6電勢差與電場強度的關系必備知識·自主學習一、勻強電場中電勢差與電場強度的關系勻強電場中,把一電荷從A點移動到B點,如圖:(1)用電場強度E表示,靜電力做功是多少?(2)用電勢差UAB表示,靜電力做功是多少?(3)UAB與E之間有什么關系?提示:(1)用電場強度E表示:WAB=EqLcosα(2)用電勢差UAB表示:WAB=qUAB(3)由以上兩式可得:UAB=ELcosα1.關系式:UAB=Ed或E=QUOTE2.物理意義:勻強電場中兩點間的電勢差等于電場強度與這兩點沿電場方向的距離的乘積。3.適用條件:(1)勻強電場;(2)d是兩點沿電場方向的距離。二、從電勢差的角度理解電場強度1.E=QUOTE的意義:在勻強電場中,電場強度的大小等于兩點間的電勢差與兩點沿電場方向距離的比值。2.電場強度的另一種表述:電場強度在數(shù)值上等于沿電場方向每單位距離上降低的電勢。3.場強的另一個單位:由E=QUOTE可導出場強的另一個單位,即伏每米,符號為V/m。1V/m=1N/C。

(1)公式U=Ed適用于所有電場。 (×)(2)由U=Ed可知,勻強電場中兩點的電勢差與這兩點的距離成正比。 (×)(3)勻強電場的場強值等于沿電場線方向每單位長度上的電勢差值。 (√)(4)只有沿電場線方向,電勢才降低。 (×)(5)沿電場線方向電勢降低得最快。 (√)關鍵能力·合作學習知識點一電勢差與電場強度的關系物理量內(nèi)容電勢差UAB電場強度E定義式UAB=QUOTEE=QUOTE大小數(shù)值上等于單位正電荷從一點移到另一點時,電場力所做的功數(shù)值上等于單位正電荷受到的電場力方向標量、無方向矢量,規(guī)定正電荷在該點所受電場力的方向為電場強度的方向聯(lián)系(1)沿電場強度的方向是電勢降落最快的方向,但電勢降落的方向不一定是電場強度的方向(2)電場強度的大小等于沿勻強電場方向每單位長度上降落的電勢,即E=QUOTE提醒:注意電勢差雖是標量、無方向,但有正負之分。【典例1】如圖所示,在勻強電場中,電荷量q=5.0×10-10C的正電荷,由a點移到b點和由a點移到c點,靜電力做功都是QUOTE,已知a、b、c三點的連線QUOTE,QUOTE,sin37°=0.6,cos37°=0.8,求:(1)a、b兩點的電勢差Uab;(2)勻強電場的場強大小和方向?！緦忣}關鍵】序號信息提取①b、c兩點電勢相等②可計算出ac的長度③沿ac方向就是電場強度的方向【解析】(1)因為正電荷q從a到b和從a到c,靜電力做功相等,所以由W=qU可得Uab=Uac,b、c兩點在同一等勢面上,根據(jù)電場線與等勢面垂直,得到場強方向與ac平行,垂直指向bc。Uab=QUOTE=QUOTEV=60V。(2)由U=Ed可得E=QUOTE=QUOTE=QUOTEV/m=375V/m場強方向平行于ac,垂直指向bc邊且由a指向c。答案:(1)60V(2)375V/m垂直bc邊且由a指向c【典例2】如圖所示,實線為電場線,虛線為等勢面,φa=50V,φc=20V,則a、c連線中點b的電勢φb為 ()A.等于35V B.大于35VC.小于35V D.等于15V【解析】選C。從電場線疏密可以看出Ea>Eb>Ec,由公式UAB=Ed可得Uab>Ubc,所以φb<QUOTE=35V,C正確。應用U=Ed分析非勻強電場(1)對于非勻強電場,用公式E=QUOTE可以定性分析某些問題。例如等差等勢面在E越大處,d越小,因此可以斷定,等差等勢面越密的地方電場強度也越大。(2)示例:如圖所示,A、B、C是同一電場線上的三點,且QUOTE=QUOTE,由電場線的疏密程度可以看出EA<EB<EC,所以AB間的平均場強比BC間的小,即QUOTE<QUOTE,又因為UAB=QUOTE·QUOTE,UBC=QUOTE·QUOTE,所以UAB<UBC。