PAGE1合肥學(xué)院第六屆數(shù)學(xué)建模競賽參賽論文團(tuán)隊(duì)編號：●選擇賽題：【A】【B】注：用2B鉛筆將所選擇的題目涂黑●論文題目：客觀、合理的評價學(xué)生學(xué)習(xí)狀況●參賽隊(duì)員個人信息：姓名性別系別班級學(xué)生證號簽名丁學(xué)明男數(shù)理系10級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(1)班1007021017汪於先男數(shù)理系09級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(1)班0907021042張躍女?dāng)?shù)理系09級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(1)班0907021038注：前五欄為四號宋體，最后一欄用黑色中性筆簽名。客觀、合理的評價學(xué)生學(xué)習(xí)狀況摘要：測試成績對于學(xué)生、教師和教育管理者都很重要。傳統(tǒng)的對學(xué)生成績的評價，只是單純根據(jù)學(xué)生的“絕對分?jǐn)?shù)”或者“絕對排名”作為評價，這種評價方法只能體現(xiàn)量化出學(xué)生的基礎(chǔ)，而不能體現(xiàn)量化出學(xué)生學(xué)習(xí)的穩(wěn)定性、潛力、變化趨勢等等指標(biāo)。隨著教學(xué)改革的不斷深人,科學(xué)評價教學(xué)質(zhì)量極為重要?？荚囀菣z驗(yàn)教學(xué)質(zhì)量的重要手段。然而,考試成績能否真實(shí)地反映教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生水平試題是否科學(xué)、準(zhǔn)確,它們在多大程度上是有效的和可靠的,但還是局限的，有失公允的。本文通過科學(xué)合理的分析評價方法，不再單純依據(jù)學(xué)生的“絕對分?jǐn)?shù)”評價學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，對學(xué)生學(xué)習(xí)狀況做出全面、客觀、合理的整體評價。問題一：對于全面、客觀、合理的評價學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，我們采用了二個模型：1、模糊層次分析模型：首先，為了體現(xiàn)學(xué)生成績進(jìn)步在整體評價中的作用，學(xué)生每個學(xué)期的成績和進(jìn)步情況。通過模糊層次分析方法得出最后求出各個因素的權(quán)重向量為：接著利用模糊層次分析方法得出學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的綜合評定指標(biāo)如下：成績標(biāo)準(zhǔn)化模型：采用對數(shù)變換將負(fù)偏態(tài)的成績分布正態(tài)化，并用Matlab進(jìn)行了正態(tài)檢驗(yàn)。從而學(xué)生成績的差距分布更為合理，成績偏低的學(xué)生變換后將處于中等位置，得到適當(dāng)?shù)墓膭?，改變了?fù)偏態(tài)分布中較多學(xué)生成績集中在高分段或低分段的現(xiàn)象。然后，將正態(tài)分布?xì)w一化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，消除每個學(xué)期評價考核體系的不穩(wěn)定性因素，得到每個學(xué)生各學(xué)期的“有效成績”。并基于"有效成績"提出了等級評定子模型，確定了等級分?jǐn)?shù)線，更清楚的表明了每個學(xué)生在整體是的位置。問題二，要求對所有同學(xué)的成績進(jìn)行總體分析。根據(jù)對分析模型的總結(jié)，運(yùn)用描述統(tǒng)計(jì)分析的方法，經(jīng)過Matlab處理得到各學(xué)期分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)直方圖和其正態(tài)分布擬合曲線，并對結(jié)果進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)。通過結(jié)果顯示，我們得知，這612名學(xué)生的整體成績近似服從正態(tài)分布。通過建立的模型，進(jìn)行求解時，采用計(jì)算機(jī)抽樣的方法，進(jìn)行模型算例的計(jì)算，得到對不同的學(xué)生的綜合評價結(jié)果，有的同學(xué)總體成績較高，但相對不穩(wěn)定，總體評價為良好，并預(yù)測未來成績?nèi)匀粫幸欢ǖ牟▌?；有的同學(xué)進(jìn)步較大，但基礎(chǔ)較差，綜合評價分析的結(jié)果也是良好，預(yù)測未來成績可能還會有較大幅度的提高；還有總體成績很一般，但一直在退步，且退步的幅度也比較大，綜合分析評價的結(jié)果為差，并預(yù)測在未來仍可能有繼續(xù)下降的趨勢等多種情況。