B函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

Bl函數(shù)及其表示

lx?—11

14.Bl［2012?天津卷］已知函數(shù))，=7二7的圖象與函數(shù)y=丘的圖象恰有兩個交點，則

實數(shù)％的取值范圍是.

2

lx-II［-(X+1)5-iWxvl,_

14.(0,l)U(l,2)［解析］y==T=#在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y

%一11%+1,XV-1或X>1,

lx2-II

=丘與y=-J的圖象如圖，

X-1

lx2-II

結(jié)合圖象當(dāng)直線y=H斜率從0增到1時，與丁=一「在X軸下方的圖象有兩公共點;

/x-1

lx2-II

當(dāng)斜率從1增到2時，與丁=的圖象在x軸上、下方各有一個公共點.

X-1

G，工20,

11.Bl［2012?陜西卷］設(shè)函數(shù)則用(-4))=_______.

U，x<0,

11.4［解析］由題目所給的是一分段函數(shù)，而式-4)=16,所以式16)=4,故答案為

3.Bl［2012?山東卷］函數(shù)/0)=嬴缶］+4］，的定義域為()

A.［—2,0)U(0,2］B.(-l,0)U(0,2］

C.［-2,2］D.(-1,2］

3.B［解析］本題考查函數(shù)的定義域，考查運算能力，容易題.

\+1>0,

要使函數(shù)處0=記六亍+亞??？有意義，須有7n(X+1)^0,解之得-1<XW2且xWO.

14-/20,

\2+1,xWl,

3.Bl［2012?江西卷］設(shè)函數(shù)/)=(2則"3))=()

一,x>\,

U

A.1B.3C.1D.-^

2,2、13

3.D［解析］於)=§,膽3))=團2+l=§,故選D.

5.Bl［2012?江蘇卷］函數(shù)九t)=1l-21ogd的定義域為.

5.(0,V6］［解析］本題考查函數(shù)定義域的求解.解題突破口為尋找使函數(shù)解析式有

X>0,L

意義的限制條件.由.、八解得0<rW旗.

1-210g

11.Bl［2012?廣東卷］函數(shù)的定義域為

fx+120,

ll.{xLv》一1且xWO}［解析］本題考查函數(shù)的定義域，函數(shù)有意義，滿足:

XTtO.

解得{xk2-1且x￥0}.

1,x>0,

U，X為有理數(shù)，

g問。，x為無理數(shù)，則刎兀))的值為

9.Bl[2012?福建卷]設(shè).x)=<0,x=0,

「1,x<0,

()

A.1B.0C.-1D.7i

9.B［解析］解題的關(guān)鍵是求分段函數(shù)的值時，一定要認真分析自變量所在的區(qū)間，

因為各段上的解析式是不相同的..?.兀是無理數(shù)，，以兀戶。，_/(gm))=/(o)=o,所以選擇B.

13.B1Q012?四川卷］函數(shù)Ax)=『」的定義域是________.(用區(qū)間表示)

yjl~2x

13.(-8,［解析］由f"解得x<；,

［”11-2x20,2

B2反函數(shù)

2.B2［2012?全國卷］函數(shù)丫=4幣。，-1)的反函數(shù)為()

A.y=x2—1(x^0)

B.y=f—1(x21)

C.y=f+1(x20)

D.y=f+1(x)1)

2.A［解析］本小題主要考查求反函數(shù)的方法.解題的突破口為原函數(shù)與反函數(shù)定義

域與值域的關(guān)系和反解x的表達式.

由y=山+1得/=x+1,即x=y2-1,交換x和y得y=x?T,又原函數(shù)的值域為y20,

所以反函數(shù)的定義域為x》0,故選A.

B3函數(shù)的單調(diào)性與最值

1-I-siriA"

16.B312012.課標(biāo)全國卷］設(shè)函數(shù)兀r)=〈/+J的最大值為M,最小值為團，則M

+tn=.

16.［答案］2

2

&n_LLE、i~(x+1)+sinx2x+sinx2x+sinx,

［解析］因為/(x);----士力---=1+7+］，令A(yù)g(x)=:+［，則/U)=g(x)+1.由

—9r-cinr

g(-X)=―/—=-g(x)及函數(shù)g(x)的定義域為R,得函數(shù)g(x)是奇函數(shù)’故g(x)max與

g(x)而n互為相反數(shù).故g(x)max+g(x)min=0.易知M=gCOmax+1，機=gQ)min+1>所以"+機

=g(X)1mx+1+g(X)min+1=0+2=2.

13.B3［2012?安徽卷］若函數(shù)Ax)=l2x+al的單調(diào)遞增區(qū)間是［3,+~),則a=.

