9解析幾何

命題趨勢

本部分考查點(diǎn)主要有：

(1)直線間的位置關(guān)系、點(diǎn)到線和線到線的距離、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系，主要以選擇題、

填空題的形式出現(xiàn)，選做題當(dāng)中也會出現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系考查；

(2)橢圓、拋物線、雙曲線的方程與性質(zhì)的考查，直線與橢圓、拋物線、雙曲線位置關(guān)系的考查.

.?考點(diǎn)清單

1.直線方程與圓的方程

(1)直線方程的五種形式

名稱方程形式適用條件

點(diǎn)斜式

y-y0=似刀一久0)

不能表示斜率不存在的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b

兩點(diǎn)式不能表示平行于坐標(biāo)軸的直線

%—%%—不

不能表示平行于坐標(biāo)軸的直線

截距式-=1

ab和過原點(diǎn)的直線

AxBy+C=0（4,B

一般式可以表示所有類型的直線

不同時為零）

(2)兩條直線平行與垂直的判定

①兩條直線平行：

對于兩條不重合的直線小12,若其斜率分別為七，k2,則有/[〃乙=匕=左2；

當(dāng)直線4,不重合且斜率都不存在時，

②兩條直線垂直：

如果兩條直線人,%的斜率存在，設(shè)為心，的，則有41%0自,卜2=-1；

當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為。時，.

(3)兩條直線的交點(diǎn)的求法

直線k:A-^x+B-^y+C]=0,I242久+B2y+C2=0,

則人與"的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組A:x+5',y+2C,=八0的解.

A,x+B2y+C2=0

(4)三種距離公式

①BQ1，為)，P2(X2,%)兩點(diǎn)之間的距離：仍止2I=[(久2—*1)2+(光一丘1)2.

②點(diǎn)PoOo，%)到直線/：Ax+By+C=0的距離：d=\?+為0+。|

yJA^+B2

|C.-C2|

③平行線a*+By+G=0與4久+By+C2=0間距離：d=「21

VA2+B2

(5)圓的定義及方程

定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)

標(biāo)準(zhǔn)方程(%—a)2+(y—以=r2(r>0)圓心：(a,b),半徑：r

圓心:

x2+y2+Dx+Ey+F=0,

一般方程

(。2+E2-4F>0)

半徑：-\ID2+E2-4F

2

(6)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)“Oo，M))與圓(％-a)2+(y-b)2="的位置關(guān)系:

①若MQo，Vo)在圓外，貝IJOo—a)2+(yo-b)2>產(chǎn).

22

②若MQo,()在圓上,則(孫-a/+(y0-b)=r.

③若MQo，yo)在圓內(nèi),貝IJOo—a)2+(y。-b)2<產(chǎn).

2.直線、圓的位置關(guān)系

(1)直線與圓的位置關(guān)系(半徑為人圓心到直線的距離為砌

相離相切相交

圖形I

量方程觀點(diǎn)J<0J=0J>0

化幾何觀點(diǎn)d>rd=rd<r

（2）圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)兩圓的圓心距為d,兩圓的半徑分別為R,r（R>r）,則

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

公共點(diǎn)個數(shù)01210

d,R,r的關(guān)R-r<d

d>R+rd=R+rd=R-rd<R—r

系<R+r

公切線條數(shù)43210

3.圓錐曲線及其性質(zhì)

（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)在無軸上焦點(diǎn)在y軸上

X2V222

標(biāo)準(zhǔn)方程%+*3>0)

A2

圖形上

焦點(diǎn)坐標(biāo)6(—c,0),&(c,0)6（0，—C），尸2（0,C）

A（0,-Q）,4（。，口），

A(—。,0),i42(a,0),Bx(0,—b)

頂點(diǎn)坐標(biāo)

