2024年湖南初中學業(yè)水平考試模擬卷數學溫馨提示：本卷共三道大題，滿分120分，考試時間120分鐘．一、選擇題（本大題有10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知，若，則的相反數是（

）A． B． C． D．2．如圖，，點E為上一點，連接．若，，則的大小為（）A． B． C． D．3．如圖是小強用八塊相同的小正方體積木搭建的幾何體，這個幾何體的左視圖是（

）

A．

B．

C．

D．

4．《紅樓夢》是我國古典四大名著之一，其總字數大約731000字，其中731000用科學記數法表示應為（

）A． B． C． D．5．圖1是一把扇形書法紙扇，圖2是其完全打開后的示意圖，外側兩竹條和的夾角為，的長為，貼紙部分的寬為，則弧的長為（

）A． B． C． D．6．下列說法正確的是（

）A．隨機拋擲一枚硬幣，反面一定朝上B．數據3，3，5，5，8的眾數是8C．某商場抽獎活動獲獎的概率為，說明每買50張獎券中一定有一張中獎D．想了解湖南省城鎮(zhèn)居民人均年收入水平，宜采用抽樣調查7．如圖，將四邊形紙片ABCD沿EF折疊，點A落在A1處，若∠1+∠2＝90°，則∠A的度數是（）

A．45° B．40° C．35° D．30°8．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數學名著，作者是我國明代數學家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？”譯文：“有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時，秋千的踏板距離地面的高度就與人的身高相等，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直（如圖所示），試問繩索有多長？”若設繩索長為尺，則根據題意可列方程為（

）A． B．C． D．9．如圖，點，，，在上，，垂足為，若，，則（

）A．6 B． C． D．310．如圖，二次函數的圖象與軸正半軸相交于，兩點，與軸相交于點，對稱軸為直線，且，則下列結論：①；②；③；④關于的方程有一個根為．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題有8個小題，每小題3分，共24分）11．已知，，那么．12．如圖，在⊙O中，，，則的度數為．13．已知關于的一元二次方程的一個根為，則它的另一個根為．14．如圖，小明在處測得風箏的仰角為，同時在正對著風箏方向距處30米的處，小明測得風箏的仰角為，則風箏此時的高度米．（結果保留根號）15．下列算式中計算正確的有（填序號）．①，②，③，④．16．不等式組的正整數解是．17．如圖，是坐標原點，平行四邊形的頂點的坐標為，頂點在軸的負半軸上，反比例函數的圖像經過位于第二象限的頂點，若平行四邊形的面積為16，則的值為．18．如圖1，在中，，，點為邊的中點，作，射線交邊于點，設，，若與的函數圖象如圖2所示，且其頂點坐標為，則的值為．三、解答題（本大題有8個小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小題8分，第23、24題每小題9分，第25、26題每小題10分，共66分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19．計算：．20．已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，求代數式的值．21．端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)佳節(jié)，民間歷來有吃“粽子”的習俗．我市某食品廠為了解市民對去年銷量較好的肉餡粽、豆沙餡粽、紅棗餡粽、蛋黃餡粽(以下分別用A、B、C、D表示)這四種不同口味粽子的喜愛情況，在節(jié)前對某居民區(qū)市民進行了抽樣調查，并將調查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖(尚不完整)．