13.-6［解析］容易作出函數(shù)兀0的圖像(圖略)，可知函數(shù)/(x)在(-8,上單調(diào)遞

減，在［-去+8)單調(diào)遞增.又已知函數(shù)人工)的單調(diào)遞增區(qū)間是［3,+8),所以-^二？，

解得a=-6.

12.B2、D2［2012?四川卷］設(shè)函數(shù)0)=—-3)3+L1,{%}是公差不為0的等差數(shù)列,

/(<^l)+Xa2)^------吸田)=14,則處+a2H------b。7=()

A.0B.7C.14D.21

12.D［解析］記公差為d,

則加1)+加2)+…+尬7)

=(?|-3y+(°2-3)3++3-3)3+(fl|+02++07)-7

-33

=(?43d-3)3+(a4-2d-3)3+…+Q+2"-3)+(a4+3d-3)+7a斗-7

=7Q-3y+7X3Q-3)+7a4-7.

由已面，7Q-3)3+7X3(a,-3)+7a?-7=14,

即7(@-31+7X3Q-3)+7(“4-3)=0,

(?4-3)3+4(?4-3)=0.

因為./0=丁+4》在R上為增函數(shù)，且大0)=0,

故“4—3=0,即上=3,

二a1+°2+…+田=7a4=7X3=21.

2.B3、B412012?陜西卷］下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()

A.y=x+lB.y=—x3

C.y=：D.y=xLd

2.D|解析］本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，解題的突破口為單調(diào)性的定義、

奇偶性的定義與函數(shù)圖像的對應(yīng)關(guān)系.若函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，其圖像為從左向右依次上升；

若函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱.經(jīng)分析，A選項函數(shù)的圖像不關(guān)于原點對稱，不是

奇函數(shù)，排除；B選項函數(shù)的圖像從左向右依次下降，為單調(diào)減函數(shù)，排除；C選項函數(shù)的

圖像從左向右依次下降，為單調(diào)減函數(shù)，排除；故選D.其實對于選項D,我們也可利用40、

x=0.x<0討論其解析式，然后畫出圖像，經(jīng)判斷符合要求，故選D.

8.B3、B10［2012.北京卷］某棵果樹前〃年的總產(chǎn)量5“與〃之間的關(guān)系如圖1—6所示.從

目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高，加的值為()

楨*

OlIi34567891011S

圖1—6

A.5B.7

C.9D.11

8.C［解析］本題考查利用函數(shù)圖像識別函數(shù)值的變化趨勢，也就是函數(shù)增減速度的

快慢.

法一：因為隨著n的增大，5“在增大，要使章取得最大值，只要讓隨著n的增大S-

-5?的值超過平均變化)的加入即可,s,+i-S”的值不超過(平均變化)的舍

去，由圖像可知，6,7,8,9這幾年的改變量較大，所以應(yīng)該加入，到第10,11年的時候，改變

量明顯變小，所以不應(yīng)該加入，故答案為C.

法二：假設(shè)要是拿取的最大值，所以只要步尷言即可，也就是品二量"及言，即可

以看作點0M(m,S,“)與0(0,0)連線的斜率大于點?0，i(機+I,S,“7)與。(0,0)連線的斜率，所

以觀察可知到第09(9,與0(0,0)連線的斜率開始大于點CiodO,SQ與0(0,0)連線的斜

率.答案為C.

14.A2、A3、B3、E3[2012?北京卷]已知fix)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2*-2,若

Vx￡R,犬x)<0或g(x)<0,則〃?的取值范圍是.

14.(-4,0)[解析J本題考查函數(shù)圖像與性質(zhì)、不等式求解、邏輯、二次函數(shù)與指數(shù)

函數(shù)等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想、分析問題和解決問題以及綜合運用

知識的能力.

由已知g(x)=2*-2<0,可得x<l,要使\/x￡R,J(x)<0或g(x)<0,必須使時，/(x)

=m(x-2m)(x+m+3)<0恒成立，

當(dāng)〃?=0時="?(x-2⑼(x+m+3)=0不滿足條件，所以二次函數(shù)4x)必須開口向下，

2m<\,

也就是m<0,要滿足條件,必須使方程/(x)=0的兩根2/n,-m-3都小于1,即彳

-m-3<1,

可得，〃￡(-4,0).

20.B3、D4、M4[2012?北京卷]設(shè)4是如下形式的2行3列的數(shù)表,

abc

def

滿足性質(zhì)尸：a,b,c,d,e,/G[—1,1],且一a+b+c+d+e+/'=0.

記o(A)為A的第i行各數(shù)之和(i=1,2),取4)為A的第j列各數(shù)之和(/=1,2,3)；

記出(A)為％(4)1,lr2(A)l,lcj(A)l,lc2(A)l,g(4)1中的最小值.

