專題15離散型隨機變量及其分布（理科）-2024高考數(shù)學母題題源解密（全國通用）（含解析）專題15離散型隨機變量及其分布（理科）考向一離散型隨機變量分布列與期望【母題來源】2022年高考全國甲卷（理科）【母題題文】甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．（1）求甲學校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．【試題解析】【小問1詳解】設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為．【小問2詳解】依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.【命題意圖】本題主要考查離散型隨機變量的可能取值，再分別計算出對應的概率，列出分布列，即可求出期望.【命題方向】這類試題在考查題型上選擇、填空、解答題都有可能出現(xiàn)，題型多樣，思路靈活，試題難度不大，是歷年高考的熱點．常見的命題角度有：（1）離散型隨機變量分布列；（2）離散型隨機變量期望；（3）離散型隨機變量方差.【得分要點】正確寫出離散型隨機變量的所有取值；；（3）根據(jù)期望公式求出數(shù)學期望.一、單選題1．（2022·河南洛陽·模擬預測（理））已知隨機變量，若，則（

）A．0.36 B．0.18 C．0.64 D．0.822．（2022·江蘇省木瀆高級中學模擬預測）2012年國家開始實施法定節(jié)假日高速公路免費通行政策，某收費站統(tǒng)計了2021年中秋節(jié)前后車輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站近幾天車輛通行數(shù)量，若，則當時下列說法正確的是（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·三模）設，隨機變量的分布列是0p1P則當p在區(qū)間內(nèi)增大時，（

）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小4．（2022·黑龍江·雞西市第四中學三模（理））已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.0235．（2022·山東濰坊·模擬預測）Poisson分布是統(tǒng)計學里常見的離散型概率分布，由法國數(shù)學家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列為，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，是Poisson分布的均值．當二項分布的n很大而p很小時，Poisson分布可作為二項分布的近似．假設每個大腸桿菌基因組含有10000個核苷酸對，采用紫外線照射大腸桿菌時，每個核苷酸對產(chǎn)生嘧啶二體的概率均為0.0003，已知該菌株基因組有一個嘧啶二體就致死，則致死率是（

）A． B． C． D．6．（2022·浙江省春暉中學模擬預測）盒中有大小相同的5個紅球和3個白球，從中隨機摸出3個小球，記摸到白球的個數(shù)為，則隨機變量的數(shù)學期望（

）A． B． C． D．7．（2022·湖北省仙桃中學模擬預測）小明班的語文老師昨天報了一次聽寫，語文老師給了小明滿分分，但實際上小明有一處寫了個錯別字，告訴了小王和小丁，錯一處扣分，但小明自己不會給老師說，小王有的可能告訴老師，小丁有的可能告訴老師，他們都不會告訴其他同學，老師知道后就會把分扣下來，則最后小明的聽寫本上的得分期望（

）A． B． C． D．8．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預測）冬奧會的兩個吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結合，體現(xiàn)了冰雪運動和現(xiàn)代科技特點．冬殘奧會吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進行設計創(chuàng)作，頂部的如意造型象征吉祥幸福．小明在紀念品商店買了6個“冰墩墩”和3個“雪容融”，隨機選了3個寄給他的好朋友小華，則小華收到的“冰墩墩”的個數(shù)的平均值為（

