講座能量泄漏以及窗函數(shù)可以看出100Hz波形與采樣點(diǎn)正弦曲線吻合，而另外兩個(gè)頻率的曲線誤差較大，而真正采樣后的曲線是三個(gè)虛線的疊加，于是高頻信號(hào)的采樣值就構(gòu)成虛假的低頻信號(hào)附加到原低頻的采樣值上，從而產(chǎn)生頻率混淆現(xiàn)象。第2頁,共27頁，2024年2月25日，星期天

為避免混疊，就要將連續(xù)信號(hào)的頻譜進(jìn)行截?cái)啵O(shè)其截?cái)囝l率為。即使，

所選截?cái)囝l率應(yīng)是欲分析的最高頻率fmax。

當(dāng)然其頻譜圖中頻率的最大值應(yīng)大于fc即這樣進(jìn)行采樣就無頻率混疊（淆），這就是所謂的采樣定理（Shannon定理）。即要達(dá)到頻率不混疊，只需采樣頻率大于等于2倍的最高頻率，也即只需一個(gè)周期中采兩個(gè)或兩個(gè)以上的點(diǎn)即可沒有頻率混疊，從而得到準(zhǔn)確的頻譜。第3頁,共27頁，2024年2月25日，星期天△t——采樣時(shí)間間隔；fs——采樣頻率(fs=1/△t)；N——總的采樣點(diǎn)數(shù)；T——總采樣時(shí)間，T＝N×△t；Fmax——信號(hào)中的最高頻率。有以下關(guān)系因此基于采樣定理，有該式建立起了最短采樣時(shí)間、最大采樣間隔、采樣點(diǎn)數(shù)及分析頻率之間的關(guān)系。先有儀器，往往N固定為1024.第4頁,共27頁，2024年2月25日，星期天譜窗、泄漏以及平滑一、有限數(shù)據(jù)的傅立葉變換在工程實(shí)際中，實(shí)際獲得的信號(hào)長度是有限的，該有限長度的信號(hào)可被認(rèn)為是無限長信號(hào)乘以單位矩形函數(shù)獲得的：根據(jù)傅立葉變換的卷積定理（兩函數(shù)乘積的傅立葉變換等于其傅里葉變換的卷積）：第5頁,共27頁，2024年2月25日，星期天設(shè)某信號(hào)為一無限長余弦信號(hào)，以此為例進(jìn)行泄漏分析。其傅立葉變換為單位矩形函數(shù)——矩形窗函數(shù)b(t)的表達(dá)式為其傅立葉變換為第6頁,共27頁，2024年2月25日，星期天這樣我們?nèi)-τ，+τ]內(nèi)的有限長余弦信號(hào)就相當(dāng)于使用上述的矩形窗函數(shù)與無限長余弦函數(shù)相乘，于是該有限長余弦信號(hào)的傅里葉變換為：得到的圖形見右?？梢姡漕l譜不是兩條譜線了，而是發(fā)生了畸變，原來集中在f0處的能量被分散到較寬的頻帶上了，這種現(xiàn)象叫做泄漏。若僅僅從頻譜上分析信號(hào)的頻率組成，必然導(dǎo)致誤差。出現(xiàn)泄漏的原因是，窗函數(shù)的頻譜是連續(xù)譜，且包含一個(gè)主瓣和無數(shù)旁瓣，這樣進(jìn)行卷積時(shí)導(dǎo)致主瓣的能量被轉(zhuǎn)移到旁瓣中去了。第7頁,共27頁，2024年2月25日，星期天二、譜窗以及泄漏譜窗從有限長度樣本得到的譜密度原始估計(jì)值(區(qū)別于后述的經(jīng)平滑處理的估計(jì)值)用下式計(jì)算式中——相關(guān)函數(shù)的最大時(shí)移。上式是用有限區(qū)間的積分來估計(jì)由式所定義的真實(shí)譜密度?？梢园芽闯墒窃赱-，]區(qū)間截?cái)嗟慕Y(jié)果。這種截?cái)啾厝粚?dǎo)致誤差的產(chǎn)生，是譜處理時(shí)必須考慮的一個(gè)問題。第8頁,共27頁，2024年2月25日，星期天U(τ)為矩形函數(shù)當(dāng)然其傅立葉變換為根據(jù)傅氏變換的卷積定理，有可寫成第9頁,共27頁，2024年2月25日，星期天把矩形函數(shù)稱為窗函數(shù)，它在時(shí)域上的稱為矩形時(shí)移窗（時(shí)域窗）。在頻域上稱為矩形譜窗。時(shí)移窗和譜窗互為傅氏變換。泄漏的概念譜密度處理時(shí)，矩形窗函數(shù)的存在，使相對(duì)于產(chǎn)生畸變。例如，設(shè)正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)為第10頁,共27頁，2024年2月25日，星期天則功率譜密度函數(shù)為：即頻率是f0的正弦波的雙邊功率譜是在頻率處±f0的兩個(gè)脈沖函數(shù)。如果以單邊功率譜表示，有第11頁,共27頁，2024年2月25日，星期天再看經(jīng)過截?cái)嗪笥邢迶?shù)據(jù)的功率譜密度函數(shù)