請根據以上信息回答：(1)本次參加抽樣調查的居民有多少人？(2)將兩幅不完整的圖補充完整；(3)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一個，煮熟后，小王吃了兩個．用列表或畫樹狀圖的方法，求他第二個吃到的恰好是C粽的概率．22．在中，，是的中點，E是的中點，過點作交的延長線于點．(1)證明：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．23．某電器超市銷售每臺進價分別為160元、120元的A、B兩種型號的電風扇，如表是近兩周的銷售情況：銷售時段銷售數量銷售收入A種型號B種型號第一周3臺4臺1200元第二周5臺6臺1900元（進價、售價均保持不變，利潤=銷售收入-進貨成本）(1)求A、B兩種型號的電風扇的銷售單價；(2)若超市準備用不多于7500元的金額再采購這兩種型號的電風扇共50臺，求A種型號的電風扇最多能采購多少臺？(3)在（2）的條件下，超市銷售完這50臺電風扇能否實現利潤超過1850元的目標？若能，請給出相應的采購方案；若不能，請說明理由．24．在四邊形中，，，，對角線與相交于點，線段、的中點分別為點、．(1)求證：；(2)求的值；(3)若直線與線段、分別相交于點、，的面積為2，求四邊形的面積．25．如圖，平面內有一條線段，分別過點、向軸作垂線，垂足分別點、，我們把線段稱之為線段在軸上的射影，線段的長稱之為線段在軸上的射影長．(1)若雙曲線上有兩點、，求線段在軸上的射影長；(2)若直線的圖象上有兩點、，且線段在軸上的射影長為4，求的長；(3)若已知拋物線和直線，其中、、滿足，拋物線過點，且與直線相交于、兩點，求線段在軸上的射影長的取值范圍．26．新定義：垂直于圖形的一邊且等分這個圖形面積的直線叫作圖形的等積垂分線，等積垂分線被該圖形截的線段叫做等積垂分線段．問題探究：(1)如圖1，等邊邊長為3，垂直于邊的等積垂分線段長度為______；(2)如圖2，在中，，，，求垂直于邊的等積垂分線段長度；(3)如圖3，在四邊形中，，，，求出它的等積垂分線段長．

參考答案與解析

1．B【分析】本題考查了倒數及相反數的定義，熟練掌握相關概念是求解的關鍵．先求出的值，再求的相反數即可求解．【詳解】解：∵，∴，則的相反數為，故選：B．2．C【分析】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，先根據平行線的性質求出的度數，再利用三角形外角的性質求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故選：C．3．D【分析】本題考查了簡單幾何體的三視圖，根據從左面看得到的圖形是左視圖，可得答案．【詳解】解：這個幾何體的左視圖是故選：D．4．B【分析】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值10時，n是正整數；當原數的絕對值1時，n是負整數．【詳解】解：，故選：B．5．D【分析】本題主要考查了弧長計算，直接根據弧長計算公式可進行求解．【詳解】解：的長為，外側兩竹條和的夾角為，的長為：．故選：D．6．D【分析】本題考查了事件的概率，眾數，判斷全面調查與抽樣調查，掌握以上知識是解題的關鍵．根據事件的概率，眾數，判斷全面調查與抽樣調查，逐項分析判斷即可．【詳解】A．“隨機拋擲一枚硬幣，反面朝上”是隨機事件，故該選項不正確，不符合題意；B．數據3，3，5，5，8的眾數是3，5，故該選項不正確，不符合題意；C．某次抽獎活動中獎的概率為，中獎是隨機事件，每買50張獎券，不一定有一次中獎，故該選項不正確，不符合題意；D．想了解湖南省城鎮(zhèn)居民人均年收入水平，宜采用抽樣調查，故該選項正確，符合題意；故選D．7．A【分析】根據翻折變換的性質和平角的定義求出∠3+∠4，再利用三角形的內角和定理列式計算即可得解．【詳解】解：∵四邊形紙片ABCD沿EF折疊，點A落在A1處，∴∠3+∠4=（180°-∠1）+（180°-∠2）=180°-（∠1+∠2），∵∠1+∠2=90°，∴∠3+∠4=180°-×90°=180°-45°=135°，在△AEF中，∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-135°=45°．故選：A．

