§4一元二次函數(shù)與一元二次不等式§4.1一元二次函數(shù)【學(xué)習(xí)主題】新授課【課時(shí)安排】1課時(shí)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解二次函數(shù)a，b，c，h，k對其圖像的影響；2.通過體驗(yàn)對二次函數(shù)圖像的研究方法，能遷移到其他函數(shù)圖像的研究；3.培養(yǎng)對參數(shù)進(jìn)行討論的能力，體會數(shù)形結(jié)合思想的作用?！緦W(xué)習(xí)重難點(diǎn)】1.學(xué)習(xí)重點(diǎn)（1）掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．(重點(diǎn))（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．(重點(diǎn))（3）二次函數(shù)的性質(zhì)的基本應(yīng)用．(重點(diǎn)).2.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：二次函數(shù)中a、b、c、的取值對二次函數(shù)圖像的影響．(難點(diǎn))【學(xué)情分析】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想的載體，通過本節(jié)知識的學(xué)習(xí)，使數(shù)與式，方程與不等式的知識進(jìn)一步完善，對培養(yǎng)和提高學(xué)生用函數(shù)模型來解決實(shí)際問題，逐步提高分析問題，解決問題的能力有著一定的作用，為高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)?！緦W(xué)法建議】（1）認(rèn)識二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，一般式。（2）認(rèn)真思考，用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程。（3）實(shí)際當(dāng)中二次函數(shù)的應(yīng)用（4）要注意運(yùn)用抽象的集合語言表達(dá)和交流問題，替身數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).【學(xué)習(xí)過程】課前預(yù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)問題問題1：什么是二次函數(shù)？問題2：二次函數(shù)的表現(xiàn)形式有幾種？問題3：怎樣求二次函數(shù)解析式？問題4：二次函數(shù)圖像的平移？問題5：二次函數(shù)有哪些性質(zhì)？2.基礎(chǔ)知識自測1．一元二次函數(shù)的概念閱讀教材，完成下列問題．（1）形如_______的函數(shù)叫做二次函數(shù)。（2）一元二次函數(shù)y=ax2(a0)的圖像可由y=x2的圖像各點(diǎn)的______________坐標(biāo)變?yōu)開______得到。（3）一元二次函數(shù)y=a(xh)2+k(a0)，a決定了一元二次函數(shù)圖像的___________，h決定了二次函數(shù)圖像的___________，而且“h正______平移，h負(fù)_________平移”；k決定了二次函數(shù)圖像的___________，而且“k正___________平移，k負(fù)__________平移”2．一元二次函數(shù)解析式常見的三種形式：（1）一般式：（2）頂點(diǎn)式：（3）兩根式：（有的二次函數(shù)未必有）3.一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有如下性質(zhì)：(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)是()。(2)對稱軸是()(3)開口方向：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口()；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口()。(4)最值：如果a＞0，函數(shù)有()，當(dāng)x＝－時(shí)，（）；如果a＜0，函數(shù)有()，當(dāng)x＝－時(shí)，（）。(5)增減性(函數(shù)值y隨自變量x的變化規(guī)律)：①a＞0時(shí)，當(dāng)x＜－(在對稱軸左側(cè))，y隨x的增大而()；當(dāng)x＞－(在對稱軸右側(cè))，y隨x的增大而()。②a＜0時(shí)，當(dāng)x＜－(在對稱軸左側(cè))，y隨x的增大而()，當(dāng)x＞－(在對稱軸右側(cè))，y隨x的增大而()。(1)y=ax2+bx+c(a≠0)R；(2)縱坐標(biāo)，原來的a倍；（3）開口方向，左右平移，向左，向右，上下平移，向上，向下2.（1）y=ax2+bx+c(a≠0)（2）y=a(x+h)2+k(a0)（3）y=a(xx1)(xx2)(a0)3.（1）（－，）（2）x=－（3）向上，向下（4）最小，，最大，（5）減小，增大；增大，減小【預(yù)習(xí)自測】1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)一元二次函數(shù)y＝2＋1的圖象可由一元二次函數(shù)y＝2的圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度得到．()(2)對于一元二次函數(shù)(a≠0)來說，當(dāng)x≥－eq\f(b,2a)時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大．()(3)一元二次函數(shù)(a≠0)在x＝－eq\f(b,2a)處取得最大值．()(4)一元二次函數(shù)y＝2與y＝－2的圖象開口大小相同，開口方向相反．()2.已知一元二次函數(shù)．