-2024學(xué)年重慶市榮昌中學(xué)高一數(shù)學(xué)（下）期中考試卷(試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘)2024.04一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2)，向量AC→=(?4,?3)，則向量BC→A.(?7,?4) B.(7,4)2.把△ABC按斜二測(cè)畫法得到△A'B'C'(如圖所示)，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=32，那么△ABC是一個(gè)A.等邊三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.三邊互不相等的三角形3.已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=1，且|a+b|=A.π6 B.π3 C.5π64.在△ABC中，acosA=bcosB，則三角形的形狀為(

)A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形

C.等邊三角形 D.等腰三角形5.在正四面體P?ABC中，棱長(zhǎng)為2，且E是棱AB中點(diǎn)，則異面直線PE與BC夾角的余弦值為(

)A.?36 B.36 6.如圖1，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為1，高為2，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖2，這是水面恰好是中截面，則圖1中容器水面的高度是(

)A.54 B.53 C.437.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)E在線段A1C1上，F(xiàn)，A.FM//A1C1

B.當(dāng)E為A1C1中點(diǎn)時(shí)，BE⊥FM

C.三棱錐B?CEF的體積為定值

8.在△ABC中，AB?AC=9，sinB=cosAsinC，S△ABC=6，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，且CP=x?A.116+63 B.116二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列命題中的真命題是(

)A.若直線a不在平面α內(nèi)，則a/?/α

B.若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l/?/α

C.平行于同一平面的兩直線可以相交

D.若l/?/α，則直線l與平面α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)10.已知復(fù)數(shù)z=21+3i，其中A.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的模為1

B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

C.復(fù)數(shù)z是方程x2+x+1=0的解

D.復(fù)數(shù)ω滿足|ω?z|=1，則|ω|11.在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝蠺rulli，于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄.現(xiàn)測(cè)量一個(gè)Trulli的屋頂，得到圓錐SO(其中S為頂點(diǎn)，O為底面圓心)，母線SA的長(zhǎng)為6m，C是母線SA的靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn).從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，燈光帶的最小長(zhǎng)度為213m.下面說法正確的是A.圓錐SO的側(cè)面積為12πm2

B.過點(diǎn)S的平面截此圓錐所得截面面積最大值為82m2

C.圓錐SO的外接球的表面積為72πm三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若一個(gè)球的體積為43π13.平面向量a=(0,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R)，且c與a的夾角等于14.正三棱柱ABC?A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點(diǎn)，則直線EF四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

回答下列問題．

(1)已知復(fù)數(shù)z=m+2i是方程x2+6x+13=0的根(i是虛數(shù)單位，m∈R)，求|z|．

(2)已知復(fù)數(shù)z=?3+2i，設(shè)復(fù)數(shù)z1=a?i2023z?，(z16.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D是AC邊上的點(diǎn)，2bsinB=(2a?c)sinA+(2c?a)sinC．

(1)求∠ABC的大??；

(2)若CD=1，AD=BD=2，求BC的長(zhǎng)．17.(本小題15分)

如圖：在正方體ABCD?A1B1C1D1中AB=2，M為DD1的中點(diǎn)．

(1)求三棱錐M?ABC的體積；

(2)求證：BD1//平面AMC；18.(本小題17分)

如圖，某公園改建一個(gè)三角形魚塘，∠C=90°，AB=2，BC=1，現(xiàn)準(zhǔn)備養(yǎng)一批觀賞魚供游客觀賞．

(1)若在△ABC內(nèi)部取一點(diǎn)P，建造APC連廊供游客觀賞，如圖①，使得點(diǎn)P是等腰三角形PBC的頂點(diǎn)，且∠CPB=2π3，求連廊AP+PC+PB的長(zhǎng)；

(2)若分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)并連建造連廊，使得△DEF變成池中池，放養(yǎng)更名貴的魚類供游客觀賞，如圖②，若△DEF為正三角形，求△DEF面積S的最小值．(本小題17分)

三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：a1a2a3b1b2b3c1c2c3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2.若a×b=ij答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】求出有向線段AB，然后由BC=AC?【解答】