殳(0,b)4（-瓦0）,/（do）

長軸長軸為4=2a,a是長半軸的長

短軸短軸B/2=2b,6是短半軸的長

焦距焦距F/2=2C,c是半焦距

范圍|x|<a,\y\<b\x\<b,\y\<a

C1~~V

e=~=Jl--7（0<^<l）,e越接近1,橢圓越扁；e越接近0,橢圓越

離心率a\a

圓

（2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程~2------—1(6Z>0,Z?>0)------Y—1(。>0,/?>0)

abab

圖形

一般方程mx2+ny2=l(mn<0)

范圍|x|>a,yGR|y|>a,xER

焦點(diǎn)Fi(—c,0),F2(C,0)&(0,-c),F2(0,C)

頂點(diǎn)A1(一a,0),42(a,0)&(0,-a),X2(0,a)

對稱性關(guān)于%軸、y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱

幾

線段&4叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長=2a；線段B/2

何

實(shí)、虛軸長叫做雙曲線的虛軸，它的長|8/2|=2b（a叫做雙曲線的實(shí)半

性

軸長，6叫做雙曲線的虛半軸長）

質(zhì)

焦距焦距1尸抵1=2。，c是半焦距

c卜~

離心率e~=\1+二(e>l)

a\a

,a

漸近線方程y=+-xy=±—x

ab

（3）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)

y2=2pxy2=—2pxx2=2pyx2=—2py

方程標(biāo)準(zhǔn)(P>0)(p>o)(P>。)(p>o)

P的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線2的距離

J

圖形一

\OkFX7T\

頂點(diǎn)0(0,0)

對稱軸y=軸）X=0(y軸)

小,T

焦點(diǎn)F《-別

離心率e=1

_ppp

準(zhǔn)線方程x=-Pxy=——y二-

2222

范圍%>0,yGRx<0,y6Ry>0,xGRy<0,xER

焦半徑（其中

W=-^o+f

\PF\=y0+j\PF\=-y0+j

p（久o，Vo）

4.圓錐曲線的綜合問題

（1）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

判斷直線/與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線的勺方程A￡+By+C=O（4,B不同時為0）代入圓錐曲線C

的方程尸。，y）=0,消去y（也可以消去x）得到一個關(guān)于變量久（或變量y）的一元方程.

即聯(lián)立［Ax…+By+C=。=0

消去y,得a/+bx+c=0.

①當(dāng)aK0時，設(shè)一元二次方程a/+bx+c=。的判別式為/,

則4>0Q直線與圓錐曲線C相交；

4=0Q直線與圓錐曲線C相切；

/<0。直線與圓錐曲線C相離.

②當(dāng)a=0,6力。時，即得到一個一次方程，則直線I與圓錐曲線C相交，且只有一個交點(diǎn)，此時,

若C為雙曲線，則直線/與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；

若C為拋物線，則直線/與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合.

（2）圓錐曲線的弦長

設(shè)斜率為k（k力0）的直線Z與圓錐曲線C相交于M,N兩點(diǎn)，M（xr,無），設(shè)如y2）,

貝1J=Jl+AN-x2|=］（1+左2）［（西+々）2—或

精題集訓(xùn)

（70分鐘）

0經(jīng)典訓(xùn)練題

一、選擇題.

22

1.橢圓一+工=1上的點(diǎn)到長軸兩個端點(diǎn)的距離之和最大值為（）

45

A.2B.4C.2V5D.6

2.點(diǎn)P在函數(shù)>=夕的圖象上.若滿足到直線丁=龍+。的距離為魚的點(diǎn)P有且僅有3個，則實(shí)數(shù)a的值

為（）

A.2V2B.2V3C.3D.4

3.直線ax+y-1=0被圓/+y2-2x-8y+13=0所截得的弦長為2百，則（1=（）

43/~

A.B.C.<3D.2

34

4.已知直線Z:zn%+y+3m-75=0與圓/+V=12交于A,8兩點(diǎn).且A,3在x軸同側(cè)，過A,5分別

做x軸的垂線交x軸于C。兩點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，若|CD|=3,貝IJ/ZOB=（）

兀兀兀271

A.-B.-C.-D.—

6323

%22

5.橢圓F1+J=l（m〉O）的焦點(diǎn)為&、F2,上頂點(diǎn)為4,若/耳4月=1，則瓶=（）

m+1m3

A.1B.V2C.V3D.2

22

6.設(shè)&、F2分別為雙曲線--37=1（?！?力〉0）的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P,滿足

ab

|尸EH耳司且尸2到直線P0的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為（）

1+V7-1+7755

A.---------B.------------C.-D.-

3343

二、填空題.

