2023－2024學(xué)年度八年級下學(xué)期期中綜合評估數(shù)學(xué)下冊第十六~十八章說明：共有六個大題，23個小題，滿分120分，作答時間120分鐘．一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四個備選項中只有一項是最符合題目要求的，請將其代碼填入題后括號內(nèi)．錯選、多選或未選均不得分．1．如圖，在中，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．下列各式運算正確的是（

）A． B．C． D．3．在四邊形中，，，加下列條件能使四邊形為菱形的是(

)A． B． C． D．4．如圖，數(shù)字代表所在正方形的面積，則所代表的正方形的面積為（

）A．5 B．25 C．27 D．5．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，的三個頂點A，B，C都在格點上，是邊上的中線，則的長為（

）A． B． C． D．6．如圖，在矩形中，，點P，Q分別在上，，線段在上，且，連接，則的最小長度為（

）A．8 B．10 C．12 D．16二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．寫出一個正整數(shù)n，使是最簡二次根式，則n可以是．8．如圖，在中，對角線，相交于點O，若，，則的周長為．9．在平面直角坐標(biāo)系中，點到原點的距離為．10．如圖，在菱形中，，，為邊上的高，則的長為．11．如圖，將矩形沿對角線折疊，點B落在點E處，若平分，則的長為．12．如圖1，有一張三角形紙片，記為中，，D為邊的中點．將三角形紙片沿剪開，得到兩個三角形，如圖2所示．若將這兩個三角形拼成一個平行四邊形，則該平行四邊形的較長的對角線長為．三、解答題（本大題共5小題每小題6分，共30分）13．（1）計算：．（2）在中，，求的長．14．已知四邊形ABCD中，∠1=∠2，∠B=∠D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．15．《千里江山圖》被稱為中國十大傳世名畫之一，如圖，這是某畫家臨摹的部分畫，已知畫的形狀是一個矩形，長為，寬為．現(xiàn)要裝裱該畫，裝裱后的畫的長兩端分別增加，寬兩端分別增加，求裝裱后的畫的面積．16．如圖，某學(xué)校有一塊四邊形草坪，，，，為方便師生行走，現(xiàn)要修一條小路．(1)求小路的長（結(jié)果保留根號）．(2)求的度數(shù)．17．如圖，四邊形為正方形，E為邊的中點，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，作邊的中點F．(2)在圖2中，作線段的中點G．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．如圖，過道上有一梯子斜靠在墻上，，墻與地面垂直，由于梯子影響了行人的通行，工人師傅將梯子挪動到的位置，且測得．若梯子的長為6m，求的長（結(jié)果保留根號）19．如圖，在中，對角線與相交于點O，點E，F(xiàn)在對角線上，且，連接．(1)求證：．(2)當(dāng)，四邊形是什么特殊四邊形？請說明理由．20．定義：若兩個二次根式a，b滿足，且c是有理數(shù)，則稱a，b是因子二次根式，c為因子．(1)請判斷和是否為因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，請說明理由．(2)若與是因子二次根式，3為因子，求n的值．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．如圖，在中，，為中線，為的中點，過點作交的延長線于點，連接．(1)求證：四邊形為菱形．(2)給再添加一個條件，使得四邊形為正方形．請寫出添加的條件并說明理由．22．【課本再現(xiàn)】三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．【定理證明】如圖1，在中，D，E分別是邊的中點．求證：且．以下是小賢的證明思路：如圖2延長到點F，使，連接．（1）請你根據(jù)小賢添加的輔助線，寫出完整的證明步驟．【知識應(yīng)用】（2）如圖3，在四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點．求證：四邊形是平行四邊形．（3）如圖4，在四邊形中，對角線與相交于點H，E，F(xiàn)分別為邊的中點，連接，分別交于點M，N，且．求證：．六、解答題（本大題共12分）23．如圖在正方形中，E是對角線上的一動點（不與點B，D重合），連接，過點E作交射線于點F，接．(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，當(dāng)點F落在邊上時，和的數(shù)量關(guān)系是．(2)探究問題：如圖2當(dāng)點F落在邊的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立？請判斷并說明理由．(3)拓展應(yīng)用：當(dāng)點E在射線上運動，且時，求的面積．