）A．1 B．2 C．3 D．1.5二、填空題9．（2022·江蘇省贛榆高級中學模擬預測）柯西分布(Cauchydistribution)是一個數(shù)學期望不存在的連續(xù)型概率分布．記隨機變量服從柯西分布為，其中當，時的特例稱為標準柯西分布，其概率密度函數(shù)為．已知，，，則________.10．（2022·江蘇南通·模擬預測）小強對重力加速度做n次實驗，若以每次實驗結果的平均值作為重力加速度的估值．已知估值的誤差，為使誤差在內(nèi)的概率不小于0.6827，至少要實驗___________次．（參考數(shù)據(jù)：若，則）．三、解答題11．（2022·四川成都·模擬預測（理））成都高中為了鍛煉高三年級同學的身體，同時也為了放松持續(xù)不斷的考試帶來的緊張感，調節(jié)學習狀態(tài)，特組織學生進行投籃游戲.投籃只有“命中”和“不命中”兩種結果，“命中”加10分，“不命中”減10分.某班同學投籃“命中”的概率為，“不命中”的概率為，每次投籃命中與否相互獨立.記該班同學次投籃后的總得分為.(1)求且的概率；(2)記，求的分布列與數(shù)學期望.12．（2022·河南安陽·模擬預測（理））產(chǎn)品開發(fā)是企業(yè)改進老產(chǎn)品?開發(fā)新產(chǎn)品，使其具有新的特征或用途，以滿足市場需求的流程.某企業(yè)開發(fā)的新產(chǎn)品已經(jīng)進入到樣品試制階段，需要對5個樣品進行性能測試，現(xiàn)有甲?乙兩種不同的測試方案，每個樣品隨機選擇其中的一種進行測試，已知選擇甲方案測試合格的概率為，選擇乙方案測試合格的概率為，且每次測試的結果互不影響.(1)若3個樣品選擇甲方案，2個樣品選擇乙方案.（i）求5個樣品全部測試合格的概率；（ii）求4個樣品測試合格的概率.13．（2022·湖北·黃岡中學三模）2022世界乒乓球團體錦標賽將于2022年9月30日至10月9日在成都舉行．近年來，乒乓球運動已成為國內(nèi)民眾喜愛的運動之一．今有甲、乙兩選手爭奪乒乓球比賽冠軍，比賽采用三局兩勝制，即某選手率先獲得兩局勝利時比賽結束．根據(jù)以往經(jīng)驗，甲、乙在一局比賽獲勝的概率分別為、，且每局比賽相互獨立．(1)求甲獲得乒兵球比賽冠軍的概率；(2)比賽開始前，工作人員買來兩盒新球，分別為“裝有2個白球與1個黃球”的白盒與“裝有1個白球與2個黃球”的黃盒．每局比賽前裁判員從盒中隨機取出一顆球用于比賽，且局中不換球，該局比賽后，直接丟棄．裁判按照如下規(guī)則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致，且第一局從白盒中取球．記甲、乙決出冠軍后，兩盒內(nèi)白球剩余的總數(shù)為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望．14．（2022·全國·模擬預測）經(jīng)過全國上下的共同努力，我國的新冠疫情得到很好的控制，但世界一些國家的疫情并沒有得到有效控制，疫情防控形勢仍然比較嚴峻，為扎緊疫情防控的籬笆，提高疫情防控意識，某市宣傳部門開展了線上新冠肺炎世界防控現(xiàn)狀及防控知識競賽，現(xiàn)從全市的參與者中隨機抽取了1000名幸運者的成績進行分析，他們的得分（滿分100分）情況如下表：得分頻數(shù)2515020025022510050(1)若此次知識競賽得分X整體服從正態(tài)分布，用樣本來估計總體，設，分別為抽取的1000名幸運者得分的平均值和標準差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值代替），求，的值；（結果保留整數(shù)）(2)在（1）的條件下，為感謝市民的積極參與，對參與者制定如下獎勵方案：得分不超過79分的可獲得1次抽獎機會，得分超過79分的可獲得2次抽獎機會.假定每次抽獎，抽到10元紅包的概率為，抽到20元紅包的概率為.已知胡老師是這次活動中的參與者，估算胡老師在此次活動中所獲得紅包的數(shù)學期望.（結果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：；；，.專題15離散型隨機變量及其分布（理科）考向一離散型隨機變量分布列與期望【母題來源】2022年高考全國甲卷（理科）【母題題文】甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．（1）求甲學校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．【試題解析】【小問1詳解】設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為．【小問2詳解】依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.【命題意圖】本題主要考查離散型隨機變量的可能取值，再分別計算出對應的概率，列出分布列，即可求出期望.【命題方向】這類試題在考查題型上選擇、填空、解答題都有可能出現(xiàn)，題型多樣，思路靈活，試題難度不大，是歷年高考的熱點．常見的命題角度有：（1）離散型隨機變量分布列；（2）離散型隨機變量期望；（3）離散型隨機變量方差.【得分要點】正確寫出離散型隨機變量的所有取值；；（3）根據(jù)期望公式求出數(shù)學期望.一、單選題1．（2022·河南洛陽·模擬預測（理））已知隨機變量，若，則（

）A．0.36 B．0.18 C．0.64 D．0.82【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.【詳解】因為，所以，所以．故選:C．2．（2022·江蘇省木瀆高級中學模擬預測）2012年國家開始實施法定節(jié)假日高速公路免費通行政策，某收費站統(tǒng)計了2021年中秋節(jié)前后車輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站近幾天車輛通行數(shù)量，若，則當時下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對稱性列式，再結合不等式求解作答.【詳解】因，且，則有，即，不等式為：，則，，所以，，A，B，D均不正確，C正確.故選：C【點睛】關鍵點睛：涉及正態(tài)分布概率問題，運用正態(tài)密度函數(shù)曲線的對稱性是解題的關鍵.3．（2022·浙江·三模）設，隨機變量的分布列是0p1P則當p在區(qū)間內(nèi)增大時，（

