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6.3對數(shù)函數(shù)

第1課時對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質

1.能一描點法或借助計算工具Mi出具體對數(shù)函數(shù)的圖象.

.2.探索并「解時數(shù)函數(shù)的單調件.

::3.學會用函數(shù)的圖象和代數(shù)運算的方法研究對數(shù)函數(shù)的性質.

4.理解對數(shù)函數(shù)所蘊含的運算規(guī)律.

5.知道對數(shù)函數(shù).、■—k>K“r可指數(shù)函數(shù)為反函數(shù)

份基礎認知?自主學習《—

概念認知

1,對數(shù)函數(shù)

一般地，函數(shù)y=logax(a>0,arl)叫作對數(shù)函數(shù)，它的定義域是(0,+

g).

2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質

⑴定義

一般地，設A,B分別為函數(shù)y=f(x)的定義域和值域，如果由函數(shù)y

=f(x)可解得唯一x=巾(y)也是一敘函數(shù)(即對任意一個yGB,都有唯

一的xGA與之對應),月陷掰x=巾(y)是函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記

作x=f-i(y).

⑵函數(shù)與其反函數(shù)性質之間的關系

①圖象：關于直線y=x對稱；

②定義域與值域：原函數(shù)的定義域為其反函數(shù)的值域，值域為其反

函數(shù)的定義域；

③單調性：互為反函數(shù)的單調性相同.

自我小測

］

1.函數(shù)y=log2x在區(qū)間(0,2上的最大值是()

A.2B.1C.0D.-1

選B.函數(shù)y=logzx在(0,2］上遞增，故x=2時，y的值最大，最大值

是1.

2.(2021?無錫高一檢溯都寸數(shù)函數(shù)y=f(x)滿足f⑷=2,則該又擻函

數(shù)的解+析式為()

A.y=log2xB.y=2log4x

C.y=log2x或y=2log4xD.不確定

選A.場寸數(shù)函數(shù)的解+析式為y=logax(a>0，且awl)，由題意可知嗨4

=2,所以a?=4,所以a=2.所以該對數(shù)函數(shù)的解+析式為y=log2x.

3.函數(shù)f(x)=In(1-x)的定義域是()

A.(0,1)B.［0,1)

C.(1,+oo)D.(-00,1)

選D.要使f(x)有意義，則1-x>0,

所以x<1,所以f(x)的定義域為(-g,1).

4.函數(shù)y=Inx的單調增區(qū)間是一,反函數(shù)是________.

y=InX的底數(shù)為e>l，故y=Inx在(0,+2上單調遞增，其反函數(shù)

為y=ex.

答案：(0,+g)y=ex

5.設函數(shù)f(x)=logaX,則f(a+1)與f(2)的大小關系是_______.

當a>l時，a+1>2,f(x)=logaX是增函數(shù)，貝Uf(a+l)>f(2)；當0<a<l

時，a+1<2,f(x)=logaX是減函數(shù),則f(a+l)>f(2).

綜上,f(a+l)>f(2).

答案：f(a+l)>f(2)

6.若logo.i(l-a)>log0.i(2a-1),貝[Ja的取值范圍是_______.

因為y=logo.ix是減函數(shù)目定義域為(0,+°°),所以0<1-a<2a-1,

fl-a<2a-1tn

即解得&<a<l.

11-a>0,§

答案：<a<l

7.已知函數(shù)f(x)=loga(x+3)在區(qū)間[-2,-1]上總有|f(x)|<2，求實數(shù)

a的取值范圍.

因為x￡[-2,-1],所以1WX+3W2.

當a>l時，logal<loga(x+3)<loga2,

卜>1.

即04f(x)$loga2.因為|f(x)|<2,所以《解得a>v2.當0<a<l

[loga2<2,

時,loga2<loga(x+3)<logal,

0<a<l,

即Ioga2$f(x)40.因為|f(x)|<2,所以J

Uoga2>-2,

解得0。<券.

綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是，乎)U(3,+g).

