(\r(30),10).故選D.3．若兩條異面直線a、b所成角為60°，則過空間一點O與兩異面直線a、b所成角都為60°的直線有3條．[解析]如圖，過O分別作a′∥a，b′∥b，則a′，b′所成角為60°，如圖易知過O與a′、b′所成角都為60°的直線有3條，即與a，b所成角都為60°的直線有3條．[引申]本例3中與異面直線a、b所成角都為75°的直線有4條．注：與異面直線所成角都為θ，則(1)0<θ<eq\f(π,6)時，0條；(2)θ＝eq\f(π,6)時，1條；(3)eq\f(π,6)<θ<eq\f(π,3)時，2條；(4)θ＝eq\f(π,3)時，3條；(5)eq\f(π,3)<θ<eq\f(π,2)時，4條；(6)θ＝eq\f(π,2)時，1條．名師點撥：求異面直線所成角的方法1．定義法定義法求異面直線所成角的步驟(1)找或作：在圖中找或平移異面直線中的一條或兩條構(gòu)造異面直線所成的角．(2)證：說明所作的角是異面直線所成的角．(3)算：尋找或作出含有此角的三角形并解之．(4)取舍：因為異面直線所成角θ的取值范圍是0°<θ≤90°，所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為異面直線所成的角．2．向量法向量法又分為坐標(biāo)法和基本向量法，利用公式|cosθ|＝eq\f(|m·n|,|m||n|)求出異面直線的方向向量的夾角．若向量夾角是銳角或直角，則該角即為異面直線所成角；若向量夾角是鈍角，則異面直線所成的角為該角的補角．【變式訓(xùn)練】1.(2022·重慶育才中學(xué)診斷)如圖所示，已知空間四邊形ABCD，AC與BD所成角為60°，且AC＝BD＝2，E、F分別為BC、AD的中點，則EF＝(C)A．1 B．eq\r(3)C．1或eq\r(3) D．2或eq\r(3)[解析]取CD的中點H，連接EH、HF，由題意知EH綉eq\f(1,2)BD＝1，HF綉eq\f(1,2)AC＝1，∴∠EHF為AC，BD所成的角或其補角．∴∠EHF＝60°或120°.當(dāng)∠EHF＝60°時，EF＝1；當(dāng)∠EHF＝120°時，EF＝eq\r(3).故選C.2．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，如圖所示，在直角圓錐P－ABC中，AB為底面圓的直徑，C為弧AB的中點，則異面直線PA與BC所成角的大小為(C)A.30° B．45°C．60° D．90°[解析]解法一：如圖，設(shè)底面的圓心為O，分別取AC，PC的中點D，E，連接PO，CO，OD，OE，DE，則DE綉eq\f(1,2)PA，OD綉eq\f(1,2)BC，所以∠EDO為異面直線PA與BC所成的角，因為△APB、△ABC、△POC，都是等腰直角三角形，∴PA＝PC＝BC，從而DE＝OE＝OD，所以△DOE是正三角形，故∠EDO＝60°，即異面直線PA與BC所成的角為60°.故選C.解法二：設(shè)AB的中點為O.由題意可知OC、OB、OP兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OC＝a，則eq\o(PA,\s\up6(→))＝(0，－a，－a)，eq\o(BC,\s\up6(→))