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數學必修一復習提綱

第一章集合及其運算

一.集合的概念、分類：

集合的特征：

（1）確定性（2）無序性⑶互異性

三.表示方法：

⑴列舉法⑵描述法（3）圖示法（4）區(qū)間法

四.兩種關系：

附屬關系：對象e、任集合；包含關系：集合屋、￡集合

五.三種運算：

B={x|xeB}

交集:

A\JB={x\xe^x&B}

并集:

補集:

六.運算性質：

（D41]0=4，/00=。

⑵空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.

⑶假設”那么"「8=力，A\JB=B_

⑷An（QA）=0,AUQ）=U,HCA）^.

⑸（C=跆AB）

（6）集合…’"J的所有子集的個數為2",所有真子集的個數為2"-1,所有非空真子集的個

數為2"-2,所有二元子集（含有兩個元素的子集）的個數為‘J”

第二章函數指

數與對數運算

分數指數暴與根式：

1bx八_axannn〃上n〃an

如果一，那么稱是的次方根，”的次方根為0,假設HU,那么當為奇數時，的次方

根有1個，記做C；當狷偶數時，負數沒有微方根，正數的“次分根有2個，其中正的次方緇

記做丘負的標方根記做一西.

1.負數沒有偶次方根；

fa力為奇數

2.兩個關系式：（◎"=〃；V1〃為偶數

3、正數的正分數指數事的意義：〃"二C

1

正數的負分數指數暴的意義:

4、分數指數第的運算性質:

〃〃/+勿=刖一〃

⑴加?a*=〃切+〃⑵

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⑶(Qm)〃=Qmn(Q?b)m=Qm-bm

(4);

⑸a0=l,其中m、"均為有理數，a,b均為正整數

二.對數及其運算

1,定義：假設ab=N（a〉O,且”1,N>0）,那么b=%N

2.兩個對數:

⑴常用對數：a=l°,b=1ogJ=lgN

⑵自然對數：a=e“2.71828,b=log?=lnN

3.三條性質：

log1=0

（1）1的對數是0,即a:

loga=1

（2）底數的對數是1,即。

⑶負數和零沒有對數.

4.四條運算法那么：

M?

log（MN）=logM+logNlog—二logM-logN

（1）aaa⑵°Na°

log鼐"=llogM

logMn=nlogM

⑹aa;(4)“。.

5.其他運算性質：

⑴對數恒等式：Ologai=b.

log.

logb=

log)

⑵換底公式:

logblogc=logclogbloga=1

⑶abiaab

n..

logbn=—logb

m

(4)ama

函數的概念

一.映射：設A、B兩個集合，如果按照某中對應法那么/,對于集合A中的任意一個元素，在集合B

中都有唯一的一個元素與之對應，這樣的對應就稱為從集合A到集合B的映射.

二.函數：在某種變化過程中的兩個變量*、y,對于X在某個范圍內的每一個確定的值，按照某個對應

法那么，y都有唯一確定的值和它對應，那么稱'是x的函數，記做，=/（、），其中x稱為自變量，x變

化的范圍叫做函數的定義域，和*對應的y的值叫做函數值，函數值，的變化范圍叫做函數的值域.

三.函數'=f（X）是由非空數集A到非空數集B的映

射.四.函數的三要素：解析式；定義域：值域.

函數的解析式

--根據對應法那么的意義求函數的解析式；

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例如：八石+1）=》+2出,求函數/（M的解析式.

函數的解析式一般形式，求函數的解析式；

例如：/（M是一次函數，且_/1/（刈]=4、+3,函數/（M的解析

式.三.由函數人方的圖像受制約的條件，進而求/（動的解析式.

函數的定義域

根據給出函數的解析式求定義域：

⑴整式：xeR

⑵分式：分母不等于0

⑶偶次根式：被開方數大于或等于0

（4）含0次累、負指數累：底數不等于0

⑸對數：底數大于0,且不等于1,真數大于0

二.根據對應法那么的意義求函數的定義域：

例如：）=/（'）定義域為PA],求J=/（3x+2）定義域；

/=/（3*+2）定義域為[2,5],求#=/（*）定義域；

三.實際問題中，根據自變量的實際意義決定的定義域.

函數的值域

根本函數的值域問題：

名稱解析式值域

一次函數y—標+bR

「4〃C一。2

[-------*)

〃>0時，4a

二次函數y=ax/2+法+,

/4ac一%i

(-8,-------]

時，4〃

k

反比例函數y=-且"°}

X

指數函數y=a=U|j>0}

對數函數y=logx

aR

y=sinx

0,1-1

三角函數y=cosx

y—tanxR

二.求函數值域（最值）的常用方法：函數的值域決定于函數的解析式和定義域，因此求函數值域的方法

往往取決于函數解析式的結構特征，常用解法有：觀察法、配方法、換元法（代數換元與三角換元）、常

數別離法、單調性法、不等式法、*反函數法、*判別式法、*幾何構造法和*導數法等.