7.過拋物線f=4x的焦點(diǎn)廠的直線/與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，若|4F|=4,貝必。AB（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的

面積為.

三、解答題.

8.已知橢圓。：=+與=1(?！?〉0)的離心率為￡,左、右焦點(diǎn)分別為6、F2.設(shè)P是橢圓c上一點(diǎn),

ab2

滿足PF2，x軸，I尸鳥|=j

(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過&且傾斜角為45。的直線I與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，求ANOB的面積.

X2丫2

9.在平面直角坐標(biāo)系比Oy中，已知橢圓r+*=l(a〉〉〉0)的長軸長為6,且經(jīng)過點(diǎn)。

ab

2為左頂點(diǎn)，8為下頂點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)P在第一象限，P4交y軸于點(diǎn)C,P8交x軸于點(diǎn)。.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若O3+2OC=0,求線段24的長;

(3)試問：四邊形ABCD的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

225

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：r+2=l(a〉)〉0)的離心率是拋物線E：/=4y的焦點(diǎn)尸

ab2

是橢圓C的一個頂點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線/不經(jīng)過冗且與C相交于A,B兩點(diǎn)，若直線B4與FB的斜率之和為-1,證明：/過定點(diǎn).

221/3I

?

11.已知橢圓。：+2=1(。〉6〉0)的左右焦點(diǎn)分別為0,F2,離心率為5,橢圓C上的點(diǎn)Ml,；到

點(diǎn)6,4的距離之和等于4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在過點(diǎn)P(2,1)的直線I與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)4,B,滿足福?麗=M廬？若存在，求出直

線的勺方程；若不存在，請說明理由.

?高頻易錯題

一、選擇題.

1.已知直線%:%+my+7=0和%：（血-2）%+3y+2zn=0互相平行，則實(shí)數(shù)m等于（）

A.一1或3B.-1C.-3D.1或一3

2.已知拋物線y=/上點(diǎn)p到頂點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

12

3.拋物線產(chǎn)/的準(zhǔn)線方程為（）

11,,

A.x=--B.X=—C.V=-1D.V=1

1616

二、填空題.

22

4.已知圓C:x2+y2-16y+48=。與雙曲線E：十會=1（?>>0）的漸近線相切，則E的離心率

為______

?精準(zhǔn)頸測題

一、選擇題.

1.若直線/1：乂+仍/+6=0與/2：（6-2）乂+3丫+26=0平行，則%與%間的距離為（）

人萬n8四「瓜n8百

A.v2B.-------C.73D.-------

33

2.已知點(diǎn)P是圓C：（%+a/+（y-a+3產(chǎn)=1上一動點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為M,點(diǎn)P關(guān)于直線y=%+1

的對稱點(diǎn)為N,貝IJ|MN|的最小值是（）

A.4B.2V2C.4-V2D.8-2V2

3.已知雙曲線C：，—1=1（?！?,》〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為尻，F(xiàn)2,且以0F2為直徑的圓與雙曲線。的

右支交于Q,直線F&與C的左支交于P,若2用=而，則雙曲線C的離心率為（）

A6B娓

C.D.A/5

22

4

4.若直線/與曲線y=正和圓好+產(chǎn)=3都相切，貝（J珀勺方程為（)

A.x-2y/2y+2=0B.x+2y/2y+2=0

C.x-2何-2=0D.x+2V2y—2=0

5.（多選）已知點(diǎn)尸（0,2）為圓錐曲線。的焦點(diǎn),則。的方程可能為()

A.y2—8xB.x2=8y

2222

C.——+—=1(0<m<4)D.jo<m<4)

m—4m4—mm

二、填空題.

6.若正方形一條對角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為.

三、解答題.

