湖南省衡陽(yáng)市青海大學(xué)附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知的矩形ABCD，沿對(duì)角形BD將折起得到三棱錐C—ABD，且三棱錐的體積為則異面直線BC與AD所成角的余弦值為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A2.函數(shù)與(且)在同一直角坐標(biāo)系下的圖象可能是參考答案：D3.設(shè)函數(shù)，則不等式的解集是（

）A．

B．C．

D．參考答案：4.如圖，已知等腰梯形ABCD中，是DC的中點(diǎn)，P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A. B.0 C. D.1參考答案：A【分析】計(jì)算，設(shè)，把代入得出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)的范圍得出最小值．【詳解】由等腰梯形的知識(shí)可知，設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．5.在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且，，BC邊上的高為h，則h的最大值為（

）A. B.1 C. D.2參考答案：C【分析】先化簡(jiǎn)已知得，再求出，再利用三角函數(shù)求h最大值得解.【詳解】因?yàn)?，所以所?所以所以,所以當(dāng)B=時(shí)，h取最大值.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理解三角形，考查三角函數(shù)和三角恒等變換，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6.設(shè)為虛數(shù)單位，則=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.已知，，且成等比數(shù)列，則有(

)

A、最小值

B、最小值

C、最大值

D、最大值參考答案：A略8.以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．命題“若“x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”B．“x=2”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件C．若命題p：存在x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0，則￢p：對(duì)任意x∈R，都有x2﹣x+1≥0D．若p且q為假命題，則p，q均為假命題參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】A．利用逆否命題的定義即可判斷出正誤；B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，即可判斷出關(guān)系；C．利用￢p的定義即可判斷出；D．由p且q為假命題，則p，q至少有一個(gè)為假命題，即可判斷出正誤．【解答】解：A．“若“x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”，正確；B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=2”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要，正確；C．命題p：存在x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0，則￢p：對(duì)任意x∈R，都有x2﹣x+1≥0，正確；D．由p且q為假命題，則p，q至少有一個(gè)為假命題，因此不正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題9.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A考點(diǎn)：函數(shù)的周期性、奇偶性.10.（5分）集合P={1，2}，Q={x||x|＜2}，則集合P∩Q為（）A．{1，2}B．{1}C．{2}D．{0，1}參考答案：B因?yàn)镼={x||x|＜2}，所以Q={x|﹣2＜x＜2}，又集合P={1，2，3，4}，則P∩Q={1}；故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，，設(shè)其外接球的球心為O，已知三棱錐O-ABC的體積為1，則球O表面積的最小值為__________．參考答案：16π【分析】設(shè)，由三棱錐的體積為可得．然后根據(jù)題意求出三棱柱外接球的半徑為，再結(jié)合基本不等式可得外接球表面積的最小值．【詳解】如圖，在中，設(shè)，則．分別取的中點(diǎn)，則分別為和外接圓的圓心，連，取的中點(diǎn)，則為三棱柱外接球的球心．連，則為外接球的半徑，設(shè)半徑為．∵三棱錐的體積為，即，∴．在中，可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴球表面積的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】解答幾何體外接球的體積、表面積問(wèn)題的關(guān)鍵是確定球心的位置，進(jìn)而得到球的半徑，解題時(shí)注意球心在過(guò)底面圓圓心且垂直于底面的直線上，且球心到幾何體各頂點(diǎn)的距離相等．在確定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半徑，此類問(wèn)題考查空間想象力和計(jì)算能力，難度較大．12.給定雙曲線，若直線過(guò)的中心，且與交于兩點(diǎn)，為曲線上任意一點(diǎn)，若直線的斜率均存在且分別記為，則

.參考答案：試題分析：設(shè)直線的方程為，，，則由得，,所以有，

，故應(yīng)填.考點(diǎn)：1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2.直線與雙曲線的位置關(guān)系；3.斜率公式.13.一枚骰子連續(xù)投擲四次，從第二次起每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都不小于前一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的概率為

．參考答案：

14.設(shè)x，y滿足約束條件，則的取值范圍為

.參考答案：(－1,6)結(jié)合不等式組,繪制可行域,得到轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù),得到,，從虛線平移,運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn),z取到最小值，為-1，運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，z取最大值，為-6，故z的范圍為