【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，翻折變換的性質，平角的定義，熟記各性質并整體思想的利用是解題的關鍵．8．B【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，解題關鍵是根據題意畫出圖形，再利用勾股定理求解．過點作于點，根據題意可得尺，尺，尺，由勾股定理可得，代入數值即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，過點作于點，設繩索長為尺，根據題意，可得尺，尺，尺，由勾股定理可得，即．故答案為：B．9．A【分析】連接，根據圓周角定理求得，在中可得，可得的長度，故長度可求得，即可求解．【詳解】解：連接，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，垂足為，∴，故選：A．【點睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及解直角三角形，作出合適的輔助線是解題的關鍵．10．C【分析】本題主要考查二次函數的圖象和性質．①根據拋物線的開口方向，對稱軸，與軸的交點坐標，可判斷，，與的大小關系；②將代入二次函數，可得；③根據題意可得，結合點的坐標為，點位于軸負半軸，即可判斷該結論是否正確；④求得點的坐標為，可得，結合，可求得點的坐標，進而求得點的坐標．【詳解】解：①∵拋物線開口向下，∴．將代入二次函數解析式，得．∴點的坐標為．∵點位于軸負半軸，∴．∵對稱軸，∴．∴．結論①正確．②將代入二次函數，得．根據二次函數圖象可知．結論②錯誤．③∵，，∴．又點的坐標為，點位于軸負半軸，∴．∴．結論③正確．④∵，點的坐標為，點位于軸負半軸，點位于軸正半軸，∴點的坐標為．因為二次函數的圖象過點，可得．化簡，得．因為對稱軸，所以，．將代入，得．可得．所以，點的坐標為．設點的坐標為．根據題意可得．則．所以，點的坐標為．所以，關于的方程的兩個解為，．結論④正確．綜上所述，結論正確的為①③④．故選：C．11．【分析】本題考查了代數式求值問題，也考查二次根式的乘法運算，利用平方差公式進行因式分解是解決本題的關鍵．將原式進行因式分解，然后整體代入求值．【詳解】解：，故答案為：．12．【分析】由題意易得AB=AC，然后根據等腰三角形的性質及三角形內角和可求解．【詳解】解：，AB=AC，∠B=∠C，，；故答案為70°．【點睛】本題主要考查圓的基本性質，熟練掌握圓的基本性質是解題的關鍵．13．【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系．熟練掌握一元二次方程的根與系數的關系是解題的關鍵．設方程的兩個根分別為，令，由題意知，，，計算求解即可．【詳解】解：設方程的兩個根分別為，令，由題意知，，，∴，解得，，∴，∴它的另一個根為，故答案為：．14．【分析】本題考查的是解直角三角形的應用——仰角俯角問題，此題涉及到銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值，熟知相關知識是解題的關鍵．根據“等角對等邊”求出的長，然后在Rt中，利用三角函數求出的長．【詳解】解：由題意可得，，米又∵∴，∴米，在Rt中，解得，故答案為：．15．②③##③②【分析】本題主要考查合并同類項，完全平方公式，同底數冪乘除法，二次根式的加法，熟知相關計算法則是解題的關鍵．根據合并同類項，完全平方公式，同底數冪乘除法，二次根式的加法等計算法則求解判斷即可．【詳解】解：①，原計算錯誤，不符合題意；②，原計算正確，符合題意；③，原計算正確，符合題意；④與不是同類二次根式，不能合并計算，原計算錯誤，不符合題意；故選：②③．16．1【分析】本題考查求一元一次不等式組的正整數解，先分別求解兩個不等式的解集，找到解集的公共部分，再找到正整數解即可．【詳解】解：解可得：，解可得：，∴不等式組的解集為，∴正整數解為：1，故答案為：1．17．【分析】此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征以及平行四邊形的性質．過點A作于點D，根據平行四邊形的性質可得軸，再由平行四邊形的面積可得，從而得到點B的坐標為，即可求解．【詳解】解：如圖，過點A作于點D，∵平行四邊形的頂點的坐標為，∴軸，∵平行四邊形的面積為16，∴，∴，∴點B的橫坐標為∴點B的坐標為，把點代入得：，解得：．故答案為：．18．【分析】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質，二次函數的圖象與性質等知識．熟練掌握勾股定理，相似三角形的判定與性質，二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．設，則，由勾股定理得，，，證明，則，即，可得，將代入，可求，則，可求頂點坐標為，然后計算求解即可．