20232024高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)20232024高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)專題06二次函數(shù)與一元二次方程、不等式№考向解讀專題06二次函數(shù)與一元二次方程、不等式№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?題型突破?專題精練第二章一元二次函數(shù)、方程及不等式專題06二次函數(shù)與一元二次方程、不等式→?考點(diǎn)精析←1不等式關(guān)系與不等式①不等式的性質(zhì)(1)傳遞性：a>b,b>c?a>c；(2)加法法則：a>b?a+c>b+c,a>b,c>d?a+c>b+d；(3)乘法法則：a>b,c>0?ac>bc,a>b,c<0?ac<bc；(4)倒數(shù)法則：a>b,ab>0?1(5)乘方法則：a>b>0?a②比較a,b大小(1)作差法(a?b與0的比較)a?b>0→a>b;a?b=0→a=b;a?b<0→a<b(2)作商法(ab與1比較) 2一元二次不等式及其解法①二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系：(以下均以a>0為例)函數(shù)、方程、表達(dá)式?>0?=0?<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c一元二次方程ax有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根x(有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根x沒有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax{x|x<{x|x≠?R一元二次不等式ax{x|??②二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系，可充分利用二次函數(shù)圖像去理解；③求解一元二次不等式時(shí)，利用二次函數(shù)圖像思考，需要確定二次函數(shù)的開口方向，判別式，兩根的大小與不等式的解集有關(guān)，而對(duì)稱軸是不會(huì)影響解集的.3一元二次不等式的應(yīng)用(1)分式不等式的解法解分式不等式可等價(jià)為有理整式不等式(組)求解.由于ab>0與ab>0均意味a,b同號(hào)，故abab<0與ab<0均意味a,b異號(hào)，故ab可得①fxg(x)>0?fxg比如x?1x?2>0?x?1x?2>0;②fxg(x)<0?fx比如x?1x?2<0?(2)一元高次不等式的解法①一元高次不等式通常先進(jìn)行因式分解，化為x?x1x?x→?真題精講←1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．方法二：將集合中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．【詳解】方法一：因?yàn)?，而，所以．故選：C．方法二：因?yàn)?，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．→?題型突破←題型一不等式性質(zhì)的運(yùn)用1.實(shí)數(shù)a、b、c滿足a>b>c，則下列不等式正確的是()A．a(chǎn)+b>cB．1a?c<1【解析】∵a>b>c，∴A．a(chǎn)+b>c錯(cuò)誤，比如?4>?5>?6，得出?4+?5B．a(chǎn)?c>b?c>0，∴1a?c<C．a(chǎn)|c|>b|c|錯(cuò)誤，比如|c|=0時(shí)，a|c|=b|c|；D．∵ab2?a2∴ab2故選：B．【點(diǎn)撥】涉及不等式的選擇題，適當(dāng)利用“取特殊值排除法”會(huì)做得更快些.2.已知a>0，試比較a2+1a【解析】a2(i)當(dāng)a>1時(shí)，?2a<0，a2?1>0，則?2aa2?1(ii)當(dāng)0<a<1時(shí)，?2a<0,a2?1<0，則?2a綜上可得a>1時(shí)，a2+1a2?1【點(diǎn)撥】比較兩個(gè)式子的大小，可用做差法或做商法；一般冪的形式比較大小用作商法，比如比較aabb與aba+b23.已知c>1，a=c+1?cA．a(chǎn)<bB．a(chǎn)>bC．a(chǎn)=b D．a(chǎn)與b的大小不確定【解析】方法一特殊值法取特殊值，令c=2，則a=3?2易知a<b,排除B,C，還不能排除D，猜測(cè)選A.方法二做差法，分析法a?b=要比較a,b大小，只需要比較c+1+?比較c+1?比較?比較而顯然c2?1<c，故c+1+c?1方法三共軛根式法c+1?c?∵c>1，∴c+1>c－1>0?c+1∴1c+1+c<【點(diǎn)撥】①比較兩個(gè)式子的方法很多，選擇題可以考慮取特殊值排除法；②方法二中，遇到帶有根號(hào)的常常兩邊平方去掉根號(hào)再比較，此時(shí)注意兩個(gè)式子是否都是正數(shù)；在思考的過(guò)程中，不斷使用“等價(jià)轉(zhuǎn)化”把比較的兩個(gè)式子越化越簡(jiǎn)單，等價(jià)過(guò)程中注意嚴(yán)謹(jǐn)；③方法三中注意到(c若A=x+yAB=x?y，A題型二二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系4.