2024北京海淀高三一模數(shù)學(xué)本試卷共9頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1.已知全集U=?，集合A=x?1x，則CA=x2x2UA.(B.[C.(D.[2.若復(fù)數(shù)z滿足iz=1+i，則z的共軛復(fù)數(shù)z=A.1+iB.1?iC.1+iD.1?i==3.已知a為等差數(shù)列，Sn為其前n項和.若12a2，公差d0，Sm0，則m的值為nA.4B.5C.6D.74.已知向量a,b滿足|a=2，b=(2,0)，且|a+b=2，則a,b=ππππA.B.C.D.6336x22y225.若雙曲線?=1ab0)上的一點到焦點(?5,0)的距離比到焦點(5,0)的距離大b，則該雙曲ab線的方程為x2x2y2y2A.?y2=1B.?y2=1C.x2?=1D.x2?=142246.設(shè),是兩個不同的平面，l,m是兩條直線，且m，l⊥.l⊥”是“m//”的A.充分而不必要條件C.充分必要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件30x,x7.已知f(x)=lg(x+x0，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為m，過點(0,2)與曲線y=f(x)相切的直線的條數(shù)為n，則,n的值分別為A.B.1,2C.D.2,28.在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊在第三象限.則A.sin?costanC.sincostanB.sin?costanD.sincostan9.函數(shù)f(x)是定義在(?4)上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，第1頁/共4頁f=0.設(shè)f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則關(guān)于x的不等式f(xf(x)0的解集是+A.2]B.[0]4)C.(0]D.(0]10.某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通過觀察發(fā)現(xiàn)，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會以該直線為對稱軸分叉（分叉的角度約為；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半.于是，該組同學(xué)將整個繁殖過程抽象為如圖2所示的一個數(shù)學(xué)模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心O開始，沿直線繁殖到A，然后分叉向A與A方向繼續(xù)繁殖，其中112122AAA=60AA1121AA1122關(guān)于11，且與所在直線對稱，2111221AA=AA=,.若=，為保證黏菌在繁殖過程中不會碰到培1121112211112養(yǎng)皿壁，則培養(yǎng)皿的半徑r(rN*,cm)至少為A.6B.7C.8D.9第二部分（非選擇題共分）二、填空題共5小題，每小題525分。a已知=2，則a2?b=_________.2b12.已知13.若(x?2)=a4x2+y2=3，線段是過點的弦，則|AB|的最小值為_________.1+a344+3x3+a2x2+ax+a，則a=_________；=_________.100++024π514.已知函數(shù)f(x)=sin(x+)sin2x，則f(π)=_________；函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心的坐標為44_________.15.已知函數(shù)f(x)=3x?x，給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；Rk0②k，且，關(guān)于的方程xf(x)?=0恰有兩個不相等的實數(shù)根；11③已知P是曲線yf(x)上任意一點，=(?,0)，則|AP；22④設(shè)M(x,y)為曲線yf(x)上一點，=N(x,y)為曲線y=?f(x)上一點.若|x+x=1|1，則.112212其中所有正確結(jié)論的序號是_________.第2頁/共4頁三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16.（本小題13分）在△ABC中，bsinC+cB=2c.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a23，=b+c=4，求△ABC的面積.17.（本小題14分）如圖，在四棱錐P中，?//，M為BP的中點，AM//平面CDP.（Ⅰ）求證：2；=（Ⅱ）若，選擇一個作為已知，使四棱錐P存在且唯一確定.⊥===CD=1，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中?（ⅰ）求證：平面⊥；（ⅱ）設(shè)平面CDP平面BAPl，求二面角=C?l?B的余弦值.條件①：；=條件②：；⊥條件③：CBM=CPM.注：如果選擇的條件不符合要求，第（?。﹩柕?分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.18.（本小題13分）某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過程性積分.現(xiàn)從該校隨機抽取名學(xué)生，獲得其科普測試成績（百分制，且均為整數(shù)）及相應(yīng)過程性積分數(shù)據(jù)，整理如下表：科普測試成績x90x10080x9070x8060x700x科普過程性積分人數(shù)10a43210b232（Ⅰ）當(dāng)a35時，=（?。脑撔ｋS機抽取一名學(xué)生，估計這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的概率；（Ⅱ）從該校科普測試成績不低于80分的學(xué)生中隨機抽取2名，記X為這2名學(xué)生的科普過程性積分之和，估計X的數(shù)學(xué)期望E(X)；（Ⅱ）從該?？破者^程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機抽取一名，其科普測試成績記為1，上述名學(xué)生科普測試成績的平均值記為2.若根據(jù)表中信息能推斷YY恒成立，直接寫出的最小值a.12第3頁/共4頁19.