湖北省各地市2023-中考數(shù)學真題分類匯編-03解答題（較難題）知識點分類①一．二次函數(shù)綜合題（共7小題）1．（2023?襄陽）在平面直角坐標系中，直線l：y＝kx+b經(jīng)過拋物線y＝x2+2mx+2m2﹣m（m≠0）的頂點．（1）如圖，當拋物線經(jīng)過原點時，其頂點記為P．①求拋物線的解析式并直接寫出點P的坐標；②t≤x≤t+1時，y的最小值為2，求t的值；③當k＝2時．動點E在直線l下方的拋物線上，過點E作EF∥x軸交直線l于點F，令S＝EF，求S的最大值．（2）當拋物線不經(jīng)過原點時，其頂點記為Q．當直線l同時經(jīng)過點Q和（1）中拋物線的頂點P時，設(shè)直線l與拋物線的另一個交點為B，與y軸的交點為A．若|QB﹣QA|≥1，直接寫出k的取值范圍．2．（2023?黃石）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點A（﹣3，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，4）．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知拋物線上有一點P（x0，y0），其中y0＜0，若∠CAO+∠ABP＝90°，求x0的值；（3）若點D，E分別是線段AC，AB上的動點，且AE＝2CD，求CE+2BD的最小值．3．（2023?恩施州）在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與y軸交于點A，拋物線的對稱軸與x軸交于點B．（1）如圖，若A（0，），拋物線的對稱軸為x＝3．求拋物線的解析式，并直接寫出y≥時x的取值范圍；（2）在（1）的條件下，若P為y軸上的點，C為x軸上方拋物線上的點，當△PBC為等邊三角形時，求點P，C的坐標；（3）若拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點D（m，2），E（n，2），F(xiàn)（1，﹣1），且m＜n，求正整數(shù)m，n的值．4．（2023?湖北）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣6（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0），B（6，0），與y軸交于點C，頂點為D，連接BC．（1）拋物線的解析式為；（直接寫出結(jié)果）（2）在圖1中，連接AC并延長交BD的延長線于點E，求∠CEB的度數(shù)；（3）如圖2，若動直線l與拋物線交于M，N兩點（直線l與BC不重合），連接CN，BM，直線CN與BM交于點P．當MN∥BC時，點P的橫坐標是否為定值，請說明理由．5．（2023?武漢）拋物線交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸于點C．（1）直接寫出A，B，C三點的坐標；（2）如圖（1），作直線x＝t（0＜t＜4），分別交x軸，線段BC，拋物線C1于D，E，F(xiàn)三點，連接CF，若△BDE與△CEF相似，求t的值；（3）如圖（2），將拋物線C1平移得到拋物線C2，其頂點為原點．直線y＝2x與拋物線交于O，G兩點，過OG的中點H作直線MN（異于直線OG）交拋物線C2于M，N兩點，直線MO與直線GN交于點P．問點P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．?6．（2023?荊州）已知：y關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．（1）若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，且a＝4b，則a的值是；（2）如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與x軸有兩個公共點A（﹣2，0），B（4，0），并與動直線l：x＝m（0＜m＜4）交于點P，連接PA，PB，PC，BC，其中PA交y軸于點D，交BC于點E．設(shè)△PBE的面積為S1，△CDE的面積為S2．①當點P為拋物線頂點時，求△PBC的面積；②探究直線l在運動過程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．7．（2023?隨州）如圖1，平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），連接BC，點P（m，n）（m＞0）為拋物線上一動點，過點P作PN⊥x軸交直線BC于點M，交x軸于點N．（1）直接寫出拋物線和直線BC的解析式；（2）如圖2，連接OM，當△OCM為等腰三角形時，求m的值；（3）當P點在運動過程中，在y軸上是否存在點Q，使得以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與以B，C，N為頂點的三角形相似（其中點P與點C相對應(yīng)），若存在，直接寫出點P和點Q的坐標；若不存在，請說明理由．二．圓的綜合題（共1小題）8．