解：由已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，

得到AB=(3,1)，向量AC=(?4,?3)，

則向量BC=AC?2.【答案】A

【解析】解：根據(jù)斜二側(cè)畫法還原直線△ABC在直角坐標(biāo)系的圖形，如下圖所示：

由圖易得AB=BC=AC=2

故△ABC為等邊三角形，

故選A

根據(jù)斜二側(cè)畫法還原直線△ABC在直角坐標(biāo)系的圖形，進(jìn)而分析出△ABC的形狀．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是斜二側(cè)畫法，三角形形狀的判斷，解答的關(guān)鍵是斜二側(cè)畫法還原直線△ABC在直角坐標(biāo)系的圖形．3.【答案】B

【解析】【分析】本題考查向量的數(shù)量積的求法，模的運(yùn)算法則以及向量的夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題．

利用向量的模的運(yùn)算法則以及向量的數(shù)量積求解向量的夾角即可．【解答】

解：向量a，b滿足|a|=1，|b|=1，且|a+b|=3，

可得a2+2a?b+b2=3，

可得a?b4.【答案】B

【解析】解：∵acosA=bcosB，

∴根據(jù)正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．

∵A∈(0,π)，

∴2A=2B或2A+2B=π，得A=B或A+B=π2，

因此△ABC是等腰三角形或直角三角形．

故選：B．

根據(jù)正弦定理將題中等式化簡(jiǎn)，得sinAcosA=sinBcosB，利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)得sin2A=sin2B.再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式加以計(jì)算，可得A=B或A+B=π5.【答案】B

【解析】解：如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，PG，

因?yàn)镋是棱AB中點(diǎn)，

所以EG/?/BC，故∠PEG或其補(bǔ)角為異面直線PE與BC夾角，

又正四面體棱長(zhǎng)為2，故PE=PG=3,EG=1，

cos∠PEG=PE2+EG2?PG22PE?EG=123=36，

故異面直線PE與BC夾角的余弦值為36．6.【答案】D

【解析】解：在圖2中，水中部分是四棱柱，

四棱柱底面積為S=12×12×sin60°?12×(12)2×sin60°=3316，高為2，

∴四棱柱的體積為V=2a×3316=338，

設(shè)圖1中容器內(nèi)水面高度為?，7.【答案】D

【解析】解：對(duì)A選項(xiàng)：因?yàn)镕、M分別是AD、CD的中點(diǎn)，所以FM//AC//A1C1，所以A選項(xiàng)正確；

對(duì)B選項(xiàng)：因?yàn)楫?dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，BE⊥A1C1，所以BE⊥FM，所以B選項(xiàng)正確；

對(duì)C選項(xiàng)：三棱錐B?CEF是以面BCF為底，又高是定值，所以其體積也為定值，所以C選項(xiàng)正確；

對(duì)D選項(xiàng)：因?yàn)锽F與平面CC1D1D有交點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)

E，使得平面BEF/?/8.【答案】C

【解析】解：設(shè)|AB|=c，|AC|=b，根據(jù)題意得bccosA=9b=ccosA12bcsinA=6，

解得b=3，c=5，sinA=45，cosA=35，∴|CB|=4，∴CP=x?CA|CA|+y?CB|CB|=x3CA+y4CB，

又∵A、P、B三點(diǎn)共線，∴x3+y4=1，且x>0，y>0，

∴2x+9.【答案】CD

【解析】解：對(duì)于A，若直線a不在α內(nèi)，則aa//α或a與α相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，a和α相交時(shí)，直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知平行于同一個(gè)平面的兩條直線可能相交，平行，或異面，故C正確．

對(duì)于D，根據(jù)線面平行的定義可知，若l/?/α，則l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)，故D正確．

故是真命題的為：CD．

故選：CD．

對(duì)于A，根據(jù)直線和平面的位置關(guān)系判斷；

對(duì)于B，利用直線和平面的位置關(guān)系判斷；

對(duì)于C，根據(jù)線面平行的性質(zhì)判斷；

對(duì)于D，利用線面平行的性質(zhì)判斷即可．

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查空間直線和平面之間的位置關(guān)系，熟練掌握線面平行的定義和性質(zhì)是答題的關(guān)鍵，屬于中檔題．10.【答案】ABD

【解析】解：z=2(1?3i)1+3=12?32i，

∴z?=12+32i，|z?|=1，A正確；

復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(12,?32)，在第四象限，B正確；

解x2+x+1=0得，x=?12?32i或?12+32i，∴復(fù)數(shù)z不是方程x2+x+1=0的解，C錯(cuò)誤；

設(shè)ω=a+bi，(a,b∈R)，則ω?z=(a?12)+(b+3211.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于A：設(shè)圓錐底面半徑為r，如圖，