7.已知橢圓—：必+5=1（?！?）與拋物線C:/=2py（p>0）有相同的焦點(diǎn)F,拋物線C的準(zhǔn)線交橢圓于

4B兩點(diǎn)，且|4B|=1.

（1）求橢圓廠與拋物線C的方程；

（2）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過焦點(diǎn)尸的直線/交橢圓「于M,N兩點(diǎn)，求AOMN面積的最大值.

8-已知橢圓C：=+與=1(。〉人〉0)的離心率為,且直線2+；=1與圓/+*=2相切.

ab2ab

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)直線(與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)力，B,M為線段4B的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線0M與橢圓C相交于

點(diǎn)P,且|OP|=J司。閭，求MB。的面積.

9.設(shè)力，B為拋物線C:*=2p久(p>0)上兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線y=p上.

(1)求直線的斜率；

(2)設(shè)直線y=p與拋物線c交于點(diǎn)M,記直線圖，MB的斜率分別為七，k2,當(dāng)直線AB經(jīng)過拋物線C的

焦點(diǎn)F時，求比+文的值.

22

10.已知右焦點(diǎn)為F(l,。為勺橢圓C：二+爐=l(a〉6〉0)經(jīng)過點(diǎn)

(1)求橢圓。的方程;

(2)經(jīng)過F的直線/與橢圓C分別交于力、B(不與。點(diǎn)重合)，直線DA、DB分別與x軸交于M、N,是否存在

直線/，使得/DMN=/DNM?若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

參考答案

Q經(jīng)典訓(xùn)練題

一、選擇題.

1.【答案】D

【解析】橢圓上到長軸兩個端點(diǎn)的距離之和最大的點(diǎn)是短軸端點(diǎn)，

所以最大值為2?。2+爐=6,故選D.

【點(diǎn)評】本題考了橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】過函數(shù)丁=夕的圖象上點(diǎn)P?,小)作切線，使得此切線與直線y=x+a平行，

y'=ex,于是e&=l,則x()=0,y0=1,

■■P(0,1),

于是當(dāng)點(diǎn)P到直線y=尤+a的距離為迎時，

則滿足到直線y=%+。的距離為段的點(diǎn)P有且僅有3個，

I―1+/-、

d=-[=,解得〃=—1或〃=3.

VI+1

又當(dāng)。=-1時，函數(shù)＞=夕的圖象與直線y=%-1相切，從而只有兩個點(diǎn)到直線距離為近，所以不滿足;

故a=3,故選C.

【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線切點(diǎn)，以及曲線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，難度較大.

3.【答案】A

【解析】X2+y2-2%-8y+13=0,即(％-I)2+(y-4)2=4,

該圓圓心為(1,4),半徑為7=2,直線a%+y—1=0截圓所得的弦長為2百，

則圓心(1,4)到直線a%+y-1=0的距離為d=m

Itz+4—114

.-.1,-----1=1,解得。=C，故選A.

力2+13

【點(diǎn)評】本題主要考查圓的方程及圓的弦長問題,屬于中檔題.求圓的弦長有兩種方法：一是利用弦長公式

/=VTTfc^-ki-Xzl,結(jié)合韋達(dá)定理求解；二是利用半弦長，弦心距，圓半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股

定理求解.優(yōu)先采用幾何法.

4.【答案】B

【解析】因?yàn)橹本€的方程]:根久+y+3m-V3=。化為7no+3)+y-V3=0,

所以直線，恒過點(diǎn)(-3,V3),

而點(diǎn)(一3,滿足/+y2=12,所以點(diǎn)(一3,遍)在圓光2+y2=12上，

不妨設(shè)點(diǎn)2(—3,V3),

又|CD|=3,所以點(diǎn)B(o,2V3),

所以|4B|=J(-3尸+(V3-2V3)2=2V3,

又圓久2+*=12的半徑為2百，所以AAOB是等邊三角形，所以NAO3=§,故選B.