一般f0×τm＞＞1，因此相應(yīng)的單邊譜為第12頁,共27頁，2024年2月25日，星期天f＝f0時(shí)有其最大值，為它們的圖形為可以看出原采集中于一個(gè)頻率的功率，由于副瓣的存在，能量被分散到一個(gè)較寬的頻率范圍上，這種功率分散的效應(yīng)稱為泄漏。泄漏效應(yīng)的產(chǎn)生，降低了譜估計(jì)的精度。第13頁,共27頁，2024年2月25日，星期天

上述特例可以推廣至任意類型的函數(shù)。圖是某一任意函數(shù)譜估計(jì)時(shí)泄漏效應(yīng)的影響示意圖。由圖看到，原來比較光滑的功率譜密度函數(shù)曲線，經(jīng)用譜窗卷積之后，得到的是一條具有“皺波”的非光滑曲線。皺波或者偏離的形成，完全是因?yàn)樽V窗函數(shù)在主瓣兩側(cè)出現(xiàn)正負(fù)相間的副瓣所致。因此為了減小統(tǒng)計(jì)誤差，必須抑制泄漏。同時(shí)可以看出，泄漏的程度取決于副瓣或者旁瓣的大小。第14頁,共27頁，2024年2月25日，星期天三、抑制泄漏的措施

泄漏的程度取決于譜窗副瓣的大小。較小的副瓣，得到的曲線具有較小的皺波。因此，為了抑制泄漏，應(yīng)選擇副瓣較小的譜窗函數(shù)。工程上，提出了多種形式的譜窗，常用的有哈寧(Hanning)窗和海明(Hamming)窗。1、哈寧窗哈寧時(shí)移窗的函數(shù)式為其譜窗為：第15頁,共27頁，2024年2月25日，星期天從上式可看到，哈寧譜窗是由一個(gè)壓低1/2的矩形譜窗和兩個(gè)各左右位移1/(2τm)、峰高為1/4的矩形譜窗譜窗迭加而成,見圖，圖中虛線是三個(gè)變異矩形譜窗。分析可知，矩形譜窗的主瓣高為2τm

，寬為1/τm，第一副瓣的約為主瓣高的20％；而D(f)譜窗的主瓣高為τm，寬為2/τm

，第一副瓣高約為主瓣高的2.4％。哈寧窗副瓣有明顯的降低，達(dá)到了抑制泄漏的目的。但是它的主瓣寬卻加大了一倍。即，減少泄漏是以展寬主瓣為代價(jià)。主瓣的展寬意味著帶寬擴(kuò)展，從而使功率譜圖形的分辨能力降低。因此，功率譜處理時(shí)，往往需要在提高分辨力和減少泄漏兩者之間作折衷考慮。第16頁,共27頁，2024年2月25日，星期天2.海明窗海明時(shí)移窗的函數(shù)式為相應(yīng)的海明譜窗為可見Hanning、Hamming譜窗結(jié)構(gòu)一樣，只是系數(shù)作了調(diào)整，以進(jìn)一步抑制泄漏，壓低副瓣高。其，但主瓣高約為1.08τm，第一副瓣高接近于零。因此，減少泄漏的效果更好一些。第17頁,共27頁，2024年2月25日，星期天必須指出，盡管泄漏效應(yīng)使得功率譜密度函數(shù)不準(zhǔn)確，但沒有使隨機(jī)過程的總功率有任何損失。例如前述的正弦函數(shù)：無泄漏時(shí)，功率為：有泄漏時(shí)，功率為：可見，隨機(jī)過程的功率并無損失。第18頁,共27頁，2024年2月25日，星期天3、平滑處理