）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】D【解析】【分析】先求出，令，求導確定單調性即可.【詳解】，，令，則，易得單調遞減，又，故存在，使得，則在單增，在單減，即先增大后減小.故選：D.4．（2022·黑龍江·雞西市第四中學三模（理））已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023【答案】B【解析】【分析】隨機變量服從正態(tài)分布，依據(jù)正態(tài)曲線的性質去求即可【詳解】隨機變量服從正態(tài)分布，若，則依據(jù)正態(tài)曲線的性質有故選：B5．（2022·山東濰坊·模擬預測）Poisson分布是統(tǒng)計學里常見的離散型概率分布，由法國數(shù)學家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列為，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，是Poisson分布的均值．當二項分布的n很大而p很小時，Poisson分布可作為二項分布的近似．假設每個大腸桿菌基因組含有10000個核苷酸對，采用紫外線照射大腸桿菌時，每個核苷酸對產(chǎn)生嘧啶二體的概率均為0.0003，已知該菌株基因組有一個嘧啶二體就致死，則致死率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】結合題意，，此時Poisson分布滿足二項分布的近似條件，再計算二項分布的均值為Poisson分布的均值，再代入公式先求不致死的概率，再用對立事件的概率和為1計算即可【詳解】由題，，，此時Poisson分布滿足二項分布的近似的條件，此時，故不致死的概率為，故致死的概率為故選：A6．（2022·浙江省春暉中學模擬預測）盒中有大小相同的5個紅球和3個白球，從中隨機摸出3個小球，記摸到白球的個數(shù)為，則隨機變量的數(shù)學期望（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依題意的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列與數(shù)學期望．【詳解】解：盒中有大小相同的5個紅球和3個白球，從中隨機摸出3個球，記摸到白球的個數(shù)為，的可能取值為0，1，2，3，所以，，，，的分布列為：0123．故選：B．7．（2022·湖北省仙桃中學模擬預測）小明班的語文老師昨天報了一次聽寫，語文老師給了小明滿分分，但實際上小明有一處寫了個錯別字，告訴了小王和小丁，錯一處扣分，但小明自己不會給老師說，小王有的可能告訴老師，小丁有的可能告訴老師，他們都不會告訴其他同學，老師知道后就會把分扣下來，則最后小明的聽寫本上的得分期望（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分析可知的可能取值為：、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，進而可求得的值.【詳解】由題意可知的可能取值為：、，則，，因此，.故選：D.8．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預測）冬奧會的兩個吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結合，體現(xiàn)了冰雪運動和現(xiàn)代科技特點．冬殘奧會吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進行設計創(chuàng)作，頂部的如意造型象征吉祥幸福．小明在紀念品商店買了6個“冰墩墩”和3個“雪容融”，隨機選了3個寄給他的好朋友小華，則小華收到的“冰墩墩”的個數(shù)的平均值為（

