2022年廣東省汕頭市丹陽(yáng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.與橢圓+y2=1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P（2，1）的雙曲線方程是（）A．﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．﹣=1 D．x2﹣3y2=1參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出雙曲線方程，求解即可．【解答】解：橢圓+y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)（，0），設(shè)雙曲線方程為：，雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1），可得，解得a=，所求雙曲線方程為：﹣y2=1．故選：B．2.點(diǎn)P(-1，2)到直線的距離為（

）A.2

B.

C.1

D.參考答案：B3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．已知b=26，c=15，C=28°，則△ABC有（）A．一解 B．二解 C．無(wú)解 D．不能確定參考答案：B【考點(diǎn)】解三角形．【分析】利用正弦定理，即可得出結(jié)論．【解答】解：由正弦定理可得，∴sinB=＜1，∵b＞c，∴B有兩解．故選B．4.已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若△ABC的周長(zhǎng)為2(＋1)，且sinB＋sinC＝sinA，則a＝

()A.

B．2

C．4

D．2參考答案：B5.已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A因?yàn)樵趨^(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)所以，而在區(qū)間上所以，即令，則分子分母同時(shí)除以，得令，則在區(qū)間上為增函數(shù)所以所以在區(qū)間上恒成立即在區(qū)間上恒成立所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)所以

6.某四面體三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.在某校的元旦晚會(huì)上有5個(gè)歌唱類節(jié)目，4個(gè)舞蹈類節(jié)目，3個(gè)小品相聲類節(jié)目，現(xiàn)要排出一張節(jié)目單，要求歌唱類節(jié)目不能相鄰，則可以排出的節(jié)目單的總張數(shù)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.已知U=R，，則（CUA）∩B=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．[1，3]D．（1，3）參考答案：B【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】首先整理集合A，解關(guān)于x的絕對(duì)值不等式，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域做出集合B的范圍，求出補(bǔ)集再寫出交集．【解答】解：∵A={x||x﹣2|≤1}={x|1≤x≤3}∴CUA={x＜1或x＞3}，∵={x|x＞1}∴（CUA）∩B={x|x＞3}故選B．9.拋物線y=2x2的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（）A．2 B．1 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得拋物線y=2x2的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離．【解答】解：拋物線y=2x2化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y∴拋物線y=2x2的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為=故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程是解題的關(guān)鍵．10.已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和兩點(diǎn)A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則m的最大值為（）A．7 B．6 C．5 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)圓心C到O（0，0）的距離為5，可得圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)O的距離的最大值為6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，從而得到答案．【解答】解：圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圓心C（3，4），半徑為1，∵圓心C到O（0，0）的距離為5，∴圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)O的距離的最大值為6．再由∠APB=90°可得，以AB為直徑的圓和圓C有交點(diǎn)，可得PO=AB=m，故有m≤6，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，則的最小值是

．參考答案：4【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【分析】先根據(jù)ln（a+b）=0求得a+b的值，進(jìn)而利用=（）（a+b）利用均值不等式求得答案．【解答】解：∵ln（a+b）=0，∴a+b=1∴=（）（a+b）=2++≥2+2=4故答案為：412.上有一動(dòng)點(diǎn)，圓，過(guò)圓心任意作一條直線與圓交于兩點(diǎn)和，圓,過(guò)圓心任意作一條直線與圓交于兩點(diǎn)和,則的最小值為

。參考答案：613.數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，已知，則_____.參考答案：11014.已知不同的三點(diǎn)A，B，C在一條直線上，且=a5+a2012，則等差數(shù)列{an}的前2016項(xiàng)的和等于

．參考答案：1008【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】不同的三點(diǎn)A，B，C在一條直線上，且=a5+a2012，可得a5+a2012=1．可得a1+a2016=a5+a2012．再利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：不同的三點(diǎn)A，B，C在一條直線上，且=a5+a2012，∴a5+a2012=1．∴a1+a2016=a5+a2012=1．則等差數(shù)列{an}的前2016項(xiàng)的和==1008．故答案為：1008．15.已知隨機(jī)變量X的概率分布如下表所示，且其數(shù)學(xué)期望E（X）=2，X0123Pab則隨機(jī)變量X的方差是_________．參考答案：略16.某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)（如下表），由最小二乘法求得回歸直線方程為，表中丟失一個(gè)數(shù)據(jù)，請(qǐng)你推斷出該數(shù)數(shù)值為_(kāi)_____________.零件個(gè)數(shù)（）1020304050加工時(shí)間（62

758189參考答案：6817.某種平面分形圖如圖所示，一級(jí)分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段，長(zhǎng)度均為1，兩兩夾角為120°；二級(jí)分形圖是在一級(jí)分形圖的每一條線段的末端再生成兩條長(zhǎng)度均為原來(lái)的線段；且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°；…；依此規(guī)律得到n級(jí)分形圖，則（Ⅰ）四級(jí)分形圖中共有