參考答案與解析

1．C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的對角相等即可求解．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴．故選：C．2．A【分析】本題考查了二次根式的運算．根據(jù)二次根式的加減運算、乘除運算法則計算即可求解．【詳解】解：A、，本選項符合題意；B、，本選項不符合題意；C、，本選項不符合題意；D、，本選項不符合題意；故選：A．3．D【分析】本題考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，先證四邊形是平行四邊形，再由菱形的判定和矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，A、∵，∴平行四邊形為矩形，故選項A不符合題意；B、由，不能判定四邊形為菱形，故選項B不符合題意；C、∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴平行四邊形是矩形，故選項C不符合題意；D、∵，∴平行四邊形為菱形，故選項D符合題意；故選：D．4．B【分析】本題考查了勾股定理．三個正方形的邊長正好構(gòu)成直角三角形的三邊，根據(jù)勾股定理得到字母A所代表的正方形的面積．【詳解】解：由題意可知，直角三角形中，一條直角邊的平方，另一條直角邊的平方為，由勾股定理可知：斜邊的平方，即A所代表的正方形的面積為．故選B．5．B【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，直角三角形的性質(zhì)，先利用勾股定理求出的長，進而利用勾股定理的逆定理證明，則由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得答案．【詳解】解：由網(wǎng)格的特點和勾股定理得，，，∴，∴是直角三角形，且，∵是邊上的中線，∴，故選：B．6．B【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識；在邊上取，連接，則得四邊形是平行四邊形，有，問題轉(zhuǎn)化為求的最小長度，當(dāng)點E在上時，取得最小值；由勾股定理即可求解．取，求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，在邊上取，連接，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，即當(dāng)取最小值時，取得最小值；當(dāng)點E在上時，取得最小值，最小值為線段的長；∵，，∴，由勾股定理得，即的最小長度為10；故選：B．7．1（答案不唯一）【分析】本題考查最簡二次根式的定義．掌握最簡二次根式需滿足1、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；2、被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時，，是最簡二次根式，故答案為：1（答案不唯一）．8．18【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，三角形周長的定義即可解決問題．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，的周長．故答案為：18．9．17【分析】此題考查了平面直角坐標(biāo)系中兩點間的距離．利用兩點間的距離公式進行求解即可．【詳解】解：點到原點的距離為：，故答案為：17．10．【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是求出的長度．首先根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，利用勾股定理，求出的長度，然后結(jié)合菱形中的面積的求法，求出的長即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，∴、互相垂直平分，∴，，在中，由勾股定理，可得，∵，∴，即，解得．故答案為：．11．【分析】本題考查了矩形與折疊，含30度直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識；由折疊性質(zhì)及角平分線定義得到，由含30度直角三角形性質(zhì)得，由勾股定理即可求得．【詳解】解：在矩形中，；由折疊知：，∵平分，∴，∴，∴，∵，，∴，由勾股定理得：；故答案為：．12．【分析】此題主要考查了圖形的剪拼以及勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)等知識．利用等腰三角形的性質(zhì)，進而重新組合得出平行四邊形，進而利用勾股定理求出對角線的長．【詳解】解：如圖，過點A作于點D，∵邊，D為邊的中點，∴，∴，如圖①所示：四邊形是矩形，則其對角線的長為5；如圖②所示：，連接，過點C作于點E，則，∴；如圖③所示：，由題意可得：，∴，∵其中最長的對角線的值為．故答案為：．13．（1）；（2）【分析】本題主要考查了二次根式的混合計算，勾股定理：（1）先計算二次根式除法，再化簡二次根式，最后計算二次根式加減法即可；（2）直接根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）；（2）∵在中，，∴．14．證明見解析．【分析】證明，得，，再由平行四邊形的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】證明：在△ABD和△CDB中，∴，∴，，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．【分析】本題考查了二次根式混合運算的應(yīng)用；根據(jù)題意可分別得到裝裱后畫的長與寬，由長方形面積計算公式即可計算出裝裱后的畫的面積．