(1)對如下數(shù)表A，求k(4)的值；

11-0.8

0.1—0.3-1

(2)設(shè)數(shù)表A形如

11-l-2d

dd-1

其中一IWdWO,求k(4)的最大值；

(3)對所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A,求k(A)的最大值.

20.解：⑴因為n(A)=1.2,r2(A)=-1.2,c,(>4)=1.1,c2(A)=0.7,c3(A)=-1.8,

所以A(A)=0.7.

⑵ri(A)=1-〃，吆力)=-1+2d,

cj(A)=C2(A)=1+</,C3(A)=-2-2d.

因為-IWdWO,

所以lri(4)l=lr2(A)l》l+d20,

Ic3(4)l2l+d20.

所以％(A)=1+dWl.當(dāng)d=0時，k(A)取得最大值1.

(3)任給滿足性質(zhì)P的數(shù)表4如下所示).

abc

def

任意改變A的行次序或列次序，或把力中的每個數(shù)換成它的相反數(shù)，所得數(shù)表T仍滿

足性質(zhì)P,并且M4)=Z(T).

因此，不妨設(shè)〃(4)20,Q(A)20,6(4)20.

由-4)的定義知，

■(A)巨片(4),2(A)Wc](4),Z(A)WC2(A).

從而3M4)W〃(A)+c\(A)+C2(A)

=(。+。+c)+(。+J)+(Z?+e)

=(a+b+c+d+e+f)+(a+b-f)

=a+b_fW3.

所以人(A)W1.

由(2)知，存在滿足性質(zhì)P的數(shù)表A使％(A)=1.

故”4)的最大值為1.

6.B3、B4［2012.天津卷］下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)的為()

A.y=cos2x,x￡R

R

B.y=log2Lrl,￡R且xNO

D.y=1+i,R

6.B［解析］法一：由偶函數(shù)的定義可排除C、D,又,.?y=cos2x為偶函數(shù)，但在(1,2)

內(nèi)不單調(diào)遞增，故選B.

法二：由偶函數(shù)定義知y=log2lrl為偶函數(shù)，以2為底的對數(shù)函數(shù)在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增.

22.B3、B9、B12［2012?福建卷］已知函數(shù)段)=axsinx一聲￡R),且何0,1上的最大

、，n-3

值為六一.

(1)求函數(shù)兀0的解析式；

(2)判斷函數(shù)/U)在(0,兀)內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明.

22.解：(1)由已知/'(x)=a(sinx+.COSX),

對于任意x￡(0,5),有sinx+xcosx>0.

3

當(dāng)〃=0時，?r)=不合題意；

當(dāng)a<0,x￡(0,§時，f(x)<0,從而兀r)在(0,3內(nèi)單調(diào)遞減，

又大x)在［o,上的圖象是連續(xù)不斷的，故府)在［o,外上的最大值為犬0)=-|,不合

題意；

當(dāng)a>0,xE(O,當(dāng)時，/'(x)>0，從而兀0在(0,§內(nèi)單調(diào)遞增，又代r)在0,上的

圖象是連續(xù)不斷的，故段)在［。，外上的最大值為圖即會得=寫二，

解得。=1.

,3

綜上所述，得f(x)=xsiru-2?

(2求田在(0,兀)內(nèi)有且只有兩個零點.

證明如下：

33

由(1)知,段)=鄧欣一］,從而有/(0)=一］<0?

又大外在［。，"上的圖象是連續(xù)不斷的.

又由⑴知/(x)在［o,H上單調(diào)遞增，故人X)在(0,9內(nèi)有且僅有一個零點.

當(dāng)兀］時，令g(x)=f(x)=sinx+xcosx.

由痣)=1>°，g5)=F<0，且g(x)在任，兀］上的圖象是連續(xù)不斷的，故存在機￡

俘兀)，使得g(m)=0.

由g'(x)=2cosx-xsiar,知x￡(去it)時，有g(shù)'(x)<0,

從而g(x)在0，兀)內(nèi)單調(diào)遞減.

當(dāng)x唱，，。時，g(x)>g(m)=O,即/'(x)>0,從而加)在俘，”內(nèi)單調(diào)遞增，

故當(dāng)去m時，犬外引自二氣工〉。，

故危)在全m上無零點；

當(dāng)x￡(m,無)時，有g(shù)(x)<g(M=O,即/'(x)<0,從而應(yīng)K)在(m,兀)內(nèi)單調(diào)遞減.

又加>0,加)<0,且-x)在［m,河上的圖象是連續(xù)不斷的，從而犬x)在(相，兀)內(nèi)有且

僅有一個零點.

