正方形復(fù)習(xí)課潮泉鎮(zhèn)初級中學(xué)張婷婷第1頁學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、利用正方形性質(zhì)和判定方法處理幾何問題。2、學(xué)會結(jié)構(gòu)輔助線處理幾何問題。教學(xué)重點：教學(xué)難點：正方形性質(zhì)利用。經(jīng)過分析已知條件結(jié)構(gòu)輔助線。第2頁對角線：相等相互垂直平分每條對角線平分一組對角。邊:對邊平行四邊相等角：四個角都是直角圖形對稱性：是軸對稱圖形,

有四條對稱軸。正方形性質(zhì)第3頁正方形判定方法1、有一組鄰邊相等矩形是正方形。2、對角線相互垂直矩形是正方形。3、有一個角是直角菱形是正方形。4、對角線相等菱形是正方形。CADBO第4頁小試牛刀1、正方形是軸對稱圖形，它對稱軸共有(

)

A．1條

B．2條

C．3條

D．4條2、正方形含有而菱形不一定含有性質(zhì)（）A．四邊都相等B．對角線相互垂直且平分C．對角線相等D．對角線平分一組對角3、正方形含有而普通矩形不一定含有性質(zhì)是（）A．對邊平行且相等B．對角線相互垂直C．對角線相等D．四個角都是直角4、以下判斷中正確是(

)A．四邊相等四邊形是正方形B．四角相等四邊形是正方形C．對角線相互垂直平行四邊形是正方形D．對角線相互且四邊形是正方形

D

C

B

D垂直平分相等正方形=矩形+菱形+平行四邊形第5頁例1、如圖，點M是正方形ABCD對角線BD上一點，ME⊥BC，MF⊥CD，垂足分別是點E，F(xiàn)。求證：AM=EF

證實：連接MC∵四邊形ABCD為正方形∴∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC又∵ME⊥BC，MF⊥CD∴∠MEC=90°，∠MFC=90°∴四邊形MECF為矩形∴MC=EF在△ABM和△CBM中∴△ABM≌△CBM（SAS）∴AM=MC∴AM=EF

AB=BC∠ABM=∠CBMMB=MB例題講解還有其它方法嗎？△ADM≌△CDM（SAS）第6頁

一題多解如圖，點M是正方形ABCD對角線BD上一點，ME⊥BC，MF⊥CD，垂足分別是點E，F(xiàn)。求證：AM=EF連接AC，MC由BD是AC垂直平分線可得AM=MC進而再證MC=EF第7頁一題多解如圖，點M是正方形ABCD對角線BD上一點，ME⊥BC，MF⊥CD，垂足分別是點E，F(xiàn)。求證：AM=EF過M點作MQ⊥AD，垂足為Q，作MP⊥AB，垂足為P證實出AP=MF，PM=ME，進而證實△APM≌△FME，即可證實出AM=EFQP第8頁如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上點，且AF⊥BE．（1）求證：AF=BE證實：∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°

∴∠BAF+∠DAF=90°

∵AF⊥BE

∴∠BAF+∠ABE=90°

∴∠DAF=∠ABE

在△ABE和△DAF中

∴△ABF≌△BCE（ASA）

∴AF=BE

練習(xí)∠BAE=∠ADFAB=AD∠ABE

=∠DAF第9頁（2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上點，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說明理由．

證實：過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E∵AB∥CD，AD∥BC

∴四邊形AMPF與四邊形BNQE是平行四邊形

∴AF=MP，BE=NQ

∴在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°

∴∠DAF+∠BAF=90°

∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°

∴∠ABE=∠DAF

∵在△ABE和△DAF中∴△ABE≌△DAF（ASA）

∴AF=BE

∴MP=NQ

FE

∠BAE=∠ADFAB=AD∠ABE

=∠DAFMP=NQ還有其它方法嗎？第10頁如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上點，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說明理由．一題多解EF過M點作ME⊥CD，垂足為E，過Q點作QF⊥BC，垂足為F證實出∠EMP=∠FQN，

ME=QF，進而證實△EMP≌△FQN，即可證實出MP=QN第11頁如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上點，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說明理由．一題多解條件不充分，此方法行不通。第12頁例2、已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM平分線，CE⊥AN，垂足為點E．（1）求證：四邊形為矩形；（2）當(dāng)滿足什么條件時，四邊形是一個正方形？并給出證實．

（1）證實：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC

∴∠BAD=∠DAC

∵AN是△ABC外角∠CAM平分線

∴∠MAE=∠CAE

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°×=90°

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC=∠CEA=90°

∴四邊形ADCE為矩形

正方形判定第13頁例2、已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，

AN是△ABC外角∠CAM平分線，CE⊥AN，垂足為點E．（1）求證：四邊形為矩形；（2）當(dāng)滿足什么條件時，四邊形是一個正方形？并給出證實．

當(dāng)△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．

證實：

∵AB=AC

∴∠ACB=∠B=45°

∵AD⊥BC

∴∠CAD=∠ACD=45°

∴DC=AD

∵四邊形ADCE為矩形

∴矩形ADCE是正方形

∴當(dāng)∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形

第14頁如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分線，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別是E，F(xiàn)．求證：四邊形DECF是正方形

證實：∵CD是角平分線，DE⊥AC，DF⊥BC

∴DE=DF，∠CED=∠CFD=90°

∵∠ACB=90°

∴四邊形DECF是矩形

又∵DE=DF

∴四邊形DECF是正方形

練習(xí)第15頁1、如圖，已知方格紙中是4個相同正方形，則

∠1+∠2+∠3=________。2、如圖，正方形周長為8cm，則矩形EFBG周長為________3、如圖，正方形ABCD中，對角線BD長為15cm．P是線段AB上任意一點，則點P到AC，BD距離之和等于____cm

135°2cm當(dāng)堂檢測第16頁