（2023?荊州）如圖，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH為直徑的⊙O分別交AD，BD于點E，F(xiàn)，連接EF．（1）求證：①CD是⊙O的切線；②△DEF∽△DBA；（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．三．翻折變換（折疊問題）（共1小題）9．（2023?恩施州）如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的中點，將矩形ABCD沿BE所在的直線折疊，C，D的對應(yīng)點分別為C′，D′，連接AD′交BC′于點F．（1）若∠DED′＝70°，求∠DAD′的度數(shù)；（2）連接EF，試判斷四邊形C′D′EF的形狀，并說明理由．四．作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共1小題）10．（2023?武漢）如圖是由小正方形組成的8×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．正方形ABCD四個頂點都是格點，E是AD上的格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．（1）在圖（1）中，先將線段BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫對應(yīng)線段BF，再在CD上畫點G，并連接BG，使∠GBE＝45°；（2）在圖（2）中，M是BE與網(wǎng)格線的交點，先畫點M關(guān)于BD的對稱點N，再在BD上畫點H，并連接MH，使∠BHM＝∠MBD．?五．幾何變換綜合題（共1小題）11．（2023?隨州）1643年，法國數(shù)學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）當△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，如圖1，將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′C，連接PP′，由PC＝P′C，∠PCP′＝60°，可知△PCP′為三角形，故PP′＝PC，又P′A′＝PA，故PA+PB+PC＝P′A′+PB+PP′≥A′B，由可知，當B，P，P′，A′在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A′B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有∠APC＝∠BPC＝∠APB＝；已知當△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費馬點”為點．（2）如圖4，在△ABC中，三個內(nèi)角均小于120°，且AC＝3，BC＝4，∠ACB＝30°，已知點P為△ABC的“費馬點”，求PA+PB+PC的值；（3）如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知AC＝4km，BC＝2km，∠ACB＝60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，a元/km，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元．（結(jié)果用含a的式子表示）六．相似形綜合題（共1小題）12．（2023?襄陽）【問題背景】人教版八年級下冊數(shù)學教材第63頁“實驗與探究”問題1如下：如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1D1O的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，無論正方形A1B1C1D1O繞點O怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的．想一想，這是為什么？（此問題不需要作答）九年級數(shù)學興趣小組對上面的問題又進行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形ABCD的對角線相交于點O，點P落在線段OC上，＝k（k為常數(shù)）．【特例證明】（1）如圖1，將Rt△PEF的直角頂點P與點O重合，兩直角邊分別與邊AB，BC相交于點M，N．①填空：k＝；②求證：PM＝PN．（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明△PAM≌△PBN；也可過點P分別作AB，BC的垂線構(gòu)造全等三角形證明．請選擇其中一種方法解答問題②．）【類比探究】（2）如圖2，將圖1中的△PEF沿OC方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并說明理由．【拓展運用】（3）如圖3，點N在邊BC上，∠BPN＝45°，延長NP交邊CD于點E，若EN＝kPN，求k的值．