【詳解】解：裝裱后的畫的長為，寬為，則裝裱后的畫的面積為：．答：裝裱后的畫的面積為．16．(1)(2)【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理：（1）先求出，再利用勾股定理求解即可；（2）根據(jù)（1）所求得到，由勾股定理的逆定理可得，再求出即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴，∴是直角三角形，且，∵，，∴，∴．17．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理：（1）如圖所示，連接交于O，連接并延長交于F，點F即為所求；（2）同理作出中點F，連接交于O，連接交于H，連接交于T，連接并延長交于G，點G即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，連接交于O，連接并延長交于F，點F即為所求；易證明，可推出，易證明，則；（2）解：同理作出中點F，連接交于O，連接交于H，連接交于T，連接并延長交于G，點G即為所求．易證明點H為的中點，點T為中點，則，則可證明G為中點．18．．【分析】此題主要考查勾股定理解三角形，在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；也考查了含30度角直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，30度角所對的直角邊長度為斜邊的一半；根據(jù)勾股定理分別求出兩次梯子距墻根的距離，求差得解．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∵，∴，∴則．19．(1)證明見解析(2)當(dāng)，四邊形是矩形，理由見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，矩形的判定：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到，進而得到，據(jù)此利用即可證明．（2）根據(jù)（1）所求可得，則四邊形是矩形．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，即，又∵，∴．（2）解：當(dāng)，四邊形是矩形，理由如下：由（1）可知，∵，∴，∴四邊形是矩形．20．(1)和是因子二次根式，因子為；(2)．【分析】本題考查二次根式的計算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)因子二次根式的定義進行計算即可；（2）根據(jù)因子二次根式的定義得到，進行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴和是因子二次根式，因子為；（2）解：由題意，得：，∴，∴．21．(1)見解析(2)當(dāng)時，四邊形是正方形，理由見解析【分析】（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得，進而可知，可證明四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)“一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形”證明結(jié)論即可；（2）當(dāng)時，四邊形是正方形．因為當(dāng)時，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，即，然后根據(jù)“有一個角為直角的菱形是正方形”即可證明四邊形是正方形．【詳解】（1）證明：∵為的中點，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，為中線，∴，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形；（2）當(dāng)時（也可填或或），四邊形是正方形，理由如下：∵，為中線，∴，即，∵由（1）可知四邊形是菱形，∴四邊形是正方形．【點睛】本題主要考查了菱形得判定、正方形的判定、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用是解題關(guān)鍵．22．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，則平行且等于，得平行且等于．再證四邊形是平行四邊形，得平行且等于，即可得出結(jié)論；（2）連接，由，分別是，的中點，得，，由，分別是，的中點，得，，故，，從而四邊形是平行四邊形；（3）取的中點，連接、，根據(jù)三角形中位線定理得到，，，，根據(jù)題意得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理解答即可．【詳解】證明：（1）如圖，延長到點，使，連接連接．，，四邊形是平行四邊形，平行且等于，平行且等于．四邊形是平行四邊形，平行且等于．又，∴且；（2）四邊形是平行四邊形；理由如下：連接，如圖：，分別是，的中點，∴，，，分別是，的中點，∴，，∴，，四邊形是平行四邊形；（3）取的中點，連接、，是的中點，是的中點，，，∴，同理，，，∴，∵，∴，∴，，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等邊對等角等知識；熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．23．(1)(2)（1）中結(jié)論仍然成立，理由見解析(3)5或13【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等：（1）過點E分別作的垂線，垂足分別為G、H，證明四邊形是正方形得到，進而證明，即可得到（2）仿照（2）求解即可；（3）分點E在線段上和在線段的延長線上兩種情況利用勾股定理求出即可得到答案．【詳