綜上所述，式x)在(0,兀)內(nèi)有且只有兩個零點.

8.B3、B10［2012.北京卷］某棵果樹前”年的總產(chǎn)量S,與”之間的關(guān)系如圖1—6所示.從

目前記錄的結(jié)果看，前〃，年的年平均產(chǎn)量最高，，”的值為()

+S.

olfi34567891011n

圖1一6

A.5B.7

C.9D.11

8.C［解析］本題考查利用函數(shù)圖像識別函數(shù)值的變化趨勢，也就是函數(shù)增減速度的

快慢.

法一：因為隨著n的增大，5.在增大，要使手取得最大值，只要讓隨著n的增大S,,7

-S?的值超過'*:&(平均變化)的加入即可,的值不超過1(平均變化)的舍

去，由圖像可知，6,7,8,9這幾年的改變量較大，所以應(yīng)該加入，到第10.11年的時候，改變

量明顯變小，所以不應(yīng)該加入，故答案為C.

法二：假設(shè).是中取的最大值，所以只要%*V即可，也就是7>小喋0即可

以看作點S“)與0(0,0)連線的斜率大于點Q,”，Q+1，Sm+i)與0(0,0)連線的斜率,所

以觀察可知到第。9(9,59)與0(0,0)連線的斜率開始大于點Cio(lO,5Q與0(0,0)連線的斜

率.答案為C.

16.B3、B4［2012?浙江卷］設(shè)函數(shù)兀r)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)

時，J(x)=x+1,則通=.

3

16.［答案］

［解析］本題考查了函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查了學(xué)生的觀察、變通能力，屬于較易

題.

函數(shù)段)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)x￡［O,l］時，段)=》+1,那么)@=

(步*-%信H

B4函數(shù)的奇偶性與周期性

12.B4［2012?重慶卷］若J(x)=a+a)(x—4)為偶函數(shù)，則實數(shù)。=.

12.4［解析J因為Ax)=f+5-4)X-4“，所以根據(jù)/(X)為偶函數(shù)得?r)=犬-X),即/

+(a-4)x-4a=x2+(4-a)x-4a,所以a-4=4-。，解得a=4.

9.B4［2012?上海卷］已知y=/(x)是奇函數(shù)，若g*)=/U)+2且g(l)=l,則g(—1)=

9.3［解析］考查函數(shù)的奇偶性和轉(zhuǎn)化思想，解此題的關(guān)鍵是利用y="r)為奇函數(shù).

已知函數(shù)y=7U)為奇函數(shù)，由已知得g(l)=式1)+2=1,「.*1)=-1,

則4-1)=一犬1)=1，所以g(_1)=八_1)+2=1+2=3.

4.B4［2012?廣東卷］下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()

A.y=situB.y=x3

C.y=e"D.y—\n\jx2+1

4.D［解析］根據(jù)奇偶性的定義知A、B都為奇函數(shù)，C非奇非偶函數(shù)，D是偶函數(shù)，

所以選擇D.

6.B3、B4［2012?天津卷］下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)的為()

A.y=cos2jf,xGR

B.y=log2lxl，xER月“WO

v—e-Jf

C.y=e,xGR

D.y=?+1,x￡R

6.B［解析］法一：由偶函數(shù)的定義可排除C、D,又,ry=cos2x為偶函數(shù)，但在(1,2)

內(nèi)不單調(diào)遞增，故選B.

法二：由偶函數(shù)定義知y=log2kl為偶函數(shù)，以2為底的對數(shù)函數(shù)在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增.

2.B3、B4［2012?陜西卷］下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()

A.y=x+1B.y=—x}

C.y—~D.y=xlxl

2.D［解析I本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，解題的突破口為單調(diào)性的定義、

奇偶性的定義與函數(shù)圖像的對應(yīng)關(guān)系.若函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，其圖像為從左向右依次上升；

若函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱.經(jīng)分析，A選項函數(shù)的圖像不關(guān)于原點對稱，不是

奇函數(shù)，排除；B選項函數(shù)的圖像從左向右依次下降，為單調(diào)減函數(shù)，排除；C選項函數(shù)的

圖像從左向右依次下降，為單調(diào)減函數(shù)，排除；故選D.其實對于選項D,我們也可利用x>0、

x=O、x<0討論其解析式，然后畫出圖像，經(jīng)判斷符合要求，故選D.

16.B3、B4［2012?浙江卷］設(shè)函數(shù)式》)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)xG［0,l］

時，f(x)=x+\,則yQ)=.

16.［答案］|

［解析］本題考查了函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查了學(xué)生的觀察、變通能力，屬于較易

題.