（1）拋物線的開口向、對稱軸為直線、頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最值，是；（3）當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；（4）該函數(shù)圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的平移得到的？【詳解】解：由二次函數(shù)可得（1）拋物線的開口方向向下，對稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，9)．（2）當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y有最大值，是9．（3）當(dāng)x＜2時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞2時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而減?。?）函數(shù)的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向上平移9個(gè)單位即可得到．故答案為下；；大；；；向左個(gè)，向上平移個(gè)單位．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象的平移．掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式對應(yīng)的開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．二．課中學(xué)習(xí):合作探究【學(xué)習(xí)任務(wù)1】一元二次函數(shù)解析式的求解（用三種方法解決）已知一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像與x軸相交于點(diǎn)A(－3,0)，對稱軸為x＝－1，頂點(diǎn)M到x軸的距離為2，求此函數(shù)的解析式．解方法一(一般式求法)代入A(－3,0)，有9a－3b＋c＝0，①由對稱軸為x＝－1，得－eq\f(b,2a)＝－1，②頂點(diǎn)M到x軸的距離為|a－b＋c－0|＝2，③聯(lián)立①②③解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝1，,c＝－\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝－1，,c＝\f(3,2)，))所以此函數(shù)的解析式為y＝eq\f(1,2)＋x－eq\f(3,2)或y＝－eq\f(1,2)－x＋eq\f(3,2).方法二(頂點(diǎn)式求法)因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像的對稱軸是x＝－1，又頂點(diǎn)M到x軸的距離為2，所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1,2)或(－1，－2)，故可得二次函數(shù)的解析式為y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2.因?yàn)閳D像過點(diǎn)A(－3,0)，所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,2).故所求二次函數(shù)的解析式為y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋2＝－eq\f(1,2)－x＋eq\f(3,2)或y＝eq\f(1,2)(x＋1)2－2＝eq\f(1,2)＋x－eq\f(3,2).方法三(兩根式求法)因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像的對稱軸為x＝－1，又圖像過點(diǎn)A(－3,0)，所以點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A′(1,0)也在圖像上，所以可得二次函數(shù)的解析式為y＝a(x＋3)(x－1)．由題意得頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,2)或(－1，－2)，分別代入上式，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,2).故所求二次函數(shù)的解析式為y＝－eq\f(1,2)(x＋3)(x－1)＝－eq\f(1,2)－x＋eq\f(3,2)或y＝eq\f(1,2)(x＋3)(x－1)＝eq\f(1,2)＋x－eq\f(3,2).【課堂評價(jià)1】求下列一元二次函數(shù)解析式：①已知某二次函數(shù)的圖象過三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式。②已知拋物線的頂點(diǎn)是A，若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A點(diǎn)，且與x軸交于B（0,0），C（3,0）兩點(diǎn)。③已知拋物線的頂點(diǎn)是A（1,4）且經(jīng)過點(diǎn)（1,2）?！菊n堂展示】由學(xué)生快問快答學(xué)生反思總結(jié)：一元二次函數(shù)解析式的步驟：【學(xué)習(xí)任務(wù)2】一元二次函數(shù)的圖像問題y＝x2的圖像如何得到y(tǒng)＝－x2＋2x＋3的圖像．解f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x)＋3＝－(x2－2x＋1－1)＋3＝－(x－1)2＋4，∴由y＝－x2的圖象與y＝x2的圖像關(guān)于x軸對稱，可得y＝－x2的圖像．由y＝－x2的圖像向右平移1個(gè)單位長度，向上平移4個(gè)單位長度，可得y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3的圖像．