》學情診斷?課時測評《

基礎全面練

一、選擇題

2

1.若loga§<1,則a的取值范圍是()

(2](2、

A.[O,"B七，+刃

(2]『2]

C-,1D.0-U(1,+oo)

7\i)

、22

選D.由loga-<1得：loga§<logaa.

2_

當a>l時，有a>],即a>l；

2

當0<a<l時,則有0<a<~.

(2、

綜上可知，a的取值范圍是0,-U(1,+oo).

\a

2

2.函數(shù)f(x)=log3(x-x-2)的定義域為()

A.{x|x>2或x<-1}

B.{x|-1<x<2}

C.{x|-2<x<1}

D.{x|x>l或x<-2}

選A.由題意得：x2-x-2>0,

解得：x>2或x<-1,

所以函數(shù)的定義域是{x|x>2或x<-1}.

（

3.2021彳余州高一木僉則）設a=log25,b=log35,c=log32，貝[Ja,b,c

的大小關系為（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>a>b

（

選B.因為函數(shù)y=logsx在0,+8止單調遞增，所以log53>log52>log5l

=0,

11、

而a=Iog25,b=log35，所以0<log35<log25,又因為

（

函數(shù)y=log3x在0,+8）上單調遞增,所以log35>log32,所以

Iog25>log35>log32,即a>b>c.

4.（2021?廊坊高一檢測）設a=Iog3e,b=log（e,c=e",貝U（）

2

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

1

選c.因為c:g,

111

2e

log3e>log33>log33=->0,

loggvlog]1=0,所以a>c>b.

22

5.若點(a,b)在函數(shù)f(x)=Inx的圖象上，則下列點中，不在函數(shù)f(x)

圖象上的是()

A.,-b]B.(a+e,1+b)

(e]

C.-,1-bD.(a2,2b)

選B.因為點(a,b)在f(x)=Inx的圖象上，所以b=Ina,所以-b=In

1e,

一,1-b=In-,2b=2lna=Ina2,

aa

6.函數(shù)y=|也僅+1)|的圖象是()

選A.由于函數(shù)y=Ig(x+1)的圖象可由函數(shù)y=Igx的圖象左移一個單

位而得到，函數(shù)y=lgx的圖象與x軸的交點是(1,0),

故函數(shù)y=lg(x+1)的圖象與x軸的交點是(0,0),即函數(shù)y=|lg(x+

1)I的圖象與x軸的公共點是(0,0),考查四個選項中的圖象只有A選

項符合題意.

7.侈選)設函數(shù)f(x)的定義域為D,VxeD,3yeD，使得f(y)=-f(x)

成立，則稱f(x)為"美麗函數(shù)〃.下列所給出的函數(shù)，其中是“美麗函數(shù)〃

的是()

1

A.y=x2B.y=

x-1

C.y=In(2x+3)D.y=2x+3

選BCD.由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為D,VxGD,3yGD，使得f(y)

=-f(x)成立,所以函數(shù)f(x)的值域關于原點對稱,

對于A中，函數(shù)y=x2的值域為［0,+oo),不關于原點對稱,不符合

題意；

對于B中，函數(shù)y=工的值域為(-g,0)U(0,+8),關于原點對

x-1

稱，符合題意；

對于C中，函數(shù)y=In(2x+3)的值域為R,關于原點對稱，符合題意；

對于D中，函數(shù)y=2x+3的值域為R,關于原點對稱，符合題意.

8.(多選)黃同學在研究幕函數(shù)時，發(fā)現(xiàn)有的具有以下三個性質：①

奇函數(shù)；②值域是｛y|y￡R且#0｝；③在(--,0)上是減函數(shù).則以

下幕函數(shù)符合這三個，性質的有()

A.f(x)=x2B.f(x)=x

C.f(x)=x-1D.f(x)=x3

選CDAf(x)=x2,為偶函數(shù)，排除；

B.f(x)=x，值域為R,排除；

C.f(x)=x-1,為奇函數(shù)，值域為｛y|y￡R且y4)｝，在(-—,0)±^減

函數(shù)，滿足；

D.f(x)=x3,為奇函數(shù)，值域為｛y|yWR且y#0｝，在(-8,0)上是減

函數(shù)，滿足.