函數(shù)/U)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)xE［O,l］時，/(x)=x+l,那么(D=

B5二次函數(shù)

12.B5［2012?山東卷］設(shè)函數(shù)大外=5g(x)=-f+hx.若),=人》)的圖象與),=83)的圖象

有且僅有兩個不同的公共點A(X”力)，8(X2,y2)，則下列判斷正確的是()

A.X|+x2>0>yi+>2>0

B.xi+x2>0,yi+>,2<0

C.X］+X2<O,力+丫2>0

D.X|+x2<0,yi+y2<0

12.B［祕析，本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查推理論證能力，偏難.

當(dāng)y=./(x)的圖象與y=g(x)圖象有且僅有兩個不同的公共點時，其圖象為

作出點A關(guān)于原點的對稱點C,則C(-x”-yi),由圖象知-Xi<X2，-)，1>丫2,故Xi+

%2>0,Jl+j2<0>故選B.

6.B5、B6［2012?上海卷］方程4'-2戶|-3=0的解是.

6.log23［解析］考查指數(shù)方程和二次方程的求解，以及函數(shù)與方程的思想和轉(zhuǎn)化思想,

關(guān)鍵是把指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為二次方程求解.

把原方程轉(zhuǎn)化為⑵)2-2-2"-3=0,化為(2,-3)(2'+1)=0,

所以2*=3,或2*=-1(舍去)，兩邊取對數(shù)解得x=log23.

B6指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

4.B6［2012?四川卷］函數(shù)y=/-a(a>0,且a#1)的圖象可能是()

4.C［解析］由穴1)=0可知選C.

15.B6、B8［2012?山東卷］若函數(shù)/)=，3>0,aWl)在［-1,2］上的最大值為4,最小

值為〃?，且函數(shù)g(x)=(l—4,心笈在［0,+8)上是增函數(shù)，貝ljq=.

15.1［解析］本題考查指數(shù)函數(shù)與早函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想及推理論證能

力，中檔題.

???g(x)=(l-4團人&在(0,+8)上單調(diào)遞增，

1

??rn<^.

當(dāng)〃>1時，段)的最大值為〃2=4,即〃=2,m=27=*>1,與加相矛盾，舍去；

當(dāng)0<4<1時，“￥)的最大值為。7=4,即Q=；,=。)2<|成立.

08

4.B6、B7［2012?天津卷］已知Q=2L2,^~-,c=2log52,貝ij①b,c的大小關(guān)系為

()

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.b<c<a

4.A［解析］=2'2>2,1=(5)""=0?=2,c=21ogs2=logj4<1>

■'■c<b<a.

6.B5、B6［2012?上海卷］方程4*-2"+|—3=0的解是.

6.log23［解析］考查指數(shù)方程和二次方程的求解，以及函數(shù)與方程的思想和轉(zhuǎn)化思想,

關(guān)鍵是把指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為二次方程求解.

把原方程轉(zhuǎn)化為⑵)2-2-2"-3=0,化為(2,-3)(2'+1)=0,

所以2、=3,或2*=-1(舍去)，兩邊取對數(shù)解得x=log23.

v

11.B6、B7［2012?課標(biāo)全國卷］當(dāng)時，4<log,A，則a的取值范圍是()

C.(1,啦)D.m,2)

11.B［解析］當(dāng)a>\時，齦所以log/<0.不滿足4*vlog?x,瞧去；當(dāng)0<avl

時，因為0<rW；,數(shù)形結(jié)合易得，需滿足gvlog',得2<log或，則相斗解得a>坐或a<

-喙結(jié)合前提條件得坐<a<L綜上，“￡惇，1).故選B.

5.B6、B8、B9［2012?北京卷］函數(shù)兀0=\一的零點個數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

5.B［解析］本題考查指數(shù)函數(shù)和嘉函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

由外0=8—(3)=0,可得及=自。令力(x)=g,g(x)=g。所以函數(shù)段)的零點個

數(shù)就是函數(shù)〃(x)與g(x)的交點個數(shù)，如圖可知交點個數(shù)只有一個，所以函數(shù)式X)的零點個數(shù)

為1,答案為B.

7.El、B6、B7Q012?湖南卷］設(shè)c<0,給出下列三個結(jié)論：

cc

?^>1:?a<b；?logi(a—c)>loga(Z>—c).

其中所有的正確結(jié)論的序號是()

A.①B.①②

C.②③D.@@③

7.D［解析J本題考查不等式性質(zhì)、指數(shù)式和對數(shù)式的大小比較，意在考查考生對不

等式性質(zhì)、幕函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運用能力；解題思路：轉(zhuǎn)化為基函數(shù)比較大小，利用

換底公式比較對數(shù)式的大小.由不等式的基本性質(zhì)可知①對；寡函數(shù)y=/(c<0)在(0,+8)

上單調(diào)遞減，又?！捣健?,所以②對；由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得log%(a-c)>log&S-c),又

由對數(shù)的換底公式可知lo&,(Z>-c)>loga(fe-c).所以log/,(a-c)>loga(b-c),故選項D正

確.