如果關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為?1<x<2，則關(guān)于x的不等式b【解析】關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0∴?1、2是方程ax2+bx+c=0由韋達(dá)定理得?1+2=?b∴b=?a>0,c=?2a>0，∴不等式bx2?ax?c>0即(x?1)(x+2)>0，解得x<?2或x>1；則該不等式的解集為(?∞,?2)∪(1,+∞)．【點(diǎn)撥】通過(guò)二次函數(shù)的圖像理解，二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式三者之間的關(guān)系.5.解關(guān)于x的不等式：x?2【解析】x?2x+3等價(jià)變形為：x+8x+3≤0且x+3≠0；(注意分母解得?8≤x<?3.題型三求含參一元二次不等式角度1：按二次項(xiàng)的系數(shù)a的符號(hào)分類，即a>0,a6.解不等式a【解析】(不確定不等式對(duì)應(yīng)函數(shù)y=ax2+(a+2)x+1是否是二次函數(shù)，分a=0(1)當(dāng)a=0時(shí)，不等式為2x+1>0，解集為{x|x>?1(2)當(dāng)a≠0時(shí)，∵Δ(二次函數(shù)y=ax2+(a+2)x+1解得方程ax2+(a+2)x+1=0(二次函數(shù)的開口方向與不等式的解集有關(guān)，分a>0與a<0討論)(i)當(dāng)a>0時(shí)，解集為{x|x>?a?2+(ii)當(dāng)a<0時(shí),解集為{x|?a?2+a2綜上，當(dāng)a=0時(shí)，解集為{x|x>?1當(dāng)a>0時(shí)，解集為{x|x>?a?2+當(dāng)a<0時(shí),解集為{x|?a?2+a角度2：按判別式的符號(hào)分類7.解不等式x2【解析】∵Δ(此時(shí)不確定二次函數(shù)y=x2+ax+4∴①當(dāng)?4<a<4，即Δ<0時(shí)，解集為R②當(dāng)a=±4，即Δ=0時(shí)，解集為xx≠?③當(dāng)a>4或a<?4，即Δ>0時(shí)，此時(shí)兩根為x1=∴不等式的解集為{x|x>?a+a2綜上，當(dāng)?4<a<4時(shí)，解集為R；當(dāng)a=±4時(shí)，解集為xx≠?當(dāng)a>4或a<?4時(shí)，解集為{x|x>?a+a2角度3：按方程的根大小分類8.解不等式：x2【解析】原不等式可化為：x?ax?1令x?ax?1a(因式分解很關(guān)鍵，此時(shí)確定y=x?ax?1a與∴(i)當(dāng)x1=x2時(shí)，即(ii)當(dāng)x1<x2時(shí)，即a<1(iii)當(dāng)x1>x2時(shí)，即a>1綜上，當(dāng)a=±1時(shí)，解集為?；(ii)當(dāng)a<?1或0<a<1時(shí)，解集為{x|a<x<1(iii)當(dāng)?1<a<0或a>1時(shí)，解集為x1【點(diǎn)撥】①當(dāng)求解一元二次不等式時(shí)，它是否能夠因式分解，若可以就確定對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)與x軸有交點(diǎn)，就不需要考慮判別式.常見的形式有x2ax2+②在求解含參的一元二次不等式，需要嚴(yán)謹(jǐn)，多從二次函數(shù)的開口方向、判別式、兩根大小的比較三個(gè)角度進(jìn)行分類討論，利用圖像進(jìn)行分析.→?專題精練←1.若不等式2kx2+kx?38A．?3<k<0 B．?3≤k<0 C．?3≤k≤0 D．?3<k≤0【答案】D【解析】2kx2+kx?①k=0時(shí)，?3②k≠0時(shí)，k<0△=k綜上可得，?3<k≤0故選：D．2.若關(guān)于x的不等式x2?3ax+2>0的解集為(?∞,1)∪(m,+A．?1 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由題意知，1和m是方程x2則由根與系數(shù)的關(guān)系，得1+m=3a1×m=2，解得a=1所以a+m=3．故選：D．3.若不等式ax2+2x+c<0的解集是(?∞,?A．[?12,13] 【答案】C【解析】不等式ax2+2x+c<0的解集是(?∞，?∴?13和12由?13+12=?故不等式cx2?2x+a≤0即x2?x?6≤0，解得：所以所求不等式的解集是：[?2，3]，故選：C．4．關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）AB．C．D．【解析】當(dāng)時(shí)，，若，則原不等式可化為，顯然恒成立；若，則原不等式可化為，不恒成立，所以舍去；當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈慕饧癁椋灾恍枨?，解?綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：D.5.關(guān)于x的不等式x2?(a+1)x+a<0的解集中恰有1個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)A．(?1,0]∪[2,3) B．[?2,?1)∪(3,4]C．[?1,0)∪(2,3] D．(?2,?1)∪(3,4)【答案】C【解析】由x2?(a+1)x+a<0，得若a=1，則不等式無(wú)解．若a>1，則不等式的解為1<x<a，此時(shí)要使不等式的解集中恰有1個(gè)整數(shù)解，則此時(shí)1個(gè)整數(shù)解為x=2，則2<a≤3若a<1，則不等式的解為a<x<1，此時(shí)要使不等式的解集中恰有1個(gè)整數(shù)解，則此時(shí)1個(gè)整數(shù)解為x=0，則?1≤a<0．綜上，滿足條件的a的取值范圍是[?1，0)∪(2，3]．故選：C．6.