【點(diǎn)評】求直線恒過點(diǎn)的方法：方法一(換元法)：根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式直線的方程變成y=k(x-a)+

b,將久=a帶入原方程之后，所以直線過定點(diǎn)(a,6);方法二(特殊引路法)：因?yàn)橹本€的中的根是取不同

值變化而變化，但是一定是圍繞一個點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，需要將兩條直線相交就能得到一個定點(diǎn).取兩個優(yōu)的值帶

入原方程得到兩個方程，對兩個方程求解可得定點(diǎn).

5.【答案】C

%22__________________

【解析】在橢圓一;---F=1(機(jī)〉0)中，a=Vm2+1,b=m,c=Va2-ft2=1,

m+1

如下圖所示：

因?yàn)闄E圓高+2=1(心①的上頂點(diǎn)為點(diǎn)焦點(diǎn)為&、所以?網(wǎng)=即

4______

ZF{AF2=y,為等邊三角形，貝小4&1=，即4"+1=a=2c=2,

因此，m=y[3,故選C.

【點(diǎn)評】本題考了橢圓焦點(diǎn)三角形的相關(guān)計算，屬于中檔題.

6.【答案】D

【解析】依題意|尸閶=閨閶，可知APFiF2是一個等腰三角形，尸2在直線P&的投影是中點(diǎn),

根據(jù)雙曲線定義可知IP&I-IPF2I=2a,所以|PFil=2a+2c,

由勾股定理可知閨B「=（a+c）2+（2a）2=（2c）?,

整理可得3c2—2ac—5a2=0,B|J3e2-2e-5=0,解得e=—,故選D.

3

【點(diǎn)評】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩

種方法：

c

①求出a,c,代入公式6=—;

a

②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，結(jié)合爐=02-02轉(zhuǎn)化為0,。的齊次式，然后等式（不等

式）兩邊分別除以a或a?轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

二、填空題.

7.【答案】手

【解析】由題意知，F(xiàn)（l,0）,不妨設(shè)4（%i，%）在第一象限，

\AF\=第1+1=4,=3,y】=2V3,

設(shè)B（久2，%），kAB=|^-=5/3,

??.AB\y=V3（x—1）,

聯(lián)立方程＜'（）,整理可得3Y—10%+3=0,解得%=；，%=,

y2=4x323

SAOAB=-^\OF\-\yi\+^\OF\-\y2\=^-^■

故答案為手.

【點(diǎn)評】本題考了拋物線的相關(guān)定義，直線與拋物線結(jié)合考查，屬于中檔題.

三、解答題.

8.【答案】（1）⑵孚.

,C=2/3

a2

b11

【解析】(1)由條件可知—解得a=2,b=1,

a2

a2=b2+c2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

(2)設(shè)直線Z：x=y—百，A(xltyj,B(x2,y2).

x=y-y/3

直線/與橢圓方程聯(lián)立《X22,得5y2—2V5y—1=0,

—+y=1

〔4-

—1

+^2=>%%=《，

SAAOB=5義|0月3%一%|=^，（必+%）2_4%%=飛顯-

【點(diǎn)評】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的相關(guān)知識，屬于中檔題.

9.【答案】（1）^-+^-=1；（2）24*；（3）是定值，定值為6.

9415

【解析】（1）解：由題意得2a=6,解得a=3,

r2v93

把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入橢圓C的方程一r+3=1,得力+yr=1，

a'b4a2夕

由于a=3,解得b=2,

22

Vv

所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+：=1.

94

(2)解：因?yàn)镺B+2OC=0,則得OC=—308=(0/)，即C(0,l),

又因?yàn)?（—3,0）,所以直線4P的方程為y=g（x+3）.

>=*+3）1327

x=——

2724

22，解得「（舍去）或<，即得「

土+匕=i〔尸°15,15

y=—

9415

24幅

所以|AP|=

15

24M

即線段4P的長為

(3)由題意知，直線P8的斜率存在，可設(shè)直線P3:y=g;—2］左〉|).