）A．1 B．2 C．3 D．1.5【答案】B【解析】【分析】設小華收到的“冰墩墩”的個數(shù)為，則,求出對應的概率即得解.【詳解】解：設小華收到的“冰墩墩”的個數(shù)為，則.則；；；.所以.故選：B二、填空題9．（2022·江蘇省贛榆高級中學模擬預測）柯西分布(Cauchydistribution)是一個數(shù)學期望不存在的連續(xù)型概率分布．記隨機變量服從柯西分布為，其中當，時的特例稱為標準柯西分布，其概率密度函數(shù)為．已知，，，則________.【答案】##0.25【解析】【分析】由概率密度函數(shù)得其關于對稱，由對稱性求得概率．【詳解】由已知，概率密度函數(shù)圖象關于對稱，，又，，，故答案為：．10．（2022·江蘇南通·模擬預測）小強對重力加速度做n次實驗，若以每次實驗結果的平均值作為重力加速度的估值．已知估值的誤差，為使誤差在內(nèi)的概率不小于0.6827，至少要實驗___________次．（參考數(shù)據(jù)：若，則）．【答案】6【解析】【分析】直接由正態(tài)分布的對稱性及特殊區(qū)間的概率求解即可.【詳解】，∴，∴，至少要實驗6次.故答案為：6.三、解答題11．（2022·四川成都·模擬預測（理））成都高中為了鍛煉高三年級同學的身體，同時也為了放松持續(xù)不斷的考試帶來的緊張感，調節(jié)學習狀態(tài)，特組織學生進行投籃游戲.投籃只有“命中”和“不命中”兩種結果，“命中”加10分，“不命中”減10分.某班同學投籃“命中”的概率為，“不命中”的概率為，每次投籃命中與否相互獨立.記該班同學次投籃后的總得分為.(1)求且的概率；(2)記，求的分布列與數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】【分析】（1），則投籃6次，4次命中，2次不命中，然后根據(jù)可知第1次和第2次命中，則其余4次可任意命中兩次；或者第1次命中，第2次不命中，第3次命中，則其余3次可任意命中2次，根據(jù)相互獨立事件的乘法公式即可求解.（2）根據(jù)隨機變量的取值以及對應事件的概率，即可求解.(1)，即投籃6次，4次命中，2次不命中，若第1次和第2次命中，則其余4次可任意命中兩次；若第1次命中，第2次不命中，第3次命中，則其余3次可任意命中2次，故所求概率為.(2)的可能取值為，，，的分布列為X103050P故12．（2022·河南安陽·模擬預測（理））產(chǎn)品開發(fā)是企業(yè)改進老產(chǎn)品?開發(fā)新產(chǎn)品，使其具有新的特征或用途，以滿足市場需求的流程.某企業(yè)開發(fā)的新產(chǎn)品已經(jīng)進入到樣品試制階段，需要對5個樣品進行性能測試，現(xiàn)有甲?乙兩種不同的測試方案，每個樣品隨機選擇其中的一種進行測試，已知選擇甲方案測試合格的概率為，選擇乙方案測試合格的概率為，且每次測試的結果互不影響.(1)若3個樣品選擇甲方案，2個樣品選擇乙方案.（i）求5個樣品全部測試合格的概率；（ii）求4個樣品測試合格的概率.(2)若測試合格的樣品個數(shù)的期望不小于3，求選擇甲方案進行測試的樣品個數(shù).【答案】(1)（i）（ii）(2)選擇甲方案測試的樣品個數(shù)為，或者【解析】【分析】（1）（i）利用乘法公式即可求解（ii）4個樣品測試合格分兩種情況,第一種情況,3個樣品甲方案測試合格和1個樣品乙方案測試合格,第二種情況,2個樣品甲方案測試合格和2個樣品乙方案測試合格,利用互斥的加法公式即可求解（2）設通過甲方案測試合格的樣品個數(shù)為,通過乙方案測試合格的樣品個數(shù)為,則，分類討論即可求解(1)（i）因為3個樣品選擇甲方案,2個樣品選擇乙方案,所以5個樣品全部測試合格的概率為（ii）4個樣品測試合格分兩種情況,第一種情況,3個樣品甲方案測試合格和1個樣品乙方案測試合格,此時概率為第二種情況,2個樣品甲方案測試合格和2個樣品乙方案測試合格,此時概率為所以4個樣品測試合格的概率為(2)設選擇甲方案測試的樣品個數(shù)為,則選擇乙方案測試的樣品個數(shù)為,并設通過甲方案測試合格的樣品個數(shù)為,通過乙方案測試合格的樣品個數(shù)為,當時,此時所有樣品均選擇方案乙測試,則,所以,不符合題意;當時,此時所有樣品均選擇方案甲測試,則所以,符合題意;當時,,所以若使,,則,由于,故時符合題意,綜上,選擇甲方案測試的樣品個數(shù)為3,4或者5時,測試合格的樣品個數(shù)的期望不小于3.13．（2022·湖北·黃岡中學三模）2022世界乒乓球團體錦標賽將于2022年9月30日至10月9日在成都舉行．近年來，乒乓球運動已成為國內(nèi)民眾喜愛的運動之一．今有甲、乙兩選手爭奪乒乓球比賽冠軍，比賽采用三局兩勝制，即某選手率先獲得兩局勝利時比賽結束．根據(jù)以往經(jīng)驗，甲、乙在一局比賽獲勝的概率分別為、，且每局比賽相互獨立．(1)求甲獲得乒兵球比賽冠軍的概率；(2)比賽開始前，工作人員買來兩盒新球，分別為“裝有2個白球與1個黃球”的白盒與“裝有1個白球與2個黃球”的黃盒．每局比賽前裁判員從盒中隨機取出一顆球用于比賽，且局中不換球，該局比賽后，直接丟棄．裁判按照如下規(guī)則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致，且第一局從白盒中取球．記甲、乙決出冠軍后，兩盒內(nèi)白球剩余的總數(shù)為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】【分析】（1）甲獲得乒兵球比賽冠軍這個事件為前兩局甲全獲勝，或前兩局中甲勝一局第三局甲勝，由獨立事件與互斥事件概率公式計算；（2）甲乙決出冠軍共進行了局比賽，易知或，記表示第局從白盒中抽取的白色球，表示第局從黃盒中抽取的黃色球，的所有可能取值為，根據(jù)和分類討論確定事件，，的情形，求出概率得分