條線段；（Ⅱ）n級(jí)分形圖中所有線段的長(zhǎng)度之和為

．參考答案：45，．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】（I）當(dāng)n=1時(shí)，共有3條線段；當(dāng)n=2時(shí)，共有3+3×（3﹣1）=9條線段；當(dāng)n=3時(shí)，共有3+3×（3﹣1）+3×22=21條線段；由此規(guī)律可得：當(dāng)n=4時(shí)，共有3+3×（3﹣1）+3×22+3×23．（II）由（I）可得：n級(jí)分形圖中所有線段的長(zhǎng)度之和=3++×3×22+…+=3，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．【解答】解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，共有3條線段；當(dāng)n=2時(shí)，共有3+3×（3﹣1）=9條線段；當(dāng)n=3時(shí)，共有3+3×（3﹣1）+3×22=21條線段；當(dāng)n=4時(shí)，共有3+3×（3﹣1）+3×22+3×23=45條線段．（II）由（I）可得：n級(jí)分形圖中所有線段的長(zhǎng)度之和=3++×3×22+…+=3==．故答案分別為：45，．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：函數(shù)的定義域：，，

——————2分所以當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減

所以，無(wú)極小值．

——————5分(2)若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則由可得①當(dāng)時(shí)，≤0，在[0,1]上單調(diào)遞減，∴，即；

——————7分②當(dāng)時(shí)，>0，在[0,1]上單調(diào)遞增，∴，即；

——————9分③當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，，由于，故，由（1）知，所以故不可能成立；

——————11分綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

——————12分19.已知函數(shù)f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=處取得極值．（Ⅰ）確定a的值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）ex，討論g（x）的單調(diào)性．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【專題】綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=處取得極值，可得f′（﹣）=0，即可確定a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）ex，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得g（x）的單調(diào)性．【解答】解：（Ⅰ）對(duì)f（x）求導(dǎo)得f′（x）=3ax2+2x．∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=處取得極值，∴f′（﹣）=0，∴3a?+2?（﹣）=0，∴a=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）ex，∴g′（x）=（x2+2x）ex+（x3+x2）ex=x（x+1）（x+4）ex，令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，當(dāng)x＜﹣4時(shí)，g′（x）＜0，故g（x）為減函數(shù)；當(dāng)﹣4＜x＜﹣1時(shí)，g′（x）＞0，故g（x）為增函數(shù)；當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，g′（x）＜0，故g（x）為減函數(shù)；當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，故g（x）為增函數(shù)；綜上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）內(nèi)為減函數(shù)，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查分類討論的思想方法，以及函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明.參考答案：（1）若，則當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增．若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）見(jiàn)解析.試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化情況討論單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）證明，即證，而，所以需證，設(shè)g（x）=lnx-x+1，利用導(dǎo)數(shù)易得，即得證.試題解析：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+），.若a≥0，則當(dāng)x∈（0，+）時(shí)，，故f（x）在（0，+）單調(diào)遞增.若a＜0，則當(dāng)x∈時(shí)，；當(dāng)x∈時(shí)，.故f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在取得最大值，最大值為.所以等價(jià)于，即.設(shè)g（x）=lnx-x+1，則.當(dāng)x∈（0,1）時(shí)，；當(dāng)x∈（1，+）時(shí)，.所以g（x）在（0,1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≤0.從而當(dāng)a＜0時(shí)，，即.【名師點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見(jiàn)類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).21.已知函數(shù)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（）均在函數(shù)的圖像上.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù).參考答案：（1）；（2）10．分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出，由此能求出；（2）由，利用裂項(xiàng)求和法求出，由此能求出滿足要求的最小整數(shù).詳解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合上式綜上，（2）所以由對(duì)所有都成立，所以，得,故最小正整數(shù)的值為.點(diǎn)睛：利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等．22.已知橢圓+=1（a＞b＞0）和直線l：﹣=1，橢圓的離心率e=，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知定點(diǎn)E（﹣1，0），若直線m過(guò)點(diǎn)P（0，2）且與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，試判斷是否存在直線m，使以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E？若存在，求出直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由橢圓的離心率e=，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l：﹣=1的距離為，求出a，b，由此能求出橢圓方程．（Ⅱ）當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線m方程為x=0，以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E；當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m方程為y=kx+2，由，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、圓的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出當(dāng)以CD為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)E時(shí)，直線m的方程．【解答】解：（Ⅰ）由直線，∴，即4a2b2=3a2+3b2﹣﹣①又由，得，即，又∵a2=b2+c2，∴﹣﹣②將②代入①得，即，∴a2=3，b2=2，c2=1，∴所求橢圓方程是；（Ⅱ）①當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線m方程為x=0，則直線m與橢圓的交點(diǎn)為（0，±1），又∵E（﹣1，0），∴∠CED=90°，即以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E；②當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m方程為y=kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2），由，得（1+3k2）x2