二、填空題

I2a+Inx,x>l,

9.函數(shù)f(x)=的值域為R,則翊a的取值范圍是

l^a+1-x2,x<l

由題意知，當x>l時,f(x)=2a+lnx>2a；

當x<l時,f(x)=a+l-x2<a+1.要使函數(shù)f(x)的值域為R，需滿足2a<a

+1,即a<l.

答案：(-8,1]

10.函數(shù)y=loga(2x-3)+1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是

f2x-3=1,[x=2,

函數(shù)可化為y-l=loga(2x-3),可令所以彳即

ly-1=0,ly=i,

P(2,1).

答案：(2,1)

三、解答題

11.已知函數(shù)f(x)=loga(l+x),

g(x)=loga(l-x),(a>0,awl).

⑴設a=2,函數(shù)g(x)的定義域為[-15,-1],求g(x)的最大值.

⑵當0<a<l時，求使f(x)-g(x)>0的x的取值范圍.

⑴當a=2時,g(x)=嗨(1-x),由-15,-1]上為減函數(shù),

因此當x=-15時g(x)的最大值為4.

(2)f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x),所以

當0<a<l時logafl+X)>loga(l-X),

1+x<l-X,

滿足<1+x>0,所以-l<x<0,故當0<a<l時f(x)-g(x)>0的角躁

<1-x>0,

為]x|-l<x<0(.

12.設函數(shù)f(x)=(log2x+2)(log2x+1)的定義域為1,4.

⑴若t=log2x,求t的取值范圍；

(2)求y=f(x)的最大值與最小值，并求出取得最值時對應的x的值.

「1

⑴因為t=log2X,而xWz，4.

所以t的取值范圍為log2^,log24^j=[-2,2].

(2)y=f(x)=(log2x+2)(log2x+1),

令g(t)=(t+2)(t+1)=t2+3t+2(-2<t<2).

因為g(t)在區(qū)間［-2,-I］上是減函數(shù)，在區(qū)間］［，2］上是增函

3

2-

數(shù)，所以當t=log2x=，即X=彳時，y=f(x)有最小值，最小值

為f*=g「|)=-4；當t=log2X=2,即x=4時，y=f(x)有最

大值,最大值為f(4)=g(2)=12.

綜合突破練

一、單選題

1.若l0g(a-1)(2X-l)>l0g(a-i)(X-1),則有()

A.l<a<2,x>0B.l<a<2,x>l

C.a>2,x>0D.a>2,x>l

選D.當a>2時，a-1>1,

(2x-l>x-1,

由彳解得x>l；

[x-l>0,

當l<a<2時,Ova-1<1,

12x-l<x-1,

由無解.

12x-l>0,

2.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+8)上是增函數(shù)，且g(x)=-f(|xI).若g(lg

X)>g⑴，則X的取值范圍是()

A.[1,10)

f1]

B.110，J

fl、

c.W,10

1

D.77,1U(10,+8)

選C.由題意,因為g(-x)=-f(|x|)=g僅),所以g(x)為偶函數(shù),

又因為f(x)是［0,+8)上的增函數(shù),

所以g(x)是[0,+8)上的減函數(shù)，

又因為g(lgx)>g⑴,所以g(|lgx|)>g(l),

1

所以|lgx|<l,解得正<x<10.

ex(e)(2e)

3.已知函數(shù)f(x)=ln——，若蛾a,b滿足f淅+f淅+

e_xyUN，/yuzi/

f77*+…+f2=505(a+b)，則a?+b?的最小值為()

UZJL/\ZUZ±7

A.2/B.4C.6D.8

exe(e-x)

選D.因為f(x)+f(e-x)=In------+In---------------=Ine2=2,

e-xx

(e)(2e1/3e、

所以f〔2021J+\202V+A2021>

/2020e][e](2020e^

V021J=%021J+Q2021J+

((2e、(2019eT

F1202L+\2021]+...+

[1010e]flOlle'l

+f)=1010x2=2020,

\2021JIzUZJ.)