1.下列關于勻強電場中場強和電勢差的關系,正確的說法是 ()A.在相同的距離上的兩點,電勢差大的其場強必定大B.任意兩點間的電勢差,等于場強大小和這兩點間距離的乘積C.電勢降低的方向,必是場強方向D.沿著電場線方向,相等距離上的電勢降落必相等【解析】選D。在相同距離上的兩點,電勢差大,場強不一定大。若兩點的連線在勻強電場中方向不一樣,電勢差大的其場強卻不變,故A錯誤;任意兩點的電勢差,等于場強和這兩點間沿電場線方向距離的乘積,故B錯誤;電勢降低最快的方向是電場強度的方向,電勢降低的方向不一定是場強方向,故C錯誤;勻強電場中場強和電勢差的關系式是U=Ed,沿電場線方向的距離d相同時,兩點間電勢差U相同,故D正確。故選D。2.如圖所示的勻強電場中,有a、b、c三點,ab=6m,bc=10m,其中ab沿電場方向,bc和電場線方向成60°角,電荷量為q=4×10-8C的正電荷從a移到b電場力做功為W1=1.2×10-5J,求:(1)勻強電場的場強E;(2)電荷從b移到c,電場力做的功W2;(3)a、c兩點間的電勢差Uac?！窘馕觥?1)設a、b兩點間距離為d,則:W1=qEd,解得:E=QUOTE=QUOTEV/m=50V/m(2)設b、c兩點沿場強方向距離為d1,則:d1=bc·cos60°=10×QUOTEm=5m所以:W2=qEd1=4×10-8×50×5J=1×10-5J(3)設電荷從a移到c電場力做功為W,則:W=W1+W2又:W=qUac聯(lián)立解得:Uac=550V答案:(1)50V/m(2)1×10-5J(3)550V【加固訓練】1.如圖所示,A、B是勻強電場中相距4cm的兩點,其連線與電場方向成60°角,兩點間的電勢差為200V,則電場強度大小為 ()A.8V/m B.50V/mC.5×103V/m D.1×104V/m【解析】選D。由電勢差和電場強度的關系U=Ed,得E=QUOTE=QUOTE=1×104V/m,D正確。2.如圖所示,三個同心圓是一個點電荷周圍的三個等勢面,已知這三個圓的半徑成等差數(shù)列。A、B、C分別是這三個等勢面上的點,且這三點在同一條電場線上。A、C兩點的電勢依次為φA=10V和φC=2V,則B點的電勢是 ()A.一定等于6V B.一定低于6VC.一定高于6V D.無法確定【解析】選B。從等勢面的疏密可以看出EA>EB>EC,又因為AB=BC,由公式UAB=Ed可以判斷UAB>UBC,所以φB<6V。知識點二等分法確定等勢點1.在勻強電場中,沿任意一個方向上,電勢下降都是均勻的,故在同一直線上相同間距的兩點間電勢差相等。如果把某兩點間的距離等分為n段,則每段兩端點的電勢差等于原電勢差的QUOTE倍,像這樣采用等分間距求電勢問題的方法,叫作等分法。2.在已知電場中幾點的電勢時,如果要求其他點的電勢,一般采用“等分法”在電場中找與待求點電勢相同的等勢點。等分法也常用在畫電場線的問題中。3.在勻強電場中,相互平行且相等的線段兩端點電勢差相等,用這一點可求解電勢。圖中為勻強電場中的幾個點,甲圖中AB=BC,乙圖中AB∥CD,且AB=CD。討論:(1)甲圖中φA、φB、φC間有什么關系?提示:φB=QUOTE。(2)乙圖中UAB、UCD有什么關系?UAC、UBD有什么關系?提示:UAB=UCD,UAC=UBD。【典例】如圖所示,在平面直角坐標系中,有方向平行于坐標平面的勻強電場,其中坐標原點O處的電勢為0,點A處的電勢為6V,點B處的電勢為3V,則電場強度的大小為 ()A.200V/mB.200QUOTEV/mC.100V/m D.100QUOTEV/m【解析】選A。x軸上OA的中點C的電勢為3V,則BC的連線為等勢線,如圖所示,電場的方向與等勢線垂直,且由電勢高處指向電勢低處。