湖北省各地市2023-中考數(shù)學真題分類匯編-03解答題（較難題）知識點分類①參考答案與試題解析一．二次函數(shù)綜合題（共7小題）1．（2023?襄陽）在平面直角坐標系中，直線l：y＝kx+b經(jīng)過拋物線y＝x2+2mx+2m2﹣m（m≠0）的頂點．（1）如圖，當拋物線經(jīng)過原點時，其頂點記為P．①求拋物線的解析式并直接寫出點P的坐標；②t≤x≤t+1時，y的最小值為2，求t的值；③當k＝2時．動點E在直線l下方的拋物線上，過點E作EF∥x軸交直線l于點F，令S＝EF，求S的最大值．（2）當拋物線不經(jīng)過原點時，其頂點記為Q．當直線l同時經(jīng)過點Q和（1）中拋物線的頂點P時，設(shè)直線l與拋物線的另一個交點為B，與y軸的交點為A．若|QB﹣QA|≥1，直接寫出k的取值范圍．【答案】（1）①y＝x2+x，頂點P的坐標為（﹣，﹣）；②t的值為﹣3或1；③S的最大值為；（2）k≤﹣或k≥．【解答】解：（1）∵拋物線經(jīng)過原點，∴2m2﹣m＝0，解得：m＝0或，∵m≠0，∴m＝，①拋物線的解析式為y＝x2+x，∵y＝x2+x＝（x+）2﹣，∴頂點P的坐標為（﹣，﹣）；②當t+1＜﹣，即t＜﹣時，y隨x增大而減小，由題意得：（t+1）2+t+1＝2，解得：t1＝﹣3，t2＝0（舍去），∴t的值為﹣3，當﹣≤t≤﹣時，則若t≤x≤t+1時，y的最小值為﹣，不符合題意，當t＞﹣時，y隨x增大而增大，由題意得：t2+t＝2，解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝1，∴t的值為1，綜上所述，t的值為﹣3或1；③由題意得：當k＝2時，y＝2x+b經(jīng)過點P（﹣，﹣），∴2×（﹣）+b＝﹣，∴b＝，∴y＝2x+，設(shè)點E（m，m2+m），且﹣＜m＜，∵EF∥x軸，∴F（m2+m﹣，m2+m），∴S＝EF＝m﹣（m2+m﹣）＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，﹣＜m＜，∴當m＝時，S取得最大值；（2）∵y＝x2+2mx+2m2﹣m＝（x+m）2+m2﹣m，∴Q（﹣m，m2﹣m），∵直線l：y＝kx+b經(jīng)過點P、Q，∴，解得：，∴直線l的解析式為y＝（﹣m+）x﹣m，令x＝0，得y＝﹣m，∴A（0，﹣m），聯(lián)立方程得：x2+2mx+2m2﹣m＝（﹣m+）x﹣m，解得：x1＝﹣m，x2＝﹣2m+，當x＝﹣2m+時，y＝（﹣m+）（﹣2m+）﹣m＝2m2﹣2m+，∴B（﹣2m+，2m2﹣2m+），當m＞時，點B在第二象限，點A在y軸的負半軸上，作點A關(guān)于點Q的對稱點A′，如圖，則A′（﹣2m，2m2﹣m），QA＝QA′，∵|QB﹣QA|≥1，∴|QB﹣QA′|≥1，即|A′B|2≥1，∴[（﹣2m+）﹣（﹣2m）]2+[（2m2﹣2m+）﹣（2m2﹣m）]2≥1，化簡得：m2﹣m﹣≥0，令m2﹣m﹣＝0，解得：m1＝﹣+（舍去），m2＝+，∴m≤+，∵m＝﹣k+，∴﹣k+≤+，∴k≤﹣；當m＜時，點B在第一象限，點Q在A、B之間，作點A關(guān)于點Q的對稱點A′，如圖，則A′（﹣2m，2m2﹣m），QA＝QA′，∵|QB﹣QA|≥1，∴|QB﹣QA′|≥1，即|A′B|2≥1，∴[（﹣2m+）﹣（﹣2m）]2+[（2m2﹣2m+）﹣（2m2﹣m）]2≥1，化簡得：m2﹣m﹣≥0，令m2﹣m﹣＝0，解得：m1＝﹣+，m2＝+（舍去），∴m≤﹣+，∵m＝﹣k+，∴﹣k+≤﹣+，∴k≥；綜上所述，k的取值范圍為k≤﹣或k≥．2．（2023?黃石）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點A（﹣3，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，4）．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知拋物線上有一點P（x0，y0），其中y0＜0，若∠CAO+∠ABP＝90°，求x0的值；（3）若點D，E分別是線段AC，AB上的動點，且AE＝2CD，求CE+2BD的最小值．【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）﹣；（3）．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達式為：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12），即﹣12a＝4，則a＝﹣，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+4①；（2）在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝，∵∠CAO+∠ABP＝90°，則tan∠ABP＝，故設(shè)直線BP的表達式為：y＝（x﹣4）②，聯(lián)立①②得：﹣x2+x+4＝（x﹣4），解得：x＝﹣＝x0（不合題意的值已舍去）；（3）作∠EAG＝∠BCD，設(shè)AG＝2BC＝2×4＝8，∵AE＝2CD，∴△BCD∽△GAE且相似比為1：2，則EG＝2BD，故當C、E、G共線時，CE+2BD＝CE+EG＝CG為最小，在△ABC中，設(shè)AC邊上的高為h，則S△ABC＝AC?h＝AB×CO，即5h＝4×7，解得：h＝，則sin∠ACD＝＝＝sin∠EAG，則tan∠EAG＝7，過點G作GN⊥x軸于點N，則NG＝AG?sin∠EAG＝，即點G的縱坐標為：﹣，同理可得，點G的橫坐標為：﹣，即點G（﹣，﹣），由點C、G的坐標得，CG＝＝，即CE+2BD的最小值為．