前述抑制泄漏的措施，是通過對(duì)原始數(shù)據(jù)選用適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)達(dá)到，反映在頻域上的效果是使功率譜密度函數(shù)的皺波減小。實(shí)際上這一效果也可以從另一角度達(dá)到：用矩形時(shí)移窗得到功率譜密度函數(shù)，然后對(duì)其進(jìn)行光滑，稱之為平滑處理。平滑的結(jié)果得到一條較為光滑的曲線，從而減少了譜處理的統(tǒng)計(jì)誤差。第19頁,共27頁，2024年2月25日，星期天右圖是平滑處理示意圖，圖中實(shí)線是，虛線是。平滑處理時(shí)，對(duì)于第k點(diǎn)的值，參考前后兩點(diǎn)，即第k－1點(diǎn)和第k－1點(diǎn)的值、，以圓滑過渡為目標(biāo)進(jìn)行修正，稱修正后的估計(jì)值為平滑估計(jì)值，記為，以區(qū)別于未經(jīng)平滑的原始估計(jì)值。平滑處理時(shí)，用下式計(jì)算（設(shè)k的最小、大值為0、m）利用矩形窗得到的功率譜密度第20頁,共27頁，2024年2月25日，星期天在k＝0、m處，取

上式是平滑處理中常用公式，但不是唯一的?？梢宰C明，利用上述的平滑處理抑制泄漏與與采用Hanning窗的效果完全相同。

數(shù)據(jù)處理時(shí)，是對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行抑制泄漏處理，還是在頻域上作平滑處理，可視數(shù)據(jù)處理的方便性進(jìn)行決定。第21頁,共27頁，2024年2月25日，星期天功率譜密度函數(shù)的計(jì)算1、信號(hào)傅里葉變換及余弦坡度窗函數(shù)設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程{x(t)}的一個(gè)樣本，則式中：x‘(t)——假想的平穩(wěn)隨機(jī)過程{x(t)}的一個(gè)無限長樣本，在[-T/2，T/2]內(nèi)與x(t)相同；

X’(f)——x‘(t)的傅立葉變換；

u(t)——矩形時(shí)移窗；

U(f)——u(t)的傅立葉變換。第22頁,共27頁，2024年2月25日，星期天實(shí)際處理中為抑制泄漏，采用Hanning/Hamming窗函數(shù)，這需要對(duì)信號(hào)的每一點(diǎn)進(jìn)行改造，但若信號(hào)很長，則費(fèi)時(shí)間。因而有時(shí)使用1/10余弦坡化數(shù)字窗代之：采用此窗只需對(duì)20％的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。第23頁,共27頁，2024年2月25日，星期天2、比例因子的概念及確定

在利用信號(hào)的傅里葉變換計(jì)算功率譜密度時(shí)，由于窗函數(shù)的引入，使得信號(hào)的形狀發(fā)生改變，矩形窗除外。如圖所示。這樣就導(dǎo)致加窗前后的信號(hào)總功率發(fā)生改變。因此若要保持原信號(hào)的總功率不變，必須對(duì)加窗后信號(hào)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正——乘以一個(gè)因子。若原始數(shù)據(jù)的總功率為信號(hào)乘以窗函數(shù)后的總功率為第24頁,共27頁，2024年2月25日，星期天這兩個(gè)值是不等的，要使兩者相等，引入?yún)?shù)K，于是：K值為比例因子，可以計(jì)算得出：矩形窗1Hanning2.67hamming2.52余弦坡度窗1.43第25頁,共27頁，2024年2月25日，星期天3、獲得自功率譜密度函數(shù)的一般過程①測取N個(gè)采樣點(diǎn)