大題創(chuàng)新題精練02數(shù)列沖刺2024高考數(shù)學(xué)【突破新題型】（原卷）【前言】自九省聯(lián)考新題型以來，各地模擬卷題目發(fā)生根本性變化。數(shù)列主要發(fā)生以下變化：（1）2小問變成3小問，（2）數(shù)列與三角函數(shù)綜合，（3）強化數(shù)列與概率統(tǒng)計綜合，（4）數(shù)列與導(dǎo)數(shù)綜合，（5）數(shù)列新定義題目層出不窮。題型探究目錄【題型一】數(shù)列與三角函數(shù)綜合【題型二】數(shù)列與概率統(tǒng)計綜合【題型三】數(shù)列與導(dǎo)數(shù)綜合【題型四】數(shù)列新定義題知識溫習(xí)（略）1.Sn與an的關(guān)系an=S2.等差數(shù)列（1）遞推公式：an+1an=d(n∈N*)或anan1=d(n≥2，n∈N*)（2）中項性質(zhì)：a，A，b成等差數(shù)列?2A=a+b?A=a+b2（3）通項公式：an=a1+(n1)d.（4）前n項和：已知首項、末項與項數(shù)，則Sn=n(a已知首項、公差與項數(shù)，則Sn=na1+n(n?1)23.等比數(shù)列遞推公式：an+1an=q(n∈N*)或a通項公式：an=a1qn1.中項性質(zhì)：在等比數(shù)列{an}中，若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，則akal=aman.特別地，若m+n=2r(m，n，r∈N*)，則aman=ar前n項和公式：已知首項、公比與項數(shù)，Sn=a1(1已知首項、末項與公比Sn=a各個擊破【題型一】數(shù)列與三角函數(shù)綜合【知識回顧】(略）1．（2024·浙江臺州·二模）已知數(shù)列滿足，.(1)求（只需寫出數(shù)值，不需要證明）；(2)若數(shù)列的通項可以表示成的形式，求，.2．（2024·廣東·二模）已知正項數(shù)列，滿足（其中）.(1)若，且，證明：數(shù)列和均為等比數(shù)列；(2)若，以為三角形三邊長構(gòu)造序列（其中），記外接圓的面積為，證明：；(3)在（2）的條件下證明：數(shù)列是遞減數(shù)列.3．（2024·上海青浦·二模）若無窮數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，使得對一切正整數(shù)成立，則稱是周期為的周期數(shù)列．(1)若（其中正整數(shù)m為常數(shù)，），判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；(2)若，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；(3)設(shè)是無窮數(shù)列，已知．求證：“存在，使得是周期數(shù)列”的充要條件是“是周期數(shù)列”．【題型二】數(shù)列與概率統(tǒng)計綜合【知識回顧】(略）4．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）甲乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲乙各猜一個成語，已知甲、乙第一輪猜對的概率都為.甲如果第輪猜對，則他第輪也猜對的概率為，如果第k輪猜錯，則他第輪也猜錯的概率為；乙如果第k輪猜對，則他第輪也猜對的概率為，如果第k輪猜錯，則他第輪也猜錯的概率為.在每輪活動中，甲乙猜對與否互不影響.(1)若前兩輪活動中第二輪甲乙都猜對成語，求兩人第一輪也都猜對成語的概率；(2)若一條信息有種可能的情形且各種情形互斥，每種情形發(fā)生的概率分別為，，，，則稱為該條信息的信息熵（單位為比特），用于量度該條信息的復(fù)雜程度.試求甲乙兩人在第二輪活動中猜對成語的個數(shù)X的信息熵H；(3)如果“星隊”在每一輪中活動至少有一人猜對成語，游戲就可以一直進行下去，直到他們都猜錯為止.設(shè)停止游戲時“星隊”進行了Y輪游戲，求證：.5．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）據(jù)統(tǒng)計，2024年元旦假期，哈爾濱市累計接待游客304.79萬人次，實現(xiàn)旅游總收入59.14億元，游客接待量與旅游總收入達到歷史峰值.現(xiàn)對某一時間段冰雪大世界的部分游客做問卷調(diào)查，其中的游客計劃只游覽冰雪大世界，另外的游客計劃既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人.每位游客若只游覽冰雪大世界，則得到1份文旅紀念品；若既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人，則獲得2份文旅紀念品.假設(shè)每位來冰雪大世界景區(qū)游覽的游客與是否參觀群力音樂公園大雪人是相互獨立的，用頻率估計概率.(1)從冰雪大世界的游客中隨機抽取3人，記這3人獲得文旅紀念品的總個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)記個游客得到文旅紀念品的總個數(shù)恰為個的概率為，求的前項和；(3)從冰雪大世界的游客中隨機抽取100人，這些游客得到紀念品的總個數(shù)恰為個的概率為，當(dāng)取最大值時，求的值.6．（2024·山西朔州·一模）甲、乙、丙、丁四人練習(xí)傳球，每次由一人隨機傳給另外三人中的一人稱為一次傳球，已知甲首先發(fā)球，連續(xù)傳球次后，記事件“乙、丙、丁三人均被傳到球”的概率為．(1)當(dāng)時，求球又回到甲手中的概率；(2)當(dāng)時，記乙、丙、丁三人中被傳到球的人數(shù)為隨機變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)記，求證：數(shù)列從第3項起構(gòu)成等比數(shù)列，并求．7．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）入冬以來，東北成為全國旅游和網(wǎng)絡(luò)話題的“頂流”．南方的小土豆們紛紛北上體驗東北最美的冬天，這個冬天火的不只是東北的美食、東北人的熱情，還有東北的洗浴中心，擁擠程度堪比春運，南方游客直接拉著行李箱進入．東北某城市洗浴中心花式寵“且”，為給顧客更好的體驗，推出了和兩個套餐服務(wù)，顧客可自由選擇和兩個套餐之一，并在App平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是該洗浴中心在App平臺10天銷售優(yōu)惠券情況．日期12345678910銷售量（千張）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4經(jīng)計算可得：，，．(1)因為優(yōu)惠券購買火爆，App平臺在第10天時系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程（結(jié)果中的數(shù)值用分數(shù)表示）；(2)若購買優(yōu)惠券的顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，并且套餐可以用一張優(yōu)惠券，套餐可以用兩張優(yōu)惠券，記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為張的概率為，求；(3)記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列．