變式1，將一元二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度，得到一元二次函數(shù)y＝x2－2x＋1的圖像，則b＝______，c＝______.解析f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，其圖像頂點(diǎn)為(1,0)．將二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1的圖像向下平移3個(gè)單位長度，再向右平移2個(gè)單位長度后的圖像的頂點(diǎn)為(3，－3)，得到的拋物線為y＝(x－3)2－3，即f(x)＝x2＋bx＋c，∴(x－3)2－3＝x2＋bx＋c，即x2－6x＋6＝x2＋bx＋c，∴b＝－6，c＝6.【課堂評價(jià)1】、（1）求將一元二次函數(shù)的圖像向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到新的函數(shù)解析式。解：向右平移2個(gè)單位長度得到再向下平移3個(gè)單位長度得化為一般式為若是向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位呢？解：可化為向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位可化為【課堂展示】由學(xué)生快問快答【課堂展示】由學(xué)生快問快答反思與感悟處理一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像問題，主要是考慮其圖像特征如開口、頂點(diǎn)、與x軸交點(diǎn)、與y軸交點(diǎn)、對稱軸等與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系．在圖像變換中，記住“h正左移，h負(fù)右移，k正上移，k負(fù)下移”．【學(xué)習(xí)任務(wù)3】一元二次函數(shù)最值問題例1、求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大（?。┲导皔隨x的變化情況，并畫出其圖象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6x－x2．【課堂評價(jià)1】.對于一元二次函數(shù)，分別在下列自變量取值范圍內(nèi)，求出函數(shù)的最大值、最小值?！菊n堂展示】由學(xué)生快問快答反思與感悟數(shù)形結(jié)合思想三、課后評價(jià)，解決問題（1）本節(jié)對應(yīng)的鞏固訓(xùn)練（明天課代表收齊后上交）.【學(xué)后反思】1.你喜歡這節(jié)課嗎?課堂上你認(rèn)真思考了嗎？2.在課堂上你積極嗎?3.在這節(jié)課上你的學(xué)習(xí)目標(biāo)完成了嗎?4.你對本堂課重難點(diǎn)掌握了嗎?5.在本節(jié)課上你掌握了哪些知識點(diǎn)和題型？A組y=x2+bx+c圖像的頂點(diǎn)是(1,3),則b與c的值是()A.b=2,c=2 B.b=2,c=2C.b=2,c=2 D.b=2,c=2答案B2．一元二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)與g(x)＝bx2＋ax＋c(b≠0)的圖像可能是下圖中的()解析由于f(x)，g(x)的圖像的對稱軸方程分別是x＝－eq\f(b,2a)，x＝－eq\f(a,2b)，則－eq\f(b,2a)與－eq\f(a,2b)同號，即f(x)，g(x)的圖像的對稱軸位于y軸的同一側(cè)，由此排除A，B；由C，D中給出的圖像，可判定f(x)，g(x)的圖像的開口方向相反，故ab<0，于是－eq\f(b,2a)>0，－eq\f(a,2b)>0，即f(x)，g(x)的圖像的對稱軸都位于y軸右側(cè)，排除C，故選D.3.下列函數(shù)圖象中，頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的是（D）（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2（C）y＝2x2－1（D）y＝2x2－4xy＝2(x－1)2＋2是將函數(shù)y＝2x2（D）（A）向左平移1個(gè)單位、再向上平移2個(gè)單位得到的（B）向右平移2個(gè)單位、再向上平移1個(gè)單位得到的（C）向下平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的（D）向上平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的y=x2,y=x2,y=2x2的圖像大致如右圖所示,則圖中從里向外的三條拋物線對應(yīng)的函數(shù)依次是.

解析:根據(jù)“二次項(xiàng)的系數(shù)的絕對值越大,拋物線開口越小,拋物線就越接近y軸;二次項(xiàng)系數(shù)的絕對值越小,拋物線的開口就越大,拋物線就越遠(yuǎn)離y軸”這一規(guī)律來判定,易知對應(yīng)的函數(shù)由里向外依次是y=2x2,y=x2,y=x2.答案:y=2x2,y=x2,y=x26.（1）一元二次函數(shù)y＝2x2－mx＋n圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2)，則m＝4，n＝0．已知一元二次函數(shù)y＝x2+(m－2)x－2m，當(dāng)m＝2時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m＝2時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m＝0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)．一元函數(shù)y＝－3(x＋2)2＋5的圖象的開口向下，對稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5)；當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)取最大值y＝5；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減?。?