第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.2直線與平面垂直（第1課時(shí)）問題1：在日常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識，比如旗桿與地面的位置關(guān)系，給我們以直線與平面垂直的形象.那什么叫做直線與平面垂直呢？那怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫直線與平面垂直呢？

如右圖,在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時(shí)間的變化,影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直?AABCA旗桿AB所在直線始終與影子BC所在直線垂直思考：對于地面上不過點(diǎn)B的任意一條直線B'C'，旗桿AB會與之垂直嗎？結(jié)論:旗桿AB所在直線與地面上任意一條直線都垂直.結(jié)論:旗桿AB所在直線與地面上任意一條直線都垂直.“任意”一詞能修改為“無數(shù)”嗎？不能

一般地,如果直線

l

與平面

a

內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線

l

與平面α互相垂直,記作

l⊥α,

直線

l

叫做平面α的垂線，平面α叫做直線

l

的垂面.

直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)叫做垂足.垂線垂面垂足在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.將這一結(jié)論推廣到空間，過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條?為什么?結(jié)論：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個點(diǎn)到該平面的垂線段,垂線段的長度叫做這個點(diǎn)到該平面的距離.例如：

(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直?如圖,一塊三角形紙片ABC,過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片.得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸).(1)折痕AD與桌面垂直嗎?

(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直?

容易發(fā)現(xiàn)，AD所在直線與桌面所在平面α垂直(如下圖)的充要條件是折痕AD是BC邊上的高.這時(shí)，由于翻折之后垂直關(guān)系不變，所以直線AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線BD、DC都垂直.如圖,一塊三角形紙片ABC,過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片.得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸).(1)折痕AD與桌面垂直嗎?

事實(shí)上，由基本事實(shí)的推論2,平面α可以看成是由兩條相交直線BD、DC所唯一確定的，所以當(dāng)直線AD垂直于這兩條相交直線時(shí)，就能保證直線AD與α內(nèi)所有直線都垂直.直線與平面垂直的判定定理：

如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.

兩條相交直線可以確定一個平面,兩條平行直線也可以確定一個平面,那么定理中的“兩條相交直線”可以改為“兩條平行直線”或是“無數(shù)條直線”呢?線線垂直?線面垂直l⊥m，l⊥n，m∩n＝P，m

，n

l⊥.定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”和“直線與直線垂直”的互相轉(zhuǎn)化.例1求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面,那么另一條直線也垂直于這個平面.

顯然，直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況.l

為斜線l

與

的交點(diǎn)A為斜足直線OA為在平面

上的射影直線l

與射影OA所成角∠PAO(角θ)為直線l

與平面

上所成角直線與平面所成角θ取值范圍是0°≤θ≤90°.如圖，一條直線l與一個平面

相交,但不與這個平面垂直,這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足.例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1DCB1所成的角.練習(xí)1：如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此圖形中有

個直角三角形．4

[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.綜上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4個．]練習(xí)2：如圖，在三棱錐S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.練習(xí)3：如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，垂足為N.求證：AN⊥平面PBM.2、怎樣畫出直線與平面所成角？1