15.定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí),則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_____．參考答案：【分析】函數(shù)F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為：在同一坐標(biāo)系內(nèi)y＝f（x），y＝a的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；作出兩函數(shù)圖象，考查交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合方程思想，及零點(diǎn)的對(duì)稱性，根據(jù)奇函數(shù)f（x）在x≥0時(shí)的解析式，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象及其對(duì)稱性，求出答案．【詳解】∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝即x∈[0，1）時(shí)，f（x）＝（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]時(shí)，f（x）＝x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）時(shí)，f（x）＝4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；畫出x≥0時(shí)f（x）的圖象，再利用奇函數(shù)的對(duì)稱性，畫出x＜0時(shí)f（x）的圖象，如圖所示；則直線y＝a，與y＝f（x）的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，則方程f（x）﹣a＝0共有五個(gè)實(shí)根，最左邊兩根之和為﹣6，最右邊兩根之和為6，∵x∈（﹣1，0）時(shí)，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）＝（﹣x+1），又f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣（﹣x+1）＝（1﹣x）﹣1＝log2（1﹣x），∴中間的一個(gè)根滿足log2（1﹣x）＝a，即1﹣x＝2a，解得x＝1﹣2a，∴所有根的和為1﹣2a．故答案為：1﹣2a．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了利用函數(shù)零點(diǎn)與方程的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．

16.已知某圓錐體的底面半徑，沿圓錐體的母線把側(cè)面展開后得到一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐體的表面積是．參考答案：17.設(shè),則的最小值為

。參考答案：9本題考查基本不等式的應(yīng)用，難度中等。因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足（其中）（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求的取值范圍.參考答案：（1）見證明；（2）【分析】（1）由余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得，由正弦定理，二倍角公式可得，可證A=2B；（2）由兩角和的正弦函數(shù)公式可得（B），由由(1)及可得，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）由已知，兩邊同時(shí)除以，得化簡(jiǎn)，得由正弦定理和余弦定理，得解得，所以A=2B或所以A=2B或B=C又因?yàn)?，所以A=2B．（2）由．得由，解得,所以，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角公式，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．19.(本題10分)(文)已知函數(shù)的最小正周期為4π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．參考答案：(文)(1)f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx－＝sin2ωx＋cos2ωx＋－＝sin∵T＝＝4π，∴ω＝.(2)∵f(x)＝sin∵－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z∴－π＋4kπ≤x≤π＋4kπ，k∈Z∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－＋4kπ，＋4kπ](k∈Z)．20.(本小題滿分12分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知平面直角坐標(biāo)系,以為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,,曲線的參數(shù)方程為.點(diǎn)是曲線上兩點(diǎn)，點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為.（1）寫出曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程;（2）求的值.參考答案：(1)參數(shù)方程普通方程………3分普通方程

……6分方法1：可知,為直徑，方法2直角坐標(biāo)兩點(diǎn)間距離……10分21.遼寧省六校協(xié)作體（葫蘆島第一高中、東港二中、鳳城一中、北鎮(zhèn)高中、瓦房店高中、丹東四中）中的某校文科實(shí)驗(yàn)班的100名學(xué)生期中考試的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于100分，其中語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，成績(jī)分組區(qū)間是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表；中位數(shù)精確到0.01）（2）若這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)x與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)y之比如下表所示：分組區(qū)間[100,110）[110,120）[120,130）[130,140）x：y1:31:13:410:1

從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱130,150]的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，求選出的2人中恰好有1人數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱140,150]的概率．參考答案：（1）中位數(shù)是；平均數(shù)是123；（2）.【分析】（1）利用中位數(shù)左邊矩形面積之和為0.5可求出中位數(shù)，將每個(gè)矩形底邊中點(diǎn)值乘以相應(yīng)矩形的面積，再相加可得出這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均數(shù)；（2）計(jì)算出數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?、的學(xué)生人數(shù)，列舉出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率.【詳解】（1），，這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的中位數(shù)是.這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均數(shù)是：；（2）數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谥畠?nèi)的人數(shù)為，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為人，設(shè)為、、，而數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為人，設(shè)為、，從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中隨機(jī)選取2人基本事件為：、、、、、、、、、，共個(gè)，選出的2人中恰好有1人數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘幕臼录椋?、、、、、，共個(gè)，選出的2人中恰好有1人數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘母怕适牵军c(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)與中位數(shù)，同時(shí)也考查了利用古典概型的概率公式計(jì)算事件的概率，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

22.（本小題滿分12分）我國(guó)發(fā)射的天宮一號(hào)飛行器需要建造隔熱層.已知天宮一號(hào)建造的隔熱層必須使用20年，每厘米厚的隔熱層建造成本是6萬(wàn)元，天宮一