專題36數(shù)列的概念與表示一、【知識(shí)梳理】【考綱要求】1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1．?dāng)?shù)列的定義按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．4．?dāng)?shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．【常用結(jié)論】1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2.在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))【方法技巧】1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式.2.Sn與an關(guān)系問題的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.3.形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng).4.形如an＋1＝an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1代入求出通項(xiàng).5.形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式可以化為(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵.6.形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.7.解決數(shù)列周期性問題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或前n項(xiàng)和.8.求數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法(1)函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若借助通項(xiàng)的表達(dá)式觀察出單調(diào)性，直接確定最大(小)項(xiàng)，否則，利用作差法.(2)利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項(xiàng).二、【題型歸類】【題型一】由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)【典例1】(多選)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則下列結(jié)論正確的是()A.an＝eq\f(1,n（n－1）)B.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,\f(1,n（n－1）)，n≥2))C.Sn＝－eq\f(1,n)D.數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差數(shù)列【典例2】已知數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.【典例3】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋.①求a1的值；②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【題型二】累加法【典例1】在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，則an等于()A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnn D．1＋n＋lnn【典例2】在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)，則通項(xiàng)公式an＝________.【題型三】累乘法【典例1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其首項(xiàng)a1＝1，且滿足3Sn＝(n＋2)an，則an＝______.【典例2】已知a1＝2，an＋1＝2nan，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.【題型四】數(shù)列的單調(diào)性【典例1】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(3n＋k,2n)，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)【典例2】等差數(shù)列{an}的公差d＜0，且aeq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,11)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù)n的值為()A．5 B．6C．5或6 D．6或7【題型五】數(shù)列的周期性【典例1】若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，則a2022的值為()A．2 B．－3C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)【典例2】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)，則a2020的值為()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2n，a1＝13，則eq\f(an,n)取最小值時(shí)，n＝()A.3 B.4 C.5 D.6【訓(xùn)練二】(多選)若數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則下列說法正確的有()A．Tn無(wú)最大值 B．a(chǎn)n有最大值C．T2023＝1 D．a(chǎn)2023＝1【訓(xùn)練三】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn＝(－1)nan＋eq\f(1,2n)，則S1＋S3＋S5等于()A．0B.eq\f(17,64)C.eq\f(5,64)D.eq\f(21,64)【訓(xùn)練四】意大利數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(xiàn)(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用．若此數(shù)列被2整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的前2020項(xiàng)的和為()A．672 B．673C．1347 D．2020【訓(xùn)練五】若數(shù)列{an}滿足：對(duì)于任意正整數(shù)n，{an＋1－an}為單調(diào)遞減數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為“差遞減數(shù)列”．給出下列{an}(n∈N*)，其中是“差遞減數(shù)列”的有()A．a(chǎn)n＝3n B．a(chǎn)n＝n2＋1C．a(chǎn)n＝eq\r(n) D．a(chǎn)n＝lneq\f(n,n＋1)【訓(xùn)練六】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．四、【強(qiáng)化測(cè)試】【單選題】1.數(shù)列3，6，12，21，x，48，…中的x＝()A．29 B．33C．34 D．282.已知數(shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq\f(1,2)，那么a5＝()A.eq\f(1,32)B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)3.在數(shù)列{an}中，“|an＋1|>an”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4.已知遞增數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0.對(duì)于任意的正整數(shù)n，不等式t2－aeq\o\al(2,n)－3t－3an≤0恒成立，則正數(shù)t的最大值為()A．1 B．2C．3 D．65.數(shù)列{an}滿足a1＝1，對(duì)任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，則eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a99)＝()A．eq\f(99,98) B．2C．eq\f(99,50) D．eq\f(99,100)6.已知數(shù)列{an}滿足eq\f(an＋1－an,n)＝2，a1＝20，則eq\f(an,n)的最小值為()A．4eq\r(5) B．4eq\r(5)－1C．8 D．97.在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，對(duì)任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，則a9等于()A．256B．510C．512D．10248.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．(2n＋1)2－1 B．(2n＋1)2C．8n2 D．(n＋1)3【多選題】9.下列四個(gè)命題中，正確的有()A．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))的第k項(xiàng)為1＋eq\f(1,k)B．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－n－50，n∈N*，則－8是該數(shù)列的第7項(xiàng)C．?dāng)?shù)列3,5,9,17,33，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n－1D．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n,n＋1)，n∈N*，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列10.若數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，{an＋1－an}為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為“差遞減數(shù)列”．給出下列數(shù)列{an}(a∈N*)，其中是“差遞減數(shù)列”的有()A．a(chǎn)n＝3n B．a(chǎn)n＝n2＋1C．a(chǎn)n＝eq\r(n) D．a(chǎn)n＝lneq\f(n,n＋1)11.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是()A．這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)為eq\f(27,31)B.eq\f(97,100)是該數(shù)列中的項(xiàng)C．?dāng)?shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))內(nèi)D．?dāng)?shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列12.對(duì)于數(shù)列{an}，若存在數(shù)列{bn}滿足bn＝an－eq\f(1,an)(n∈N*)，則稱數(shù)列{bn}是{an}的“倒差數(shù)列”，下列關(guān)于“倒差數(shù)列”描述正確的是()A．若數(shù)列{an}是單增數(shù)列，則其“倒差數(shù)列”不一定是單增數(shù)列B．若an＝3n－1，則其“倒差數(shù)列”有最大值C．若an＝3n－1，則其“倒差數(shù)列”有最小值D．若an＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，則其“倒差數(shù)列”有最大值【填空題】13.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.14.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(63,2n)，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak對(duì)n∈N*恒成立，則正整數(shù)k的值為________.15.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且?n∈N*，an＋1＞an，Sn≥S6.請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.16.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(9n（n＋1）,10n)，則數(shù)列中的最大項(xiàng)為________.【解答題】17.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.18.已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝4an＋3.(1)寫出該數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明：eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝4.19.已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．20.已知數(shù)列{an