［易錯點］本題易錯一：不等式基本性質(zhì)不了解，以為①錯；易錯二：指數(shù)式大小比較,

利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較，容易出錯；易錯三：對換底公式不了解，無法比較，錯以為③錯.

10.Al、E3、B6［2012?重慶卷］設(shè)函數(shù)兀0=*2—4*+3,g(x)=3*—2,集合

Rlf(g(x))>0l,則7="61118。)<2},則〃?？蔀?)

A.(1,+8)B.(0,1)

C.(-1,1)D.(一8,1)

10.D［解析］因為J(g(x))=［g(x)］2-4g(x)+3,所以解關(guān)于g(x)不等式［g(x)『-4g(x)+3

>0,得g(x)<l或g(x)>3,即3*-2<1或3*-2>3,解得x<1或x>k>g35,所以M=(-

l)U(log35,+8),又由g(x)<2,即3、-2<2,3*<4,解得x<k)g34,所以N=(-8,

log34),故MCN=(-8,1),選D.

B7對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

7.B7［2012,重慶卷］已知a=log,3+log,小，b=log,9—log/,c=log32,則a,b,c

的大小關(guān)系是()

A.a=b<cB.a=b>c

C.a<b<cD.a>b>c

l9p-

7.B［解析］因為a=log23V3>1,?=log^=log23小>LX*-*0=log3l<log32<log33

=1,-,-a=b>c,選B.

11.B7［2012?全國卷］已知x=ln7t,j=log52,z=e-g,則()

A.x<y<zB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

11.D［解析］本小題主要考查對數(shù)與指數(shù)的大小比較，解題的突破口為尋找中間量作

比較.

1,o111

x=Inline=1,0<log52<log42=了l=e>e-廠7>亞=-'-y<z<x,故選D.

12.87［2012?北京卷］已知函數(shù)於)=lgx,若加份=1,則加2)+他2)=

12.2］解析］本題考查函數(shù)解析式與對數(shù)運算性質(zhì).因為/(ab)=lg(ab)=l,所以大/)

+f(b2)=Iga2+lg/?2=lg(ab)2=21g(ah)=2.

3.B7［2012?安徽卷］(Iog29)?og34)=()

11

A-4B2

C.2D.4

3.D［解析］(解法一)由換底公式，得(1唯9)?嗎4)=僵備翟醬=4.

22

(解法二)(log29).(log34)=(log23)(log32)=2(log23)-2(log32)=4.

4.B6、B7［2012?天津卷］已知a=2R6c=21og$2,則a,h,c的大小關(guān)系為

：)

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.b<c<a

4.A［解析］..七=21~>2,1=(5)°”=0。"<(/)?=2,c=21ogs2=logj4<1>

■'■c<b<a.

1.ELB6、B7［2012糊南卷］設(shè)c<0,給出下列三個結(jié)論:

cc

①^琮；?a<bt?log*(a-c)>\oga(b-c).

其中所有的正確結(jié)論的序號是()

A.①B.①②

C.②③D.??③

7.D［解析］本題考查不等式性質(zhì)、指數(shù)式和對數(shù)式的大小比較，意在考查考生對不

等式性質(zhì)、寡函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運用能力；解題思路：轉(zhuǎn)化為霖函數(shù)比較大小，利用

換底公式比較對數(shù)式的大小.由不等式的基本性質(zhì)可知①對；黑函數(shù)y=x,(c<0)在(0,+8)

上單調(diào)遞減，又a>b〉1,所以②對；由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得log"(a-c)>log/>S-c),又

由對數(shù)的換底公式可知log/,3-c)>loga(i>-c),所以log從a-c)〉log,0-c),故選項D正

確.

［易錯點］本題易錯一：不等式基本性質(zhì)不了解，以為①錯；易錯二：指數(shù)式大小比較,

利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較，容易出錯；易錯三：對換底公式不了解，無法比較，錯以為③錯.