在△A'SC中，A'S=6，SC=2，A'C=213，

所以cos∠A'SC=A'S2+SC2?A'C22A'S?SC=36+4?522×6×2=?12，

所以∠A'SC=2π3，

所以2πr=2π3×6，∴r=2(米)，

所以圓錐的側(cè)面積為：12×6×2π×2=12π(m2)，故A正確；

對(duì)于B，在△ASB中，cos∠ASB=SA2+SB2?AB22SA?SB=79，

所以sin∠ASB=1?4981=429，

所以過點(diǎn)S平面截此圓錐所得截面面積最大為

S△SAB=12SA?SB?sin∠ASB=12×6×6×429=82(m2)，故B正確；

對(duì)于C，設(shè)圓錐SO的外接球半徑為R，則R2=(SO?R)2+r2，

又12.【答案】12π

【解析】解：由4π3R3=43π得R=13.【答案】5【解析】解：a=(0,2)，b=(4,2)，c=ma+b=(4,2m+2)，

∵c與a的夾角等于c與b的夾角，

∴a?c|a||c|=b?14.【答案】34

2【解析】解：取CC1的中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，

因?yàn)辄c(diǎn)E為棱BB1的中點(diǎn)，所以BC//EM，BC=EM=2，

所以∠FEM為異面直線EF與直線BC所成角，

連接B1F，因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1，B1F?平面A1B1C1，所以BB1⊥B1F，

因?yàn)椤鰽1B1C1為邊長(zhǎng)是2的正三角形，F(xiàn)為A1C1的中點(diǎn)，所以B1F=3，

所以EF=B1F2+B1E2=3+1=2，

MF=C1F2+C1M2=2，

所以由余弦定理得cos∠FEM=EF2+EM2?FM22EF?EM=4+4?22×2×2=34，

所以直線EF與直線BC所成角的余弦值為34，

連接AE并延長(zhǎng)交A1B1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接FG交B1C1于點(diǎn)D，連接ED，

所以過點(diǎn)A，E，F(xiàn)的截面為四邊形AEDF，

因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點(diǎn)，所以AE=AF=1+4=5，

過F作FN//B1C1，交A1B1于點(diǎn)N，則N為15.【答案】解：(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)z=m+2i是方程x2+6x+13=0的根，

所以(m+2i)2+6(m+2i)+13=0，整理得m2+6m+9+(4m+12)i=0，

所以m2+6m+9=04m+12=0，解得m=?3，

所以z=?3+2i，|z|=(?3)2+22=13．

(2)因?yàn)閦=?3+2i，【解析】(1)將z代入方程求出m，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可；

(2)根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z1，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義列不等式組求解即可．

16.【答案】解：(1)由正弦定理以及已知可得2b2=a(2a?c)+c(2c?a)，

整理可得，a2+c2?b2=ac．

所以cos∠ABC=a2+c2?b22ac=ac2ac=12．

又∠ABC∈(0,π)，所以∠ABC=π3．

(2)

在△BDC中，由余弦定理可得cos∠BDC=BD2+CD2?BC22BD?CD=5?a24．

在△BDA【解析】(1)由正弦定理角化邊，整理可得a2+c2?b2=ac，然后根據(jù)余弦定理即可求得cos∠ABC=12，進(jìn)而根據(jù)角的范圍，即可得出答案；

(2)在△BDC以及△BDA17.【答案】解：(1)∵正方體ABCD?A1B1C1D1中AB=2，M為DD1的中點(diǎn)，

∴MD⊥底面ABC，VM?ABC=13?S△ABC?MD=13×12×2×2×1=23；

(2)證明：如圖，連接BD，設(shè)交AC于點(diǎn)O，∵O是DB的中點(diǎn)，M是DD1的中點(diǎn)，

∴MO//BD1，且MO?平面AMC，BD1?平面AMC，

∴BD1/?/平面AMC；

(3)證明：∵N是CC1的中點(diǎn)，M是DD【解析】(1)根據(jù)條件可得出三棱錐M?ABC的高為MD=1，底面ABC的面積為2，然后根據(jù)三棱錐的體積公式求出體積即可；

(2)連接BD，設(shè)交AC于點(diǎn)O，容易說明BD1//MO，然后根據(jù)線面平行的判定定理即可得出BD1/