①求的最值；②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列，若對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，，（是一個確定的實數(shù)），則稱數(shù)列收斂于．根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列收斂．參考公式：，．8．（2024·湖北武漢·二模）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有1個黑球和2個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，稱為1次球交換的操作，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為．(1)求的概率分布列并求；(2)求證：（且）為等比數(shù)列，并求出（且）．【題型三】數(shù)列與導(dǎo)數(shù)綜合【知識回顧】(略）9．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”.(1)已知等比數(shù)列滿足：，求證:數(shù)列為“數(shù)列”；(2)已知數(shù)列滿足:，其中為數(shù)列的前項和．①求數(shù)列的通項公式；②設(shè)為正整數(shù)，若存在“數(shù)列”，對任意正整數(shù)，當(dāng)時，都有成立，求的最大值．10．（2324高三上·上海閔行·期中）已知（為實常數(shù)）(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；(2)若對一切都成立，求的取值范圍；(3)設(shè)各項為正的無窮數(shù)列滿足，證明：.（提示：當(dāng)時，）11．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知．(1)證明：對任意，．(2)若，，證明：單調(diào)遞減，且．12．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖像在點處的切線與直線垂直．(1)滿足的關(guān)系式；(2)若在上恒成立，求的取值范圍；(3)證明：.【題型四】數(shù)列新定義題【知識回顧】(略）13．（2024·北京東城·一模）有窮數(shù)列中，令，(1)已知數(shù)列，寫出所有的有序數(shù)對，且，使得；(2)已知整數(shù)列為偶數(shù)，若，滿足：當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.求的最小值；(3)已知數(shù)列滿足，定義集合.若且為非空集合，求證：.14．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）表示正整數(shù)a，b的最大公約數(shù)，若，且，，則將k的最大值記為，例如：，.(1)求，，；(2)已知時，.（i）求；（ii）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：.15．（2024·廣東梅州·二模）已知是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前項的最大值記為，即；前項的最小值記為，即，令（），并將數(shù)列稱為的“生成數(shù)列”．(1)若，求其生成數(shù)列的前項和；(2)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；(3)若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時，，，，是等差數(shù)列．16．（2024·吉林長春·三模）入冬以來，東北成為全國旅游話題的“頂流”．南方游客紛紛北上，體驗東北最美的冬天．某景區(qū)為給顧客更好的體驗，推出了A和B兩個套餐服務(wù)，并在購票平臺上推出了優(yōu)惠券活動，顧客可自由選擇A和B兩個套餐之一，下表是該景區(qū)在購票平臺10天銷售優(yōu)惠券情況．日期t12345678910銷售量y（千張）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4經(jīng)計算可得：，，．(1)由于同時在線人數(shù)過多，購票平臺在第10天出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)擁堵，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購買的優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的回歸方程（精確到0.01），并估計第10天的正常銷量；(2)假設(shè)每位顧客選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為，其中A套餐包含一張優(yōu)惠券，B套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時刻，該平臺恰好銷售了n張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為，求；(3)記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列．①求數(shù)列的最值；②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列，若對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，，（a是一個確定的實數(shù)），則稱數(shù)列收斂于a．根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列收斂．回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．17．（2024·湖南岳陽·二模）已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是，接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，依此類推．設(shè)該數(shù)列的前項和為，規(guī)定：若，使得，則稱為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”．(1)將該數(shù)列的“佳冪數(shù)”從小到大排列，直接寫出前4個“佳冪數(shù)”；(2)試判斷50是否為“佳冪數(shù)”，并說明理由；(3)（?。┣鬂M足的最小的“佳冪數(shù)”；（ⅱ）證明：該數(shù)列的“佳冪數(shù)”有無數(shù)個．18．（2024·河南開封·二模）在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用．設(shè)p，q是兩個正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素．對于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，記為．(1)試