2.Al、B7［2012?安徽卷］設(shè)集合A={x|—3W2x—1W3},集合B為函數(shù)y=lg(x—1)的

定義域，貝IJ4C8=()

A.(1,2)B.［1,2］

C.［1,2)D.(1,2］

2.D［解析］根據(jù)已知條件，可求得4=［-1,2］,8=(1,+8),所以An8=［-1，2］

n(1,+°°)=(1>2］,

r

11.B6、B7［2012?課標(biāo)全國卷］當(dāng)Oowg時，4<log,1x,則。的取值范圍是()

A(0,坐)B停1)

C.(1,也)D.(^2,2)

11.B［解析］當(dāng)a>\時，齦0<xwg,所以10即<0.不滿足4"<log』,腦去；當(dāng)0<。<1

時，因為04只，數(shù)形結(jié)合易得，需滿足4分0以3，得2vlogq,則心>3，解得a>當(dāng)或a<

-坐結(jié)合前提條件得唳a<l.綜上，a￡惇，I)故選B.

B8基函數(shù)與函數(shù)的圖像象

15.B6、B8［2012?山東卷］若函數(shù)7(x)=，(a>0,aWl)在［-1,2］上的最大值為4,最小

值為"?，且函數(shù)g(x)=(l—4〃?立在［0,+8)上是增函數(shù)，貝.

15.；［解析］本題考查指數(shù)函數(shù)與嘉函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想及推理論證能

力，中檔題.

???g(x)=(l-4〃7m在(0,+8)上單調(diào)遞增，

1

呷?

當(dāng)”>1時，段)的最大值為/=4,即a=2,/〃=2T=|>；,與加相矛盾，舍去；

當(dāng)0<a<l時，4x)的最大值為a"=4,即4=(,m=自制成立.

5.B6、B8、B9［2012?北京卷］函數(shù)_/(x)=g—(；下的零點個數(shù)為()

A.0B.I

C.2D.3

5.B［解析］本題考查指數(shù)函數(shù)和嘉函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

由於)=或一0=0,可得及=(；)二令人(尤)=+g(x)=G>,所以函數(shù)於)的零點個

數(shù)就是函數(shù)人。)與g(x)的交點個數(shù)，如圖可知交點個數(shù)只有一個，所以函數(shù)人X)的零點個數(shù)

6.B

［解析］y=_/U)fy=/(-x)fy=/f-(x-2)］-y=-f(,2-x),即將y=/(x)的圖象關(guān)于y軸對

稱，再向右平移2個單位長度，然后關(guān)于x軸對稱，即為B圖象.

B9函數(shù)與方程

21.B9、B12、E5Q012?陜西卷］設(shè)函數(shù)式x)=x"+bx+c(〃GN+,b,cSR).

(1)設(shè)“22,b=l,c=-1,證明：Ax)在區(qū)間6，1)內(nèi)存在唯一零點；

(2)設(shè)〃為偶數(shù)，叭火求b+3c?的最小值和最大值；

(3)設(shè)〃=2,若對任意和工2引一1,1］有綱)一/2)忘4,求b的取值范圍.

21.解：(1)當(dāng)b=l,c=-1,時，/(x)=x"+R-1.

???伽)=&《卜l<0.

在6，1)內(nèi)存在零點.

又當(dāng)x￡g,1)時，f'(x)=nxn1+1>0>

1)上是單調(diào)遞增的,

1)內(nèi)存在唯一零點.

7W卜1)W1,|0W"c<2,

(2)解法一:由題意知,即

-1W川)W1,[-2Wb+cW0.

由圖像知，b+3c在點(0,-2)取到最小值-6,

在點(0,0)取到最大值0,

.??b+3c的最小值為-6,最大值為0.

解法二：由題意知

-I勺⑴=1+b+cWl,即-2Wb+cW0,①

-1^/(-1)=1-b+c^l,即一2W-6+c<0,②

①X2+②得

-6W2(b+c')+(-b+c)=b+3cW0,

當(dāng)b=0,c=-2時，b+3c=-6;當(dāng)6=c=0時，b+3c=0,

所以b+3c的最小值為-6,最大值為0.

X-1)=1-Z>+c.

解法三:由題意知，

川)=1+Z?+c,

川)一卜1)川)+卜1)-2

解得。

22

/.fe+3c=2/(1)+/(-1)-3.

又-1力-1)<1,

*1?-6W-+3cW0,

所以/?+3c的最小值為-6,最大值為0.

(3)當(dāng)n=2時，f(x)=x2+bx+c.

對任意小.-1,1］都有Kn)-於2)IW4等價于段)在［-1,1］上的最大值與最小值之差

MW4.據(jù)此分類討論如下：

①當(dāng)償>1,即的>2時，M=1/(1)-/(-1)1=21/?1>4,與題設(shè)矛盾.

②當(dāng)一1W-?<O,即0—時，

A/=Xl)-/(-1)=(1+收4恒成立.

③當(dāng)OW-^Wl,即-2W&W0時，

M=/(T)_4_］=伊1卜4恒成立.

綜上可知，-2W6W2.