反函數

反函數：設函如的值域是0,根據這個函數中X,）的關系，用）把》表示出，得

到x=（PG，）.假設對于c中的每一j值，通過*=做夕），都有唯一的一個乂與之對應，那么，^二中⑺

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就表示J是自變量，》是自變量）的函數，這樣的函數'=（*＞。'）0'￡。叫做函數）=/3）3€/）的反

函數，記作X=戶5，習慣上改寫成J=/T（M.

函數/（必存在反函數的條件是：X、）一一對

應.三.求函數/（M的反函數的方法：

⑴求原函數的值域，即反函數的定義域

⑵反解，用）表示乂，得》=/TGO

⑶交換乂、），得

（4）結論，說明定義域

四.函數）=/（必與其反函數的關系：

⑴函數）=/（'）與的定義域與值域互換.

⑵假設-產/3）圖像上存在點那么）=尸（⑼的圖像上必有點3"）,即假設/（〃）=",那

么=a.

⑶函數J=/3）與J=尸3的圖像關于直線J=X對稱.

函數的奇偶性：

一.定義：對于函數/（、）定義域中的任意一個X,如果滿足/（一"）=一/（刈，那么稱函數/（⑼為奇函數；

如果滿足/D=/3）,那么稱函數/⑸為偶函數.

二.判斷函數/（M奇偶性的步驟：

i.判斷函數/（M的定義域是否關于原點對稱，如果對稱可進一步驗證，如果不對稱；

1驗證/出與八一⑼的關系，假設滿足八一⑼=一/⑺，那么為奇函數，假設滿足八一必=/（"）,那

么為偶函數，否那么既不是奇函數，也不是偶函數.

二.奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱.

三./（⑼、雙⑼分別是定義在區(qū)間河、N（“nN0°）上的奇（偶）函數，分別根據條件判斷以下函

數的奇偶性.

1

f(x)-/(Mf(x)+/x)f(x)-g(M/"(M送3)

/'(M

奇奇奇奇偶

奇

奇偶奇

偶奇奇

偶

偶偶偶偶偶

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五.假設奇函數/（X）的定義域包含°,那么

六.一次函數'二版+"/力⑴是奇函數的充要條件是。：。；

二次函數y=ax2+bx+c（aH0）是偶函數的充要條件是b=

0.函數的周期性：

定義：對于函數/（X）,如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值時，都有

f（x+T）=f（x）,那么/（X）為周期函數，7為這個函數的一個周期.

2.如果函數/（X）所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做/（X）的最小正周期.如

工

果函數f（x）的最小正周期為T,那么函數f（ax）的最小正周期為Ia

1.函數的單調性

定義：一般的，對于給定區(qū)間上的函數"X）X勺，

,如果對于屬于此區(qū)間上的任意兩個自變量的值I,

X<X

當I2時滿足：

⑴,那么稱函數/（X）在該區(qū)間上是增函數；

⑵,那么稱函數/（X）在該區(qū)間上是減函數.

判斷函數單調性的常用方法：

1.定義法：

（1）取值；⑵作差、變形；⑶判斷：（4）定論：

*2.導數法：

⑴求函數f（x）的導數/'（X）；

⑵解不等式廣⑶>°，所得x的范圍就是遞增區(qū)間；

⑶解不等式/‘（刈<°,所得X的范圍就是遞減區(qū)間.

3.復合函數的單調性：

對于復合函數y=/【g（x）】，設u=g（x）,那么了=/2），可根據它們的單調性確定復合函數

y=/w（x）］,具體判斷如下表：

y=f(u)增增減減

u=g(x)增減增減

y=f[g(x)]增減減增

4.奇函數在對稱區(qū)間上的單調性相反；偶函數在對稱區(qū)間上的單調性相

同.函數的圖像

根本函數的圖

像.二.圖像變換:

-------------------------------------------優(yōu)質文木-----------------------------

y=/(x)—y=fM+k

將y=圖像上每一點向上優(yōu)>°)或向下伙<°)平移1幻個單位，可得

y=/(?+&的圖像

y=/Wty=f(x+h)

將y=fM圖像上每一點向左(〃>0)或向右(〃<°)平移I〃I個單位，可得

y=1(x+用的圖像

y=/(?ty=af{x)

將y=/a)圖像上的每一點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸(">1)或壓縮

為原來的“倍，可得y=4(?的圖像

y=/(x).y=f(ax)

將y=/(x)圖像上的每一點縱橫坐標保持不變，橫坐標壓縮(">1)或拉伸

2

(0<4<1)為原來的.，可得y=/(ax)的圖像

y=/(x)一y=f(-x)

關于y軸對稱

y=/(x)-y=-/(x)

關于無軸對稱

y=/(x)ty=/(|x|)

將y=/(x)位于>軸左側的圖像去掉，再將)'軸右側的圖像沿)'軸對稱到左

側，可得的圖像

y=/(M—H)l