令y=0,得￡>[/,()],

y=kx-2

，36k

由<X2y2，得(41+9)/-36kx=。，解得x=0(舍去)或x=~—y,

—+^-=14+9k

194

18/—8

所以透，即P

18F-8

/、)即丁=2(點(diǎn)34—弓2),("、)，

于是直線4P的方程為y=居+9x(x+3,3

36k+3

1+4公

(

2(3左—2)

令x=0,得y=---，--即---C-0,

3k+2

、13k+212k,

所以四邊形4BDC的面積等于gx|AD|+2---------------二o,

72k3k+2

即四邊形力BDC的面積為定值.

【點(diǎn)評】本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問題，解題方法是解析幾何的基本方法：寫出直線

方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，得出線段長度.對定值問題，設(shè)出直線方程得出各交點(diǎn)坐標(biāo)，計算出四邊形面積即可

得?

2

°［答案】⑴?+丁=1;⑵證明見解析.

【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€￡：/=4y的焦點(diǎn)F(0,1)是橢圓C的一個頂點(diǎn),

所以b=1,由e=￡，解得=2,

a

X22

則橢圓方程為w+>"

(2)①當(dāng)斜率不存在時，設(shè)Z：x=m,A后)，B

?.,直線凡4與直線FB的斜率的和為-1,

G+++解得皿=2,

xAxBmm

此時1過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個交點(diǎn)，故不滿足；

②當(dāng)斜率存在時，設(shè)，:y=依+t,（tH1）,4（%,yi）,B（X2,先），

V=KJC+t

聯(lián)立4；,,整理得（1+M2）久2+8ktx+4t2—4=0,

%-+4/=4

8kt4左2—4

…二帝記’①

?.?直線凡4與FB直線的斜率的和為-1,

,k+k1%1_芯（如+/—1）_2村々+（t—1）（石+%）=]②

''、xlx2x{xl2x1x2一

①代入②得[=一1,

t+1

t=—2k—1,此時/=—64k,存在k,使得/＞。成立，

二直線/的方程為y=k久一2k-1,

當(dāng)％=2時，y=-1,

.過定點(diǎn)（2,-1）.

【點(diǎn)評】定點(diǎn)問題的常見解法：①假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該

方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；②從特殊

位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意.

V2V21

11.【答案】（1）—+y=l；（2）存在直線/滿足條件，其方程為y=/x.

cl

a2a—2

【解析】（1）由題意得*2a=4所以■c-1

a2=b2c2b-y[3

%Y

故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+=1.

43

（2）若存在滿足條件的直線I,則直線珀勺斜率存在，設(shè)其方程為y=做比-2）+1.

代入橢圓C的方程得(3+4k2)%2—8左(2左—l)x+16左2—16k—8=0.

設(shè)4,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(%i，%)，(冷，月)，

所以/=[-8k(2k-1)]2—4(3+4左2)(16左2-16jt-8)=32(64+3)>0,所以左〉一工,

2

84(24-1)16左2—164-8

且…=其丁中=3+4r?

因?yàn)槿f?麗=兩2,即(再一2)(々一2)+(%—1)(%—1)=：,

即[X]X,—2(%|+%)+4](1+左)=—.

16尸—16左—828M2左—1)⑴/0_4+4左2

所以-，解得k=±-.

3+4左2'3+4左2V3+4左242

又因?yàn)樽蟆狄欢?，所以?1.

22

所以存在直線，滿足條件，其方程為J=

【點(diǎn)評】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：

(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；

(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、

三角形的面積等問題.

。高頻易錯題

一、選擇題.

1.【答案】A

【解析】’「兩條直線匕：％+my+7=。和%：(m-2)%+3y+2m=。互相平行,

.'.1x3—m(m-2)=0,解得m=—1或m=3.

若租=-1,貝l"i：%—y+7=0與%：-3%+3y-2=0平行，滿足題意；

若租=3,貝l"i：%+3y+7=0與％：%+3y+6=0平行，滿足題意，

故選A.

【點(diǎn)評】本題考查了兩條直線平行的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)尸的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，

從而得到點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于其到頂點(diǎn)。的距離，

所以點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上，

因?yàn)閽佄锞€的方程為y=x2,所以其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為

OH-]1/y

從而得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為=將y=g代入拋物線的方程，得到x=土?,

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為故選A.

