3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用

1我們經(jīng)常聽(tīng)到這些說(shuō)法：吸煙對(duì)患肺癌有影響；數(shù)學(xué)好的人物理一般也很好；是否喜歡數(shù)學(xué)課程與性別之間有關(guān)系；人的血型會(huì)決定人的性格；星座與人的命運(yùn)之間有某種聯(lián)系.

這些說(shuō)法都有道理嗎？2探究1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想對(duì)于性別變量，其取值為男和女兩種.這種變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為

.分類變量在現(xiàn)實(shí)生活中是大量存在的，如是否吸煙，是否患肺癌，宗教信仰，國(guó)別，年齡，出生月份等.分類變量x是變量嗎？y表示一年四季，則y的取值有哪些？y是變量嗎？x表示性別，則x的取值有哪些？3(2)分類變量的取值有時(shí)可用數(shù)字來(lái)表示，但這時(shí)的數(shù)字除了分類以外沒(méi)有其他的含義，如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”.對(duì)分類變量的理解(1)分類變量的取值一定是離散的，而且不同的取值僅表示個(gè)體所屬的類別，如性別變量，只取男、女兩個(gè)值，商品的等級(jí)變量只取一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)等.4不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965問(wèn)題：為了研究吸煙是否對(duì)患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果：3-7吸煙與患肺癌列聯(lián)表（單位：人）兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表思考1：你如何由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)判斷吸煙是否對(duì)肺癌有影響？能不能從患肺癌的人數(shù)來(lái)判斷？應(yīng)該從什么量來(lái)判斷？5不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965問(wèn)題：為了研究吸煙是否對(duì)患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果：3-7吸煙與患肺癌列聯(lián)表（單位：人）在吸煙者中患肺癌的比重是_______.

2.28%在不吸煙者中患肺癌的比重是_______,

0.54%由計(jì)算結(jié)果，你會(huì)做出怎樣的判斷？你的判斷一定正確嗎？能知道判斷犯錯(cuò)誤的概率是多少嗎？6等高條形圖患肺癌比例不患肺癌比例思考2：除了用比例來(lái)判斷吸煙是否對(duì)患肺癌有影響外？還有其它方法來(lái)判斷嗎？（1）觀察等高條形圖，你得到什么結(jié)論？（2）你的判斷一定正確嗎？能知道判斷的正確率是多少嗎？7思考3：通過(guò)分析數(shù)據(jù)和圖形，我們得到的直觀印象是“吸煙和患肺癌有關(guān)”．但是我們不知道我們判斷的正確率有多大，那么我們是否能夠以一定的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”呢？為了回答上述問(wèn)題，我們先假設(shè):H0：吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系．用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”獨(dú)立，即假設(shè)H0等價(jià)于P(AB）=P(A）×P(B).83-8吸煙與患肺癌列聯(lián)表(單位：人)