3．（2023?恩施州）在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與y軸交于點A，拋物線的對稱軸與x軸交于點B．（1）如圖，若A（0，），拋物線的對稱軸為x＝3．求拋物線的解析式，并直接寫出y≥時x的取值范圍；（2）在（1）的條件下，若P為y軸上的點，C為x軸上方拋物線上的點，當△PBC為等邊三角形時，求點P，C的坐標；（3）若拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點D（m，2），E（n，2），F(xiàn)（1，﹣1），且m＜n，求正整數(shù)m，n的值．【答案】（1）拋物線解析式為y＝，x的取值范圍是：0≤x≤6；（2）C（，），P（0，）或P（0，），C（0，）；（3）m＝2，n＝7或m＝3，n＝4．【解答】解：（1）∵A，拋物線的對稱軸為x＝3．∴c＝，，解得：b＝3，∴拋物線解析式為y＝，當y＝時，＝，解得：x1＝0，x2＝6，∴x的取值范圍是：0≤x≤6；（2）連接AB，在對稱軸上截取BD＝AB，由已知可得：OA＝，OB＝3，在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝60°，∴∠PAB＝180°﹣∠OAB＝120°，∵△BCP是等邊三角形，∴∠BCP＝60°，∴∠PAB+∠BCP＝180°，∴A、B、C、P四點共圓，∴∠BAC＝∠BPC＝60°，∵BD＝AB，∴△ABD是等邊三角形，∴∠BAD＝60°，∴點D在AC上，BD＝AB＝，∴D（3，），設(shè)AD的解析式為y＝kx+b，則有：，解得：，∴AC的解析式為：y＝，由＝，得：x1＝0，x2＝，當x＝時，y＝，∴C（，），設(shè)P（0，y），則有：，解得：y＝，∴P（0，）；當C與A重合時，∵∠OAB＝60°，∴點P與點A關(guān)于x軸對稱，符合題意，此時，P（0，），C（0，）；∴C（，），P（0，）或P（0，），C（0，）；（3）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點D（m，2），E（n，2），∴設(shè)拋物線解析式為y＝，將點F（1，﹣1）代入y＝中，得，整理得：（m﹣1）（n﹣1）＝6，∵m＜n，且m，n為正整數(shù)，∴1＜m＜n，∴m﹣1，n﹣1為正整數(shù)，且m﹣1＜n﹣1，∴當m﹣1＝1，n﹣1＝6時，解得：m＝2，n＝7；當m﹣1＝2，n﹣1＝3時，解得：m＝3，n＝4．∴m＝2，n＝7或m＝3，n＝4．4．（2023?湖北）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣6（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0），B（6，0），與y軸交于點C，頂點為D，連接BC．（1）拋物線的解析式為y＝；（直接寫出結(jié)果）（2）在圖1中，連接AC并延長交BD的延長線于點E，求∠CEB的度數(shù)；（3）如圖2，若動直線l與拋物線交于M，N兩點（直線l與BC不重合），連接CN，BM，直線CN與BM交于點P．當MN∥BC時，點P的橫坐標是否為定值，請說明理由．【答案】（1）y＝．（2）∠CEB＝45°．（3）3，理由見解答．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣6（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0），B（6，0），∴，解得，∴拋物線解析式為y＝．故答案為：y＝．（2）∵A（﹣2，0），C（0，﹣6），設(shè)直線AC的解析式為y＝k1x+b1，∴，解得，∴直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣6，同理，由點D（2，﹣8），B（6，0），可得直線BD的解析式為y＝2x﹣12，零﹣3x﹣6＝2x﹣12，解得x＝，∴點E的坐標為（），由題意可得，OA＝2，OB＝OC＝6，AB＝8，∴AC＝，如圖，過點E作EF⊥x軸于點F，∴AE＝，∴，∴，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB，∴∠ABC＝∠AEB，∵OB＝OC，∠COB＝90°，∴∠ABC＝45°，∵∠AEB＝45°，∴∠CEB＝45°，答：∠CEB的度數(shù)為45°．