、根據(jù)下列條件，求一元二次函數(shù)的解析式。(1)、圖象經(jīng)過(0，0)，(1，2)，(2，3)三點(diǎn)；(2)、圖象的頂點(diǎn)(2，3)，且經(jīng)過點(diǎn)(3，1)；9、已知一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值是2，圖象頂點(diǎn)在直線y=x+1上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，6），求a、b、c。B組1．若拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B．C．且 D．且1．C【解析】【分析】先根據(jù)是拋物線得，再根據(jù)其函數(shù)圖像與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得，即，兩者綜合即可得答案.【詳解】∵二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴∴解得，∵拋物線為二次函數(shù)，∴，則的取值范圍為且.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的零點(diǎn)問題，是基礎(chǔ)題.2．一元二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)在原點(diǎn)的必要不充分條件是（）A． B． C． D．2．D【解析】【分析】一元二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)在原點(diǎn)的充要條件為再利用定義法解決.【詳解】若一元二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則，且，所以頂點(diǎn)在原點(diǎn)的充要條件是故A是充要條件，B、C既不充分也不必要，D是必要條件，非充分條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的應(yīng)用，解決此類問題，通常有定義法、等價(jià)法、集合間的包含關(guān)系來判斷，本題是一道基礎(chǔ)題.3．若一元二次函數(shù)的圖像不經(jīng)過原點(diǎn)，則“”是“此函數(shù)圖像的對稱軸為y軸”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件3．C【解析】【分析】首先由已知條件判斷，再判斷是否為充要條件.【詳解】由題意可知若，則，此時(shí)，滿足，是偶函數(shù)，反過來，當(dāng)函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，對稱軸是軸，所以，即所以“”是“此函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的判斷，意在考查二次函數(shù)的系數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.4．已知一元二次函數(shù)的圖象如圖所示，則（） B． C． D．4．D【解析】【分析】先根據(jù)的圖象判斷的正負(fù)，再根據(jù)即可判斷與與的大小關(guān)系．【詳解】由題圖知，，所以，所以，即．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查考生的識圖能力，分析問題、解決問題的能力．5．函數(shù)在上的最小值和最大值分別為（）.A．12，5 B．12，4 C．12，4 D．14，65．B【解析】【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的對稱軸為，開口朝下，判斷對稱軸內(nèi)．【詳解】解：函數(shù)的對稱軸為，開口朝下對稱軸內(nèi)，在處取得最大值為，在處取得最小值為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖形特征，屬于基礎(chǔ)題．6．一元二次函數(shù)的頂點(diǎn)在軸上，則的值為_____________；6．或【解析】【分析】由二次函數(shù)的頂點(diǎn)在軸上可得出，列出關(guān)于的方程，可解出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于二次函數(shù)的頂點(diǎn)在軸上，則該二次函數(shù)的圖象與軸相切，所以，，整理得，解得或，故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象與軸相切，可簡化計(jì)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，屬于中等題.7．將一元二次函數(shù)向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到的二次函數(shù)一般式為_______________.【解析】【分析】先將二次函數(shù)的解析式表示為頂點(diǎn)式，結(jié)合圖象變換規(guī)律得出變換后的函數(shù)解析式，再化為一般形式即可.【詳解】將二次函數(shù)的解析式為，將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得，再向上平移個(gè)單位得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象變換后解析式的計(jì)算，解題時(shí)要結(jié)合每一步變換寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8．已知一元二次函數(shù)滿足x=2時(shí)y=1,x=1時(shí)，y=1，且函數(shù)的最大值是8，求一元二次函數(shù)的解析式．【解析】【分析】設(shè)