（本小題15分）已知橢圓G:x+222=m的離心率為，A,A分別是G的左、右頂點，F(xiàn)是G的右焦點.122（Ⅰ）求m的值及點F的坐標；（Ⅱ）設(shè)P是橢圓G上異于頂點的動點，點Q在直線x2上，且=⊥，直線與軸交于點M.比x較||與||||的大小122.20.（本小題15分）已知函數(shù)f(x)=ea?12x.（Ⅰ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)g(x)|f(x)e?=+2a|，x(0,+)存在最大值，求a的取值范圍.21.（本小題15分）已知Q:a,a,(mmN)為有窮正整數(shù)數(shù)列，其最大項的值為m，*12且當(dāng)k=時，均有km+ikm+jijm)設(shè)b=0，對于t0.，t，其中，minM表示數(shù)集M中最小的數(shù).定義t1nni,n=（Ⅰ）若Q:2,3，寫出b,b的值；13（Ⅱ）若存在Q滿足：b2311，求的最小值；++=m1（Ⅲ）當(dāng)m2024時，證明：對所有=Q，b202320240.第4頁/共4頁20232024學(xué)年第二學(xué)期期中練習(xí)高三數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（共10小題，每小題440分）（1D（6A（2A（7B（3B（8C（4C（9D（D（C二、填空題（共5小題，每小題525分）（）4（13）12）24041π14）1(,（答案不唯一）4（15）②③④三、解答題（共6小題，共85分）（16共13abc解：（Ⅰ）由正弦定理及bsinCccosB2csinAsinBsinCsinBsinC3sinCB2sinC.sinC0.因為Cπ)，所以所以sinB3B2.π所以sin(B)1.3因為B(0,)，πππ所以B，即B.326a2c2b23（Ⅱ）由余弦定理得B.2因為a23，所以c2b2c.因為b所以cc4，2.1所以△ABC的面積為acsinB3.2（17共14解：（Ⅰ）取的中點N，連接，ND.P因為M為的中點，1所以，.M2N因為，ABD所以.所以M，N，D，A四點共面.C因為平面，平面MNDA平面CDPDN，所以.所以MNAD.所以2.（Ⅱ）取的中點E，連接，AC.由（Ⅰ）知2.所以.因為，所以四邊形是平行四邊形.所以1，CD.1因為CD1，所以1.P2所以，即ABAC.選條件①：.M（ⅰ）因為1，，所以△△.ABDE所以.C因為，所以PAB90.所以，即.所以AP平面ABCD.（ⅱ）由（ⅰ）知AP平面ABCD.所以APAC.因為，1，如圖建立空間直角坐標系A(chǔ).則P，C3,0)，D(1,3,0).1221233所以CD(,,0)，(,,3,0).，222設(shè)平面的法向量為n(,y,z)，則z123xyPn2即n13xyz0.22M令x3，則yn(3,3).1，z3.于是ABDxC因為為平面的法向量，且yn7cosAC,n，|AC||n|77所以二面角ClB的余弦值為.7選條件③：.（?。┧訡BCP.因為1，CACA，△所以△.所以90，即PAAC.因為，所以平面ABCD.（ⅱ）同選條件①．（18共13解：（Ⅰ）當(dāng)a時，（?。┯杀砜芍?，科普過程性積分不少于3分的學(xué)生人數(shù)為.所以從該校隨機抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分45的頻率為0.45．100所以從該校隨機抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的概率估計為0.45．35351079的科普過程性積分為3分的頻率為.所以從該校學(xué)生活動成績不低于7的科普過程性積分為3分的概率估計為.同理，從該校學(xué)生活動成績9不低于4分2的概率估計為.9由表可知X的所有可能取值為8．792979294981479292881P(X6)P(X，P(X7)2，．814928458所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)678．8181819（Ⅱ）7．（19共15解m1.設(shè)a2m，b21，則c2a2b2m1.2因為G的離心率為，2a2c2，即mm．所以所以m2，c1.所以m的值為2，點F的坐標為．P(x,y)（xy0y)，M(x,0)x2，xx，0000QM00Mx22y22.①00因為,所以(0y)y)0.Q01x所以Q0.②0因為Q，P，M三點共線，0(2,0)，Qy2000M所以0.③2由①②③可得xM.0由（Ⅰ）可知1(2,0)，A(2,0).2222|2|||(x0)2y2(x2)(2)0所以1200x210x2201.4424x22x2200x2|2|||010，即|2||||.所以12122（20共151ax解f(x)xe2，111axxaxaxx所以fx)e2e2e2).22令f)0，得x2．f)與f(x)的變化情況如下表：x(,2)20(2,)f)f(x)↗↘所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(,；單調(diào)遞減區(qū)間是(2,)．（Ⅱ）令h(x)f(x)e2a，則hx)fx).由（Ⅰ）可得：函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(,；單調(diào)遞減區(qū)間是(2,)．h(2)2ea1e2a.所以h(x)在x2時取得最大值12ax所以當(dāng)x2h(x)xe+e2ae2ah(0)0x2時，(x)，即當(dāng)x)時，(x)(.所以g(x)|(x)|在)上存在最大值的充分必要條件是2ea1e2ae2a|2ea1e2a||e2a|，即ea1e2a0.2令m(x)ex1e2x，則mx)ex1e2.因為因為所以mx)ex1e2，所以(x)是增函數(shù).00m(e2e2，0m(a)ea1e2a的充要條件是a1.所以a的取值范圍為[.)（21共15解：（Ⅰ）b1,b6．13（Ⅱ）由題意知m3.當(dāng)m3時，因為a1，b0，所以b1.101因為aa，且a，a均為正整數(shù)，2323所以a1，或a1.23所以23.因為a，a，a是互不相等的正整數(shù)，所以必有一項大于2.456所以36.所以bbb10，不合題意.123當(dāng)m4時，對于數(shù)列Q：4有bbb13711.123綜上所述，m的最小值為4.（Ⅲ）因為t1n|nb,at}，t，tn所以t1b，t.t（ⅰ）若t1，則當(dāng)nt1時，至少以下情況之一成立：①nt，這樣的n至多有t個；②存在it，in，這樣的n至多有t個.所以小于t1的n至多有t個.所以t1tt1t1.令t12024，解得t11012.所以b2024.（ⅱ）對kN*，若t2024kt1，且2024ktl12024(k，因為tl1n|nb,atl}n(2024k,tl1