根據(jù)幾何圖形,O點到BC的距離為d=1.5cm,所以E=QUOTE=QUOTEV/m=200V/m,故選項A正確。1.如圖所示,勻強電場的方向平行于xOy坐標系平面,其中坐標原點O處的電勢為2V,a點的坐標為(0,4),電勢為8V,b點的坐標為(3,0),電勢為8V,則電場強度的大小為 ()A.250V/mB.200V/mC.150V/mD.120V/m【解析】選A。由題意可得a、b兩點的電勢相等,所以勻強電場的方向垂直于ab,過O點作ab的垂線相交ab于c點,由幾何關系得:tan∠b=QUOTE,得∠b=53°;Oc=Ob·sin∠b=0.03×sin53°=2.4×10-2mcO間的電勢差為:U=8V-2V=6V;則電場強度為:E=QUOTE=250V/m,故A正確。2.如圖所示,A、B、C、D、E、F為勻強電場中一個邊長為10cm的正六邊形的六個頂點,A、B、C三點電勢分別為1V、2V、3V,正六邊形所在平面與電場線平行。下列說法錯誤的是 ()A.通過CD和AF的直線應為電場中的兩條等勢線B.勻強電場的電場強度大小為10V/mC.勻強電場的電場強度方向為由C指向AD.將一個電子由E點移到D點,電子的電勢能將減少1.6×10-19J【解析】選B。連接AC,AC中點電勢為2V,與B點電勢相等,則EB連線必為一條等勢線,由正六邊形特征可知,CD∥EB,而勻強電場的等勢面平行,則CD直線是一條等勢線,同理AF直線也是一條等勢線,故A正確;BA間的電勢差為UBA=1V,又UBA=EdABcos30°得場強E=QUOTE=QUOTEV/m=QUOTEV/m,故B錯誤;由幾何知識可知,CA⊥EB,EB是等勢線,C點電勢高于A點電勢,則電場強度的方向由C指向A,故C正確;由上得知,E的電勢為2V,D點與C點的電勢相等為3V,則電子從E點移到D點,電場力做正功,而且為WED=qUED=q(φE-φD)=-1.6×10-19×(2-3)J=1.6×10-19J。電勢能將減少1.6×10-19J,故D正確。本題選擇錯誤的,故選B?！炯庸逃柧殹縿驈婋妶鲋械娜cA、B、C是一個三角形的三個頂點,AB的長度為1m,D為AB的中點,如圖所示。已知電場線的方向平行于△ABC所在平面,A、B、C三點的電勢分別為14V、6V和2V。設電場強度大小為E,一電荷量為1×10-6C的正電荷從D點移到C點電場力所做的功為W,則 ()A.W=8×10-6JE>8V/mB.W=6×10-6JE>6V/mC.W=8×10-6JE≤8V/mD.W=6×10-6JE≤6V/m【解析】選A。因電場是勻強電場,D是AB的中點,故D的電勢φD=QUOTE=10V。所以W=q(φD-φC)=8×10-6J。設E的方向與QUOTE的夾角為α,則α≠0,否則等勢面與AB垂直,C點電勢就會高于B點電勢。由E=QUOTE可知:QUOTE=QUOTE,因α>0,則cosα<1,E>8V/m,故A正確?！就卣估}】考查內(nèi)容:φ-x圖象的應用【典例】(多選)a、b是x軸上兩個點電荷,電荷量分別為q1和q2,沿x軸a、b之間各點對應的電勢高低如圖中曲線所示,a、p間距離大于p、b間距離。從圖中可以判斷以下說法正確的是 ()A.a和b均為負電荷且q1一定大于q2B.電勢最低的p點的電場強度為零C.將一負的檢驗電荷從b處移到p處,電荷電勢能增加D.a、p間的電場方向都指向a點【解析】選B、C。由于從a到b,電勢φ先減小再增加,所以a、b應均為正電荷;從b處φ-x圖象的斜率大于a處的φ-x圖象斜率,可確定Eb>Ea,即q2>q1,所以A錯誤;由φ-x圖象的斜率表示電場強度E知,B正確;由Ep=qφ,知C正確;a、p間的電場方向應都指向p點,D錯誤。