（3）設(shè)點M的坐標為（m，），點N的坐標為（n，），∵直線MN與BC不重合，∴m≠0且m≠6，n≠0且n≠6，如圖，由點B（6，0），點C（0，﹣6），可得直線BC的解析式為y＝x﹣6，∵MN∥BC，設(shè)直線MN的解析式為y＝x+t，∴x+t＝，∴∴m+n＝6∴點N的坐標可以表示為（6﹣m，），設(shè)直線CN的解析式為y＝k2x+b2，∴，解得，∴直線CN的解析式為y＝，同上，可得直線BM的解析式為y＝，∴＝，∴mx＝3m，∴x＝3，∴點P的橫坐標為定值3．5．（2023?武漢）拋物線交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸于點C．（1）直接寫出A，B，C三點的坐標；（2）如圖（1），作直線x＝t（0＜t＜4），分別交x軸，線段BC，拋物線C1于D，E，F(xiàn)三點，連接CF，若△BDE與△CEF相似，求t的值；（3）如圖（2），將拋物線C1平移得到拋物線C2，其頂點為原點．直線y＝2x與拋物線交于O，G兩點，過OG的中點H作直線MN（異于直線OG）交拋物線C2于M，N兩點，直線MO與直線GN交于點P．問點P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．?【答案】（1）A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．（2）t的值為2或；（3）點P在一條定直線y＝2x﹣2上．【解答】解：（1）當y＝0時，x2﹣2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，當x＝0時，y＝﹣8，∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．（2）∵F是直線x＝t與拋物線C1的交點，∴F（t，t2﹣2t﹣8）．①如圖，若△BE1D1∽△CE1F1時．則∠BCF1＝∠CBO，∴CF1∥OB．∵C（0，﹣8），∴t2﹣2t﹣8＝﹣8．解得：t＝0（舍去）或t＝2．②如圖，若△BE2D2∽△F2E2C時．過F2作F2T⊥y軸于點T．∵∠BCF2＝∠BD2E2＝90°，∴∠CBO+∠BCO＝90°，∠F2CT+∠BCO＝90°，∴∠F2CT＝∠OBC，又∵∠CTF2＝∠BOC，∴△BCO∽△CF2T，∴，∵B（4，0），C（0，﹣8），∴OB＝4，OC＝8．∵F2T＝t，CT＝﹣8﹣（t2﹣2t﹣8）＝2t﹣t2，∴＝，∴2t2﹣3t＝0，解得：t＝0（舍去）或，綜上，符合題意的t的值為2或；（3）點P在一條定直線上．由題意知拋物線C2：y＝x2，∵直線OG的解析式為y＝2x，∴G（2，4）．∵H是OG的中點，∴H（1，2）．設(shè)M（m，m2），N（n，n2），直線MN的解析式為y＝k1x+b1．則，解得：，∴直線MN的解析式為y＝（m+n）x﹣mn．∵直線MN經(jīng)過點H（1，2），∴mn＝m+n﹣2．同理，直線GN的解析式為y＝（n+2）x﹣2n；直線MO的解析式為y＝mx．聯(lián)立，得，∵直線OM與NG相交于點P，∴n﹣m+2≠0．解得：，∵mn＝m+n﹣2，∴P（，）．設(shè)點P在直線y＝kx+b上，則，整理得，2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，比較系數(shù)，得，∴k＝2，b＝﹣2．∴當k＝2，b＝﹣2時，無論m，n為何值時，等式恒成立．∴點P在定直線y＝2x﹣2上．6．（2023?荊州）已知：y關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．（1）若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，且a＝4b，則a的值是0或2或﹣；（2）如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與x軸有兩個公共點A（﹣2，0），B（4，0），并與動直線l：x＝m（0＜m＜4）交于點P，連接PA，PB，PC，BC，其中PA交y軸于點D，交BC于點E．設(shè)△PBE的面積為S1，△CDE的面積為S2．①當點P為拋物線頂點時，求△PBC的面積；②探究直線l在運動過程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．【答案】（1）2或0或﹣；（2）①6；②當m＝時，S1﹣S2存在最大值，最大值為．【解答】解：（1）①當a﹣2＝0時，即a＝2時，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝3x+，此時y＝3x+與x軸的交點坐標為（﹣，0），與y軸的交點坐標為（0，）；②當a﹣2≠0時，y關(guān)于x的函數(shù)為二次函數(shù)，∵二次函數(shù)圖象拋物線與坐標軸有兩個交點，∴拋物線可能存在與x軸有兩個交點，其中一個交點為坐標原點或與x軸有一個交點與y軸一個交點兩種情況．當拋物線與x軸有兩個交點且一個為坐標原點時，由題意得b＝0，此時a＝0，拋物線為y＝﹣2x2+x．當y＝0時，﹣2x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝．∴其圖象與x軸的交點坐標為（0，0）（，0）．