【點(diǎn)評】該題考查的是有關(guān)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的求解問題，涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的定義，線段中垂線上

點(diǎn)的特征，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】C

1,

【解析】拋物線丁=的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=4y,

所以p=2,^=1,準(zhǔn)線方程為y=—1,故選C.

【點(diǎn)評】本題考點(diǎn)為拋物線的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題.

4.【答案】孚

【解析】由％?+y2_16y+48=0,得/+(y-8)2=42,

所以圓心C（0,8）,半徑r=4,

V2x2

雙曲線一=1（?！?,6〉0）的一條漸近線為內(nèi)一力=0,

a—官

卜叫=敢=4,

由題意得圓心到漸近線的距離1=

y/cr+b2c

所以匕='c,所以a=Jc?-/=^~c,所以6=￡=冥3,

22a3

故答案為一---

【點(diǎn)評】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是正確求出雙曲線的漸近線方程，直線與圓相切等價于圓心到直線的距

離等于半徑，可得a,b,c之間的關(guān)系，即可求離心率.

?精準(zhǔn)預(yù)測題

一、選擇題.

1.【答案】B

【解析】因?yàn)橹本€4：x+by+6=。與％：(6-2)x+3y+2b=0平行，

所以b(6—2)=3,解得6=—1或6=3,

當(dāng)b=3時，k：x+3y+6=0,%：x+3y+6=0此時匕與%重合，不符合題意;

當(dāng)6=-1時,l-yx—y+6=0,I2■—3%+3y—2=0即x—yH—=0,

62

0—58-72

此時人與％間的距離為=故選B.

VI+13

【點(diǎn)評】本題考了兩條直線的平行的判斷以及兩條直線之間的距離，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】設(shè)P(m,n),則“(—m,九),N(n—1,771+1),

\MN\—J(zn+ri—1)2+(zn—九+=V2-Jm2+(n—I)2,

則+5—1)2表示圓c上的點(diǎn)p(m,n)到定點(diǎn)a(o,1)的距離，

由題得，圓心C(—a,a—3),半徑r=l,

根據(jù)圓的性質(zhì)可得|4P|>\AC\-r=y/a2+(a-4)2-1=V2a2-8a+16-1

=，2(a—2)2+8-122V^-1,

當(dāng)且僅當(dāng)a=2時，等號成立，

所以|MN|=V2\AP\>V2x(2V2-1)=4-V2,

所以|MN|的最小值是4-或，故選C.

【點(diǎn)評】求解本題的關(guān)鍵在于，通過設(shè)點(diǎn)P(m,n),得到M,N坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,

得到|MN|=魚?/62+5—1)2,由圓的性質(zhì)，結(jié)合所求式子的幾何意義，即可求解.

3.【答案】D

【解析】如圖，連接PF2,QFz.

因?yàn)橐?6為直徑的圓與雙曲線。的右支交于Q,故6Q1QF2.

設(shè)|踣|="，貝力麗|=2x,|版|=3x,|康|=3x—2a,|所I=x+2a,

4

由為直角三角形，故O+2a)2=(2x)2+(3x—2a)2,解析％=§。，

故|包|=4即|碗|=2a,

因?yàn)椤?QF2為直角三角形，故16a2+4&2=牝2,故6=有，故選D.

【點(diǎn)評】與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的離心率的計算，注意利用雙曲線的定義實(shí)現(xiàn)邊的關(guān)系的轉(zhuǎn)化，必要時需多次轉(zhuǎn)

化.

4.【答案】A

【解析】法一：設(shè)曲線y=?的切點(diǎn)P(%O,伍)0o>o).

1

根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得點(diǎn)PQO,伍)處的切線斜率左=y匕而

所以切線方程/：y-A即l:x-2y[x^y+x0=0,

4

因?yàn)榍芯€也與圓X9+K9=3相切,

所以圓心到直線的距離等于半徑，即d==解得久o=2或比=-2(舍去),