不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d把表3-7中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表思考4：（1）在表3-8中，事件AB發(fā)生的頻數(shù)是什么？（3）事件B發(fā)生的頻數(shù)是什么？（2）事件A發(fā)生的頻數(shù)是什么？（4）P(AB）、P(A）、P(B)分別是什么？它們之間有什么關(guān)系？（5）|ad-bc|越小，說(shuō)明什么問(wèn)題？|ad-bc|越大，說(shuō)明什么問(wèn)題？9即（a+b+c+d)a=(a+b)(a+c)即1011為使不同的樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上面的分析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量其中n=a+b+c+d為樣本容量.思考5：（2）K2越大，說(shuō)明什么問(wèn)題？（1）K2越小，說(shuō)明什么問(wèn)題？結(jié)論：若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，則K2應(yīng)該很?。?2不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965請(qǐng)根據(jù)表3-7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算K2的觀測(cè)值3-7吸煙與患肺癌列聯(lián)表（單位：人）13思考6：這個(gè)值到底是大還是小，它能告訴我們什么呢？(2）式說(shuō)明，在H0成立的情況下，K2的觀測(cè)值超過(guò)6.635的概率非常小，近似為0.01，所以K2≥6.635是一個(gè)小概率事件，基本不發(fā)生．思考7：（1）我們計(jì)算的K2的觀測(cè)值k≈56.632，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于6.635，它發(fā)生的概率大不大？是不是一個(gè)小概率事件？（2）你覺(jué)H0成立嗎？（3）你的判斷會(huì)犯錯(cuò)誤嗎？犯錯(cuò)誤的概率有多大？（4）上述的方法相比于之前講的兩種方法，它有什么優(yōu)勢(shì)？（5）你能總結(jié)上述檢驗(yàn)方法及它的一般步驟嗎？14（5）你能總結(jié)上述檢驗(yàn)方法及它的一般步驟嗎？結(jié)論：在上述過(guò)程中，實(shí)際上是借助于隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k建立了一個(gè)判斷H0是否成立的規(guī)則：如果k≥6.635，就判斷H0不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷H0成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系．在該規(guī)則下，把結(jié)論“H0成立”錯(cuò)判成“H0不成立”的概率不會(huì)超過(guò)0.01,即有99％的把握認(rèn)為不成立．一般步驟：①假設(shè)兩個(gè)分類變量X與Y沒(méi)有關(guān)系.②計(jì)算出K2的觀測(cè)值k.③判斷k的值的大小，即k是不是一個(gè)小概率事件，從而確定X與Y有關(guān)的程度或無(wú)關(guān)系.15結(jié)論：這種判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的方法稱為“獨(dú)立性檢驗(yàn)”1.定義：利用隨機(jī)變量K2來(lái)判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).思考8：獨(dú)立性檢驗(yàn)與反證法有何異同？反證法獨(dú)立性檢驗(yàn)假設(shè)命題的結(jié)論不正確假設(shè)H0：兩個(gè)分類變量X，Y沒(méi)有關(guān)系在假設(shè)的前提下，推出矛盾在H0成立的條件下，得到一個(gè)小概率事件所以假設(shè)不成立，原命題成立所以H0不成立，即兩個(gè)分類變量X，Y有關(guān)系162.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟①假設(shè)兩個(gè)分類變量X與Y沒(méi)有關(guān)系.②計(jì)算出K2的觀測(cè)值k.③判斷k的值的大小，即k是不是一個(gè)小概率事件，從而確定X與Y有關(guān)的程度或無(wú)關(guān)系.17問(wèn)題1：如何判斷K2的觀測(cè)值k是大還是小呢？這僅需確定一個(gè)正數(shù)k0，當(dāng)k≥k0時(shí)就認(rèn)為K2的觀測(cè)值k大．此時(shí)相應(yīng)于的判斷規(guī)則為：如果k≥k0，就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；否則就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間沒(méi)有關(guān)系”.我們稱這樣的k0為一個(gè)判斷規(guī)則的臨界值．按照上述規(guī)則，把“兩個(gè)分類變量之間沒(méi)有關(guān)系”錯(cuò)誤地判斷為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”的概率為P(K2≥k0).在實(shí)際應(yīng)用中，我們把k≥k0解釋為有(1-P(K2≥k0))×100%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；把k＜k0解釋為不能以(1-P(K2≥k0))×100%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”，或者樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有提供“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”的充分證據(jù)．180.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819問(wèn)題2：如何用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法來(lái)檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量X和Y是否有關(guān)系呢？一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為｛x1，x2｝和｛y1，y2｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為：表3-92×2列聯(lián)表

y1y2總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d若要推斷的論述為Hl：X與Y有關(guān)系，可以按如下步驟判斷結(jié)論Hl成立的可能性：20若要推斷的論述為Hl：X與Y有關(guān)系，可以按如下步驟判斷結(jié)論Hl成立的可能性：1．計(jì)算滿足條件X=x1的個(gè)體中具有Y=y1的個(gè)體所占的比例和滿足條件X=x2的個(gè)體中具有Y=y2的個(gè)體所占的比例.兩個(gè)比例的值相差越大，H1成立的可能性就越大．也可以通過(guò)畫(huà)出等高條形圖，粗略地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，但是以上兩種判斷無(wú)法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度．

2．可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度．具體做法是：21(3)如果k≥k0，就以(1-P(K2≥k0))×100%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就說(shuō)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù)．①根據(jù)實(shí)際問(wèn)題需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的上界，然后查表3-11確定臨界值；0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828表3-11臨界值表22例1、在某醫(yī)院,因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂,而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂.(1)利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系;(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)系？例題解析：思考：根據(jù)臨界值表，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，取的臨界值是什么？23患心臟病患其他病總計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048總計(jì)6657721437(1)相應(yīng)的等高條形圖如下所示，禿頂不禿頂不患心臟病患心臟病解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：由圖可認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)系24因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)系.(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到注意：在熟悉了獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本原理后，我們?cè)谂袛鄡蓚€(gè)分類變量是否有關(guān)時(shí)，可以直接算出的觀測(cè)值（不畫(huà)等高條形圖）來(lái)解決兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題。但是，借助于圖形可以更直觀地向非專業(yè)人士解釋所得到的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果。252627練習(xí)2、在研究某種新藥對(duì)小白兔的防治效果時(shí),得到下表數(shù)據(jù):存活數(shù)死亡數(shù)總計(jì)未用新藥10138139用新藥12920149總計(jì)23058288試分析新藥對(duì)防治小白兔是否有效?有99.5%的把握判定新藥對(duì)防治小白兔是有效的.解：28練習(xí)3、打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