【詳解】解：設，則，由勾股定理得，，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即，整理得，，將代入得，，解得，，∴，∴頂點坐標為，∴，∴，故答案為：．19．【分析】本題考查了零指數冪，負整數指數冪，正弦等知識．熟練掌握零指數冪，負整數指數冪，正弦是解題的關鍵．先分別計算零指數冪，負整數指數冪，正弦，然后進行乘法運算，最后進行加減運算即可．【詳解】解：．20．【分析】本題考查根的判別式，分式的化簡求值，根據方程有兩個相等的實數根，得到，求出的值，根據分式的運算法則化簡后，把的值代入計算即可．【詳解】解：由題意，得：，解得，又，∴當時，．21．(1)本次參加抽樣調查的居民有60人；(2)見詳解(3)他第二個吃到的恰好是C粽的概率是．【分析】（1）用D的人數除以D所占的百分比即可求得結論；（2）分別求得C的人數及A、C所占的百分比即可補全統(tǒng)計圖；（3）畫樹狀圖列出所有等可能的情況，從中找出第二次吃C粽的情況，然后利用概率公式計算即可．【詳解】（1）解：D組人數24，占40%，24÷40%=60（人）．答：本次參加抽樣調查的居民有60人;（2）解：C組人數為：60-18-6-24=12人，A組所占百分比為：18÷60×100%=30%，C組所占百分比為：12÷60×100%=20%,可補全圖形如圖:（3）解：如圖；兩次吃粽子的所有等可能情況共有12中，其中第二次吃C粽的情況有3種，他第二個吃到的恰好是C粽的概率PC粽=．答：他第二個吃到的恰好是C粽的概率是．【點睛】本題考查條形圖統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，畫樹狀圖或列表求概率，掌握從條形圖和扇形圖獲取信息處理信息，畫樹狀圖求概率是解題關鍵．22．(1)見解析(2)【詳解】（1）∵，是的中點，∴，∵，∴，，又是的中點，∴∴，∴，∴∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形．（2）連結，∵，，∴四邊形是平行四邊形，則，∴．23．(1)A、B兩種型號電風扇的銷售單價分別為200元、150元；(2)超市最多采購A種型號電風扇37臺時，采購金額不多于7500元；(3)能，方案見解析．【分析】（1）設A、B兩種型號電風扇的銷售單價分別為元、元，根據題意可列出關于x，y的二元一次方程，解出x，y的值即可；（2）設采購A種型號電風扇臺，則采購B種型號電風扇臺．根據題意可列出關于a的一元一次不等式，求出a的解集，再結合a的實際意義即可解答；（3）設采購A種型號電風扇m臺，則采購種型號電風扇臺，根據題意可列出關于m的一元一次不等式，求出m的解集，再結合（2）的條件和m的實際意義即可解答．【詳解】（1）設A、B兩種型號電風扇的銷售單價分別為元、元，依題意得：，解得：，答：A、B兩種型號電風扇的銷售單價分別為200元、150元；（2）設采購A種型號電風扇臺，則采購B種型號電風扇臺．依題意得：，解得：，是整數，最大是37，答：超市最多采購A種型號電風扇37臺時，采購金額不多于7500元；（3）設采購A種型號電風扇m臺，則采購種型號電風扇臺，根據題意得：，解得：．∵，且為整數，在（2）的條件下超市能實現利潤超過1850元的目標的相應方案有兩種：當時，采購種型號的電風扇36臺，種型號的電風扇14臺，當時，采購種型號的電風扇37臺，種型號的電風扇13臺．【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應用，一元一次不等式的實際應用．理解題意，找出數量關系，列出等式或不等式是解題關鍵．24．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）由點，分別為，的中點，可得，，則，，證明即可；（2）由勾股定理得，，則，由，可得，根據，求解作答即可；（3）證明，則，，可求，證明是等腰直角三角形，由，可求，，根據，計算求解即可．【詳解】（1）點，分別為，的中點，∴，，∵，，∴，，∴，，∵，，，∴．（2）解：由勾股定理得，，∴，∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，∴，∴，解得，，∵，，，∴，是等腰直角三角形，∴，∴，，∴，∴四邊形的面積為．【點睛】本題考查了中位線，正弦，相似三角形的判定與性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質等知識．熟練掌握中位線，正弦，相似三角形的判定與性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．25．(1)(2)(3)【分析】（1）將、代入雙曲線，即可求出，的值，再根據軸上兩點間的距離為橫坐標之差的絕對值，即可得出答案；（2）由點，在上，列出方程組，得到，與，的關系為，根據線段在軸上的射影長為4，即可得，，再利用勾股定理即可求得的值；（3）已知拋物線和直線相交、兩點，可令，得方程，設其兩根為，，根據拋物線過點及根與系數的關系得，，由距離公式可得，變形為，將相應的值整體代入得，再根據，求出的取值范圍，即可得出答