已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】時(shí)，不等式可化為；當(dāng)時(shí)，不等式為，滿足題意；當(dāng)時(shí)，不等式化為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即；當(dāng)時(shí)，恒成立；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是答案選A7.已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}，α>0，則不等式c【答案】(1【解析】不等式ax2+bx+c>0則α，β是一元二次方程ax2+bx+c=0∴α+β=?ba，∴不等式cx2+bx+a>0∴αβx化為(αx?1)(βx?1)<0；又0<α<β，∴1∴不等式cx2+bx+a<0的解集為：{x故選：A．8.不等式的解集為______________.【解析】不等式等價(jià)于，解得.故答案為：.9.不等式的解集為________【解析】如下圖所示：根據(jù)圖象可知：當(dāng)或或時(shí)，，所以不等式的解集為：，故答案為：.10.不等式的解集為（）A．或 B．或C．或 D．或【解析】等價(jià)于，根據(jù)穿根法可得或.故選：B.【例4】（2020·北京八中月考）解關(guān)于的不等式(為任意實(shí)數(shù))：【解析】當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，即，.當(dāng)時(shí)，，則原不等式的解集為當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，有，則原不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，則原不等式的解集為或當(dāng)，即時(shí)，則原不等式的解集為.或11.解關(guān)于x不等式.【解析】不等式化為，即當(dāng)時(shí)，不等式為，解得，當(dāng)時(shí)，，解得不等式為或，當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，解得不等式為，若，即時(shí)，不等式無(wú)解，若，即時(shí)，解得不等式為，綜上，時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式無(wú)解；時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式的解集為.12．解不等式：.【解析】①當(dāng)時(shí)，不等式為，解集為，②當(dāng)時(shí)，，恒有兩個(gè)實(shí)根，，當(dāng)時(shí)，，解集為或；當(dāng)時(shí)，，解集為，綜上所述：時(shí)，解集為；時(shí)，解集為或；時(shí)，解集為.13.解關(guān)于x的不等式x【答案】a>1時(shí)，不等式的解集是Ra=1時(shí)，不等式的解集是{x|x≠?1}，a<1時(shí)，不等式的解集是{x|x>?1+1?a【解析】方程x2+2x+a=0中①當(dāng)1?a<0即a>1時(shí)，不等式的解集是R②當(dāng)1?a=0，即a=1時(shí)，不等式的解集是{x|x≠?1}，③當(dāng)1?a>0即a<1由x2+2x+a=0解得：∴a<1時(shí)，不等式的解集是{x|x>?1+1?a綜上，a>1時(shí)，不等式的解集是Ra=1時(shí)，不等式的解集是{x|x≠?1}，a<1時(shí)，不等式的解集是{x|x>?1+1?a14.解關(guān)于x的不等式：2x【答案】a>4或a<?4時(shí)，不等式的解集為{x|x<a=±4時(shí)，不等式的解集為{x|x≠?a?4<a<4時(shí)，不等式的解集為R．【解析】關(guān)于x的不等式：2x△=a當(dāng)a>4或a<?4時(shí)，△>0對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x=?a?a2且?a?a∴不等式的解集為{x|x<?a?a2當(dāng)a=±4時(shí)，△=0，對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x=?a∴不等式的解集為{x|x≠?a當(dāng)?4<a<4時(shí)，△<0，∴不等式的解集為R；綜上，a>4或a<?4時(shí)，不等式的解集為{x|x<a=±4時(shí)，不等式的解集為{x|x≠?a4}；?4<a<4時(shí)，不等式的解集為16.若a∈R，解關(guān)于x的不等式a【答案】當(dāng)a<0時(shí)，解集是(?1,?1a)；當(dāng)a=0當(dāng)0<a≤1時(shí)，解集是(?∞,?1a)∪(?1,+∞)；當(dāng)a>1時(shí)，解集是【解析】當(dāng)a=0時(shí)，x>?1．當(dāng)a≠0時(shí)，a(x+1當(dāng)a<0時(shí)，(x+1a)(x+1)<0當(dāng)a>0時(shí)，(x+1當(dāng)a=1時(shí)，x≠?1．當(dāng)0<a<1時(shí)，x<?1a，或當(dāng)a>1時(shí)，x<?1，或x>?1∴當(dāng)a<0時(shí)，解集是(?1，?1當(dāng)a=0時(shí)，解集是(?1，+∞)；當(dāng)0<a≤1時(shí)，解集是(?∞，?1當(dāng)a>1時(shí)，解集是(?∞，?1)∪(?117.關(guān)于x的不等式ax?12<x2恰有【答案】(?32,?43【解析】不等式ax?12<x2即ax?12∴(a+1)(a?1)