注：②，③也可合并證明如下：

用max{a,/“表示。，》中的較大者.

當(dāng)即-2WSW2時，

Af=max{/(1),X-1))-X-2)

_--1)+川)+心1)-*)1_(_號

Cb2\

=0+^02^4恒成立.

3.B9、Cl［2012,湖北卷］函數(shù)/U)=RCOS2R在區(qū)間［0,2兀］上的零點的個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

3.D

、71

［解析］要使/U)=RCOS2T=0,則x=0或COS2R=0,而cos2x=0(尤6［0,2兀］)的解有工=不

a，T'所以零點的個數(shù)為5.故選D-

22.B3、B9、B12［2012?福建卷］已知函數(shù)犬x)=axsinx-,(°eR),且在［0,或上的最大

值為寫3

(1)求函數(shù)兀0的解析式；

(2)判斷函數(shù)ZU)在(0,兀)內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明.

22.解：(1)由已知/'a)=o(sinx+xcosx),

對于任意x￡(0,有sinji+xcosx>0.

3

當(dāng)〃=0時，段)=-］,不合題意；

當(dāng)〃<0,犬￡(0,習(xí)時，f(x)<0,從而於)在(0,芻內(nèi)單調(diào)遞減，

又危)在［o,T上的圖象是連續(xù)不斷的，故段)在［o,小的最大值為則)=-|,不合

題意；

當(dāng)a>0,x￡(0,號時，f(x)>0,從而汽X)在(0,號內(nèi)單調(diào)遞增，又於)在［o,手上的

圖象是連續(xù)不斷的，故於)在［。，外上的最大值為局，即為-|=號2，

解得。=1.

3

綜上所述，得f(x)=xsinx-

(2次x)在(0,兀)內(nèi)有且只有兩個零點.

證明如下：

33

由(1)知，於)=xsinx-］,從而有/(0)=一］<0?

又由⑴知人x)在［o,I上單調(diào)遞增，故,危0在(0,m內(nèi)有且僅有一個零點.

當(dāng)x￡［宗兀］時，令g(x)=/'(x)=sinx+xcosx.

由g③=1>。，g5)=-兀<0，且g(x)在任，兀］上的圖象是連續(xù)不斷的，故存在me

71兀)，使得g(，〃)=0.

由g'(x)=2cosx-xsiar,知x€仁，兀)時，有g(shù)'(x)<0,

從而g(x)在(看兀)內(nèi)單調(diào)遞減.

當(dāng)x陪，機)時，g(x)>g(m)=O,即/(x)>0,從而加)在停相)內(nèi)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x￡5'm時，危)》府)="°>0，

JI

故危:)在岳叫上無零點;

當(dāng)工￡(加,兀)時，有g(shù)(x)<g(〃2)=0,即(x)<0,從而/(X)在(〃2,兀)內(nèi)單調(diào)遞減.

又/(兀)<0,且外)在［%兀］上的圖象是連續(xù)不斷的，從而yu)在(加，兀)內(nèi)有且

僅有一個零點.

綜上所述，大x)在(0,兀)內(nèi)有且只有兩個零點.

5.B6、B8、B9［2012?北京卷］函數(shù)兀0=3一(，’的零點個數(shù)為(

)

A.0B.1

C.2D.3

5.B［解析］本題考查指數(shù)函數(shù)和嘉函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

由外0=8-&=0,可得皮=&，令力(X)=g,g(x)=&。所以函數(shù)加)的零點個

數(shù)就是函數(shù)/?(x)與g(x)的交點個數(shù)，如圖可知交點個數(shù)只有一個，所以函數(shù)式x)的零點個數(shù)

為1,答案為B.

虱/A(x)

B10函數(shù)模型及其應(yīng)用

21.BIO、B11、812(2012?浙江卷］已知0GR,函數(shù)式的=4/-2ax+a.

(1)求兀0的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)OWxWl時,1Ax)+12—H>0.

21.解：⑴由題意得了'(力=12?-"

當(dāng)aWO時，/'(x)》0恒成立，此時兀0的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,+oo).

當(dāng)a>0時，f(x)=12^r-+此時

函數(shù)/U)的單調(diào)遞增區(qū)間為'

(…，_耒］和［由+8),

單調(diào)遞減區(qū)間為-、yi，-

(2)由于OWxWl,故

當(dāng)aW2時,fix)+\a-2\=4x3-2ax+224x)-4x+2.

當(dāng)a〉2時，/(x)+la-21=4?+2a(l-x)-2>4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2.

設(shè)g(x)=2?-2x+IQWxWl,則

g，(幻=6犬2-2=61-半)"田，

于是

卜，9惇」)

X0亞1

3

g'(x)——0+

g(x)1