情境·模型·素養(yǎng)如圖甲,勻強電場的電場強度為E,電場中沿電場線方向上兩點A和B距離為d,設A和B兩點間電勢差為UAB。探究:(1)一個點電荷q從A點移動到B點,請你用功的定義、電場力做功與電勢差的關系證明E=QUOTE。(2)某一帶正電的點電荷周圍的電場線如圖乙所示,其中一條電場線上的三點M、N、P,N是MP的中點。請你判斷M、N兩點間電勢差UMN與N、P兩點間電勢差UNP是否相等,并闡述你的理由?！窘馕觥?1)根據(jù)功的定義W=Fx可知:WAB=Fd=qEd根據(jù)電場力做功與電勢差的關系可得:WAB=qUAB聯(lián)立得:E=QUOTE(2)不相等。根據(jù)電場線的疏密程度可知M、N間的平均場強大于N、P間的平均場強,由U=Ed可知,M、N兩點間的電勢差大于N、P兩點間的電勢差。答案:(1)見解析(2)不相等,原因見解析如圖所示,MN板間存在勻強電場,場強E=300N/C,方向豎直向上。電場上A、B兩點相距10cm,AB連線與電場方向夾角θ=60°,A點和M板相距2cm。探究:(1)求AB兩點間的電勢差大小;(2)若M板接地(電勢為0),求A點電勢φA;(3)將q=+4×10-8C點電荷從A移到B,求電場力做的功?！窘馕觥?1)由題意可知AB兩點間的電勢差為:UAB=ELABcosθ=300×0.1×0.5V=15V(2)因為M板電勢為0,所以A點的電勢等于A點與M點的電勢差,故:φA=-UMA=-ELMA=-300×0.02V=-6V(3)電場力做功為:W=qUAB=4×10-8×15J=6×10-7J答案:(1)15V(2)-6V(3)6×10-7J課堂檢測·素養(yǎng)達標1.對關系式Uab=Ed的理解,正確的是 ()A.式中的d是a、b兩點間的距離B.a、b兩點間距離越大,電勢差越大C.d是a、b兩個等勢面的距離D.此式適用于任何電場【解析】選C。公式Uab=Ed只適用于勻強電場,其中d為沿場強方向上的距離或過a、b兩點的兩個等勢面間的距離,故C正確,A、B、D錯誤,故選C。2.如圖所示,a、b、c是一條電場線上的三點,電場線的方向由a到c,a、b間距離等于b、c間距離,用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分別表示a、b、c三點的電勢和場強,可以判定 ()A.φa>φb>φc B.Ea>Eb>EcC.φa-φb=φb-φc D.Ea=Eb=Ec【解析】選A。沿電場線方向電勢降低,可以比較電勢高低,根據(jù)電場線方向可知φa>φb>φc,故A正確;只有一條電場線,不能確定電場線的分布情況,無法比較場強的大小,故B、D錯誤;對于勻強電場,兩點間的電勢差U=Ed,由于電場線的疏密情況無法確定,兩點間的電勢差公式U=Ed也不能適用,不能判斷電勢差的關系,故C錯誤,故選A。3.(多選)在場強為E=1.0×102V/m的勻強電場中,有相距d=2.0×10-2m的a、b兩點,則a、b兩點間的電勢差可能為 ()A.1.0V B.2.0VC.3.0V D.4.0V【解析】選A、B。由U=Ed可知當d最大時,U最大,代入數(shù)值可得U最大值為2.0V;當a、b位于同一等勢面上時,Uab=0,則最小值為零,故A、B可能,C、D不可能?！炯庸逃柧殹咳鐖D所示是勻強電場中的一組等勢面,每兩個相鄰等勢面間的距離都是25cm,由此可確定電場強度的方向及大小為 ()A.豎直向下,E=0.4V/mB.水平向右,E=0.4V/mC.水平向左,E=40V/m D.水平向右,E=40V/m【解析】選D。電場線與等勢面垂直且沿電場線方向電勢降低,故場強方向水平向右,場強大小E=QUOTE=QUOTEV/m=40V/m,故D項正確。4.如圖所示,空間直角坐標系Oxyz處于一個勻強電場中,a、b、c三點分