1.4

命題、充分條件與必要條件-2-知識(shí)梳理雙基自測(cè)1.命題

真假

2.充分條件、必要條件與充要條件的概念

充分

必要

充分不必要

必要不充分

充要

既不充分也不必要

-3-知識(shí)梳理雙基自測(cè)3.常用結(jié)論從集合的角度理解充分條件與必要條件若p以集合A的形式出現(xiàn),q以集合B的形式出現(xiàn),即A={x|p(x)},B={x|q(x)},則關(guān)于充分條件、必要條件又可以敘述為:(1)若A?B,則p是q的充分條件;(2)若B?A,則p是q的必要條件;(3)若A=B,則p是q的充要條件;(4)若A?B,則p是q的充分不必要條件;(5)若B?A,則p是q的必要不充分條件;(6)若A?B,且B?A,則p是q的既不充分也不必要條件.2-4-知識(shí)梳理雙基自測(cè)34151.下列結(jié)論正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)“對(duì)頂角相等”是命題.(

)(2)“有兩個(gè)角是銳角的三角形是銳角三角形”是真命題.(

)(3)已知命題“若ac2>bc2,則a>b.”,它是假命題.(

)(4)若q是p的必要條件,則p是q的充分條件.(

)(5)“p是q的充分不必要條件”與“p的充分不必要條件是q”表達(dá)的意義相同.(

)√××√×-5-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234152.(2020天津,2)設(shè)a∈R,則“a>1”是“a2>a”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析:若a>1,則a2>a成立.若a2>a,則a>1或a<0.∴“a>1”是“a2>a”的充分不必要條件.故選A.-6-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234153.王安石在《游褒禪山記》中寫道“而世之奇?zhèn)?、瑰怪、非常之觀,常在于險(xiǎn)遠(yuǎn),而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,則“有志”是到達(dá)“奇?zhèn)?、瑰怪、非常之觀”的(

)A.充要條件B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件D.必要不充分條件D解析

非有志者不能至,是必要條件;但“有志”也不一定“能至”,不是充分條件.-7-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234154.設(shè)α,β為兩個(gè)平面,則α∥β的充要條件是(

)A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面B解析:由面面平行的判定定理知,“α內(nèi)有兩條相交直線與β平行”是“α∥β”的充分條件.由面面平行的性質(zhì)知,“α內(nèi)有兩條相交直線與β平行”是“α∥β”的必要條件,故選B.-8-知識(shí)梳理雙基自測(cè)234155.已知p:x>a是q:2<x<3的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(-∞,2]解析

由已知,可得{x|2<x<3}?{x|x>a},所以a≤2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,2].-9-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例1有下列四個(gè)命題:①若實(shí)數(shù)x,y互為倒數(shù),則xy=1;②面積相等的三角形全等;③若m≤1,則關(guān)于x的方程x2-2x+m=0有實(shí)數(shù)解;④若A∩B=B,則A?B.其中的真命題為

.(只填序號(hào))

思考如何判斷一個(gè)命題的真假?①③

-10-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析

①若實(shí)數(shù)x,y互為倒數(shù),則y=,即xy=1.所以該命題為真命題;②面積相等的三角形不一定全等.該命題是假命題;③若m≤1,則Δ=4-4m≥0,故關(guān)于x的方程x2-2x+m=0有實(shí)數(shù)解.所以該命題為真命題;④若A∩B=B,則B?A,故該命題為假命題.綜上,真命題為①③.解題心得判斷一個(gè)命題為真命題,要給出推理證明;說明一個(gè)命題是假命題,只需舉出反例.當(dāng)一個(gè)命題的真假直接判斷不易時(shí),可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假.-11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知l1,l2表示兩條直線,α表示平面.若有:①l1⊥l2;②l1⊥α;③l2?α,則在以其中兩個(gè)為條件,另一個(gè)為結(jié)論構(gòu)造的所有命題中,真命題的個(gè)數(shù)為(

)B解析:由題意得三個(gè)命題,即②③?①,①③?②和①②?③.由②③?①為真命題,①③?②為假命題,①②?③為假命題,故選B.-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例2設(shè)x∈R,則“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件思考充分條件、必要條件的判斷有哪幾種方法?B解析:由x2-5x<0,得0<x<5.由|x-1|<1,得0<x<2.故“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要不充分條件.解題心得判斷一個(gè)命題為真命題,要給出推理證明;說明一個(gè)命題是假命題,只需舉出反例.當(dāng)一個(gè)命題的真假直接判斷不易時(shí),可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假.-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè)x∈R,則“

”是“x3<1”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)設(shè)條件p:2x2-3x+1≤0,條件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

思考如何求與充分條件、必要條件有關(guān)的參數(shù)問題?如何證明一個(gè)論斷是另一個(gè)論斷的充分條件、必要條件?D-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析

(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(1,0),所以函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)y=2x-a(x≤0)沒有零點(diǎn)?函數(shù)y=2x(x≤0)的圖象與直線y=a無公共點(diǎn),當(dāng)a≤0或a>1時(shí),函數(shù)y=2x(x≤0)的圖象與直線y=a無公共點(diǎn),有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充要條件為a≤0或a>1.故選D.-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.與充分條件、必要條件有關(guān)的參數(shù)問題的求解方法:解決此類問題一般是根據(jù)條件把問題轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,并由此列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.2.充分條件、必要條件的證明方法:在解答題中證明一個(gè)論斷是另一個(gè)論斷的充分條件、必要條件時(shí),其基本方法是分“充分性”和“必要性”兩個(gè)方面進(jìn)行證明.-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3若“x>1”是“關(guān)于x的不等式2x>a-x成立”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.a>3 B.a<3

C.a>4

D.a<4A解析

若2x>a-x,則2x+x>a.設(shè)f(x)=2x+x,可知函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).根據(jù)題意知“關(guān)于x的不等式2x+x>a成立,即f(x)>a成立”能得到“x>1”,并且反之不成立.當(dāng)x>1時(shí),可知f(x)>3.故a>3.-19-思想方法——等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在充要條件中的應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想,體現(xiàn)了“把未知問題化歸到已有知識(shí)范圍內(nèi)可解”的求解策略,本節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,對(duì)于一個(gè)難以入手的命題,可以把命題轉(zhuǎn)化為易于解決的等價(jià)命題,每一個(gè)等價(jià)命題都能提供一個(gè)解題思路.因此熟悉并掌握命題的多種等價(jià)形式是等價(jià)轉(zhuǎn)化的前提,同時(shí)也是靈活解題的基礎(chǔ).-20-典例已知p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且q的充分不必要條件是