當拋物線與x軸有一個交點與y軸有一個交點時，由題意得，y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b所對應(yīng)的一元二次方程（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0有兩個相等實數(shù)根．∴Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）×a＝0，解得a＝﹣，此時y＝﹣x2+x﹣，當x＝0時，y＝﹣，∴與y軸的交點坐標為（0，﹣），當y＝0時，﹣x2+x﹣＝0，解得x1＝x2＝，∴與x軸的交點坐標為（，0），綜上所述，若y關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的圖象與坐標軸有兩個交點，則a可取的值為2，0，﹣，故答案為：2或0或﹣；（2）①如圖，設(shè)直線l與BC交于點F，根據(jù)題意得，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+8，當x＝0時，y＝8，∴C（0，8），∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，點P為拋物線頂點，∴P（1，9），∵B（4，0），C（0，8），∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+8，∴F（1，6），∴PF＝9﹣6＝3，∴△PBC的面積＝OB?PF＝＝6；②S1﹣S2存在最大值，理由：如圖，設(shè)直線x＝m交x軸于H，由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），∴PH＝﹣m2+2m+8，∵OD∥PH，∴△AOD∽△AHP，∴，∴，∴OD＝8﹣2m，∵S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AOD﹣S△OBC＝＝﹣3m2+8m＝﹣3（m﹣）2+，∵﹣3＜0，0＜m＜4，∴當m＝時，S1﹣S2存在最大值，最大值為．7．（2023?隨州）如圖1，平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），連接BC，點P（m，n）（m＞0）為拋物線上一動點，過點P作PN⊥x軸交直線BC于點M，交x軸于點N．（1）直接寫出拋物線和直線BC的解析式；（2）如圖2，連接OM，當△OCM為等腰三角形時，求m的值；（3）當P點在運動過程中，在y軸上是否存在點Q，使得以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與以B，C，N為頂點的三角形相似（其中點P與點C相對應(yīng)），若存在，直接寫出點P和點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線解析式：y＝﹣x2+x+2，直線BC：y＝﹣x+2．（2）m＝1或m＝或m＝2．（3）P（），Q（0，）或P（），Q（0.）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（2，0），∴拋物線的表達式為y＝a（x+1）（x﹣2），將點C（0，2）代入得，2＝﹣2a，∴a＝﹣1，∴拋物線的表達式為y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2+x+2．設(shè)直線BC的表達式為y＝kx+t，將B（2，0），C（0，2）代入得，，解得，∴直線BC的表達式為y＝﹣x+2．（2）∵點M在直線BC上，且P（m，n），∴點M的坐標為（m，﹣m+2），∴OC＝2∴CM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4，當△OCM為等腰三角形時，①若CM＝OM，則CM2＝OM2，即2m2＝2m2﹣4m+4，解得m＝1；②若CM＝OC，則CM2＝OC2，即2m2＝4，解得或m＝﹣（舍去）；③若OM＝OC，則OM2＝OC2，即2m2﹣4m+4＝4，解得m＝2或m＝0（舍去）．綜上，m＝1或m＝或m＝2．（3）∵點P與點C相對應(yīng)，∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB，①若點P在點B的左側(cè)，則，當△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°時，直線OP的表達式為y＝x，∴﹣m2+m+2＝m，解得或m＝﹣（舍去），∴，即OP＝2，∴，即，解得OQ＝，∴，當△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°時，，∴，即，解得m＝1±（舍去）．當△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°時，PQ＝，OQ＝m﹣（﹣m2+m+2）＝m2﹣2，∴，即，解得m＝，（負值舍去），∴P（），Q（0.）．