所以505(a+b)=2020,

所以a+b=4,a2+b2=（a+b）2-2ab=16-2ab,

a+h]2

因為abW—=4,所以a2+b2>8.

k2>

二、多選題

4.已知0<a<b,a+b=1,則下列不爵t中，正確的是（）

卜1

A.log2a<0B.2a'b<^

ba

C.2ab<4D.log2a+log2b<-2

選AD.因為0<a<b且a+b=1,

所以0<a<b<l,-l<a-b<0,

1_

所以log2a<0,A正確；2a-b>2-1=5,B錯誤；

因為!+忘>2A/||=2（當且僅當號力，即a=b時取等號），又

dUdUdU

0<a<b,

所以9+3乂，所以2M>22=4,C錯誤；

因為ab?山2=!（當且僅當a=b時取等號）,又0<a<b,所以

\2）4

1

0<ab<~,

、1

所以log2a+log2b=log2ab<log2a=-2,D正確.

三、填空題

IgX,x>0,

5.設f(x)=j則f(f(-2))=________.

[10x,x<0,

因為f(-2)=10-2>0,f(10-2)=lgl0-2,

令Ig10-2=a,貝[Jl()a=I。-2,

所以a=-2,所以f(f(-2))=-2.

答案：-2

fx2+(4a-3)x+3a,x<0,

6.已知函數(shù)f(x)=《(a>0且awl)在R上

lloga(x+1)+1,x>0

單調遞減，則a的取值范圍是_______.

由分段函數(shù)在R上單調遞減可得0<a<l,又因為二次函數(shù)圖象開口向

4a-3

上，所以>0,

3

解得a<-,且得+(4a-3)x+3a]min(x<0)>

1

[loga(x+l)+l]max(x>0)，將x=0代入可得3a>l,解得a>-,所以a

如

的取值范圍是[-1§,如.

生案?P-

口?3，4

7.設函數(shù)y=ax的反函數(shù)為f(x),則f(a+1)與f⑵的大小關系是

因為y=aX的反函數(shù)為f(x),所以f(x)=lOgaX.

當a>l時，a+1>2,f(x)=logaX是單調遞增函數(shù),

則f(a+l)>f(2)；當0<a<l時，a+1<2,

f(x)=logaX是單調遞減函數(shù),則f(a+l)>f(2).

綜上f(a+l)>f(2).

答案：f(a+l)>f(2)

8.已知a￡R且;>1，貝［J關于x的不等式loga(x2-5x+7)>0的解集為

因為aWR且:>1,所以0<a<l,y=logx在(0,+g)上遞減,

da

因為不等式嗨儼-5x+7)>0=logal,

fx2-5x+7>0fx2-5x+7>0

所以，即,

[x2-5x+7<1[x2-5x+6<0

解得2<x<3,所以不等式的解集是(2,3).

答案：(2,3)

四、解答題

9.已知函數(shù)f(x)=logax(a>0,且awl)在-,2上的最大值為2.

⑴求a的值；

⑵若0<a<l,求使得f(f(x)-2)>0成立的x的取值范圍.

(1)由題意，當a>l時，函數(shù)出X)=lOgaX在,2上單調遞增，因此f(X)max

=f(2)=loga2=2,解得a=/；

1/ii

當0<a<l時函數(shù)f(X)=lOgaX在“2上單調遞減因此f(X)max=

1

=l0ga[=2,

解得a=|.綜上可知：a=啦或a=；.

(2)由不等式f(f(x)-2)>0,

即loga(f(x)-2)>logal,又0<a<l,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質，可得0<f(x)

-2<1,即2<log；x<3,解得/<x<(.

_1-X

10.已知函數(shù)f(x)=loga------(a>0且awl).

1+x

⑴判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;

(2)求不等式f(x)>0的解集.

⑴由一>0得-1<X<1,函數(shù)的定義域關于原點對稱，又f(-x)=

1-x

-lOga=-f(X),所以f(X)為奇函數(shù).

1-X

(2)(i)當a>l時,由f(x)>0,即loga------>