②若點P在點B的右側(cè)，則∠CBN＝135°，BN＝m﹣2，當△POQ∽△CBN，即∠POQ＝135°時，直線OP的表達式為y＝﹣x，∴﹣m2+m+2＝﹣m，解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），∴，∴，即，解得OQ＝1，∴，當△POQ∽△CNB，即∠PQO＝135°時，PQ＝，OQ＝|﹣m2+m+2+m|＝m2﹣2m﹣2，∴，即，解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），∴，綜上，P（），Q（0，）或P（），Q（0.）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．二．圓的綜合題（共1小題）8．（2023?荊州）如圖，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH為直徑的⊙O分別交AD，BD于點E，F(xiàn)，連接EF．（1）求證：①CD是⊙O的切線；②△DEF∽△DBA；（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．【答案】（1）①②證明見解答過程；（2）sin∠DFE＝．【解答】（1）證明：①∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∵DH⊥AB，∴∠CDH＝∠DHA＝90°，∴CD⊥OD，∵D為⊙O的半徑的外端點，∴CD是⊙O的切線；②連接HF，∴∠DEF＝∠DHF，∵DH為⊙O直徑，∴∠DFH＝90°，∴∠DHF＝90°﹣∠BDH，∵∠DHB＝90°，∴∠DBA＝90°﹣∠BDH，∴∠DHF＝∠DBA＝∠DEF，∵∠EDF＝∠BDA，∴△DEF∽△DBA；（2）解：連接AC交BD于G．∵菱形ABCD，BD＝6，∴AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3，在Rt△AGB中，AG＝＝4，∴AC＝2AG＝8，∵S菱形ABCD＝AC?BD＝AB?DH，∴DH＝＝，由△DEF∽△DBA知：∠DFE＝∠DAH，∴sin∠DFE＝sin∠DAH＝＝＝．三．翻折變換（折疊問題）（共1小題）9．（2023?恩施州）如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的中點，將矩形ABCD沿BE所在的直線折疊，C，D的對應(yīng)點分別為C′，D′，連接AD′交BC′于點F．（1）若∠DED′＝70°，求∠DAD′的度數(shù)；（2）連接EF，試判斷四邊形C′D′EF的形狀，并說明理由．【答案】（1）∠DAD′＝35°；（2）四邊形C′D′EF是矩形，理由見解答．【解答】解：（1）∵點E是AD的中點，∴AE＝DE，由翻折可知：D′E＝DE，∴AE＝D′E，∴∠EAD′＝∠ED′A，∵∠DED′＝∠EAD′+∠ED′A＝70°，∴∠DAD′＝35°；（2）四邊形C′D′EF是矩形，理由如下：如圖，連接EF，由翻折可知：∠EBC＝∠EBG，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EBC＝∠GEB，∴∠GBE＝∠GEB，∴GE＝GB，∵ED′∥BC′，∴∠AFG＝∠AD′E，∴∠AFG＝∠GAF，∴GF＝GA，∴AE＝BF，∵AD＝2AE＝BC′，∴BC′＝2BF，∴F是BC′的中點，∴FC′＝BC′，∵ED′＝ED＝AD，∴FC′＝ED′，∵ED′∥BC′，∴四邊形C′D′EF是平行四邊形，∵∠C′＝∠C＝90°，∴四邊形C′D′EF是矩形．四．作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共1小題）10．（2023?武漢）如圖是由小正方形組成的8×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．正方形ABCD四個頂點都是格點，E是AD上的格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．（1）在圖（1）中，先將線段BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫對應(yīng)線段BF，再在CD上畫點G，并連接BG，使∠GBE＝45°；（2）在圖（2）中，M是BE與網(wǎng)格線的交點，先畫點M關(guān)于BD的對稱點N，再在BD上畫點H，并連接MH，使∠BHM＝∠MBD．?【答案】圖形見解答．【解答】解：（1）如圖（1），線段BF和點G即為所求；理由：∵BC＝BA，CF＝AE，∠BCF＝∠BAE＝90°，∴△BCF≌△BAE（SAS），∴∠CBF＝∠ABE，∴∠FBE＝∠CBF+∠CBE＝∠ABE+∠CBE＝∠CBA＝90°，∴線段BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得BF，∵PE∥FC，∴∠PEQ＝∠CFQ，∠EPQ＝∠FCQ，∵PE＝FC，∴△PEQ≌△CFO（ASA），∴EQ＝FQ，∴∠GBE＝EBF＝45°；（2）如圖（2）所示，點N與點H即為所求，理由：∵BC＝BA，∠BCF＝∠BAE＝90°，CF＝AE，∴△BCF≌△BAE（SAS），∴BF＝BE，∵DF＝DE，∴BF與BE關(guān)于BD對稱∵BN＝BM，∴M，N關(guān)于BD對稱，∵PE/FC，∴△POE∽△QOF，∴，∵MG∥AE∴，∴，∵∠MEO＝∠BEF，∴△MEO∽△BEF，∴∠EMO＝∠EBF，∴OM∥BF，∴∠MHB＝∠FBH，由軸對稱可得∠FBH＝∠EBH，∴∠BHM＝∠MBD．五．幾何變換綜合題（共1小題）11．（2023?隨州）1643年，法國數(shù)學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）當△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，如圖1，將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′C，連接PP′，由PC＝P′C，∠PCP′＝60°，可知△PCP′為等邊三角形，故PP′＝PC，又P′A′＝PA，故PA+PB+PC＝P′A′+PB+PP′≥A′B，由兩點之間線段最短可知，當B，P，P′，A′在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A′B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有∠APC＝∠BPC＝∠APB＝120°；已知當△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費馬點”為A點．（2）如圖4，在△ABC中，三個內(nèi)角均小于120°，且AC＝3，BC＝4，∠ACB＝30°，已知點P為△ABC的“費馬點”，求PA+PB+PC的值；（3）如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知AC＝4km，BC＝2km，∠ACB＝60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，a元/km，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元．（結(jié)果用含a的式子表示）【答案】（1）等邊；兩點之間線段最短；120°；A；（2）5；（3）a．【解答】解：（1）∵PC＝P'C，∠PCP'＝60°，∴△PCP'為等邊三角形，∴PP'＝PC，∠P'PC＝∠PP'C＝60°，又∵P'A'＝PA，∴PA+PB+PC＝PA'+PB+PP'≥A'B，根據(jù)兩點之間線段最短可知，當B、P、P'、A'在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，∴∠BPC+∠P'PC＝180°，∠A'P'C+∠PP'C＝180°，∴∠BPC＝120°，∠A'P'C＝120°，∵將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′C，∴△APC≌△A'P'C，∴∠APC＝∠AP'C'＝120°，∴∠APB＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∴∠APC＝∠BPC＝∠APB＝120°，∵∠BAC≥120°，∴BC＞AC，BC＞AB，∴BC+AB＞AC+AB，BC+AC＞AB+AC，∴三個頂點中頂點A到另外兩個頂點的距離和最小，又∵已知當△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點，∴該三角形的“費馬點”為點A．故答案為：等邊；兩點之間線段最短；120°；A；（2）如圖4，將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，連接PP'，由（1）可知當B、P、P'、A'在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'B，∵∠ACP＝∠A'CP'，∴∠ACP+∠BCP＝∠A'CP'+∠BCP＝∠ACB＝30°，又∵∠PCP'＝60°，∴∠BCA'＝90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC＝A'C＝3，∴A'B＝，即PA+PB+PC的最小值為5；（3）∵總鋪設(shè)成本＝PA×a+PB×a+PC×a＝，∴當PA+PB+PC最小時，總鋪設(shè)成本最低，將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'P'C，連接PP'，A'B，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C＝PC，∠PCP'＝∠ACA'＝90°，P'A'＝PA，A'C＝AC＝4km，∴PP'＝PC，∴PA+PB+PC＝P'A'+PB+PP'，當B、P、P'、A'在同一條直線上時，P'A'+PB+PP'取最小值，即PA+PB+PC取最小值為A'B，過點A'作A'H⊥BC于H，∵∠ACB＝60°，∠ACA'＝90°，∴∠A'CH＝30°，∴A'H＝A'C＝2km，∴HC＝＝（km），∴BH＝BC+CH＝（km），∴A'B＝＝＝2（km），即PA+PB+P