關(guān)鍵詞：模糊層次分析成績標(biāo)準(zhǔn)化統(tǒng)計(jì)分析MATLAB問題重述現(xiàn)行的評價方法相對比較局限、主觀、有失公允，只能對學(xué)習(xí)基礎(chǔ)好的學(xué)生產(chǎn)生激勵作學(xué)生學(xué)習(xí)情況綜合評價A學(xué)生實(shí)際成績第一學(xué)期成績第二學(xué)期成績第三學(xué)期成績第四學(xué)期成績學(xué)生成績進(jìn)步情況第一學(xué)期進(jìn)步度第一學(xué)期進(jìn)步度第一學(xué)期進(jìn)步度(二).構(gòu)造優(yōu)先關(guān)系矩陣并計(jì)算各因素權(quán)重值。在層次結(jié)構(gòu)表的基礎(chǔ)上建立優(yōu)先關(guān)系矩陣，然后將優(yōu)先關(guān)系矩陣改造為模糊一致矩陣如下：B的優(yōu)先關(guān)系矩陣：A-B模糊一致矩陣：-C的優(yōu)先關(guān)系矩陣：模糊一致矩陣：的優(yōu)先關(guān)系矩陣：的模糊一致矩陣：由模型準(zhǔn)備中的步驟（3）中的計(jì)算公式，我們?nèi)=(n-1)/2,可以算的B層相對于A層，更因素權(quán)值為,C層相對于B層，各指標(biāo)相對應(yīng)上層相應(yīng)因素的權(quán)值分別為：，（三）.將各層次間的重要性權(quán)值轉(zhuǎn)化為相對于總目標(biāo)的綜合權(quán)重如下表所示：準(zhǔn)則各指標(biāo)指標(biāo)0.40.6權(quán)重0.20000.08000.23330.09330.26670.10670.30000.12000.30000.18000.30000.18000.40000.2400對于學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的綜合評定定量表示如下：（四）.再由各項(xiàng)指標(biāo)結(jié)合附件中的數(shù)據(jù)以前20個學(xué)生為例，對他們成績的綜合評定如下表：由上表的計(jì)算結(jié)果可看出，5號同學(xué)的綜合得分最高，為33.754，說明其學(xué)習(xí)狀況在這20名同學(xué)中最好，而且其進(jìn)步度逐漸增大，說明其學(xué)習(xí)越來越努力，成績不斷在提高。而8號同學(xué)的綜合得分最低且為7.889，說明他在這20名同學(xué)中學(xué)習(xí)狀況最差，成績一直呈下滑趨勢，老師應(yīng)該采取必要的措施，幫助該同學(xué)盡快擺脫這種狀況。所以，由以上模型，可以對所有的學(xué)生的四個學(xué)期的成績進(jìn)行綜合評定，來說明他們的學(xué)習(xí)狀況。優(yōu)點(diǎn)：模糊層次分析法可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)情況綜合評價指標(biāo)權(quán)重值的科學(xué)性和可信性，從而能夠很好地反映學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，避免了傳統(tǒng)的將各項(xiàng)分?jǐn)?shù)相加求和的不合理性做法，從而使教育管理者能更好的了解學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)，有效的實(shí)施教學(xué)管理。缺點(diǎn)：此方法仍一定程度受主觀因素的影響，各項(xiàng)指標(biāo)權(quán)重的確定有待進(jìn)一步的改進(jìn)。模型二：成績標(biāo)準(zhǔn)化模型2.1原始成績的標(biāo)準(zhǔn)化為了使得學(xué)生之間成績的差距分布更為合理，原來成績偏低的學(xué)生經(jīng)過變換后處于中等位置，從而使他們會得到適當(dāng)?shù)墓膭睿瑯淞⑿判?，不斷進(jìn)步，并改變負(fù)偏態(tài)分布中有較多同學(xué)集中在高分段或低分段的情況，激勵成績較低的學(xué)生努力學(xué)習(xí)取得更好的成績，有必要將負(fù)偏態(tài)分布的學(xué)生成績通過數(shù)學(xué)手段變換為正態(tài)分布，而且變換成正態(tài)分布后，還會對數(shù)據(jù)處理帶來極大的方便。由于每個學(xué)期的評價體系存在一定的波動，例如考核中不可避免的難易程度的變化等因素會使各學(xué)期之間的同一學(xué)生成績?nèi)鄙僖欢ǖ谋容^性。例如某學(xué)生第一學(xué)期的成績?yōu)?2分，排名103位。而第二學(xué)期為85分，但是考慮到總體情況，第二學(xué)期考核偏易，排名112位，導(dǎo)致該學(xué)生排名比第一學(xué)期下滑。為了消除這些學(xué)期之間的差異，為此將正態(tài)分布再經(jīng)過變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，使得同一學(xué)生在不同學(xué)期的成績具有更可靠的可比性。由此我們最終得到了標(biāo)準(zhǔn)化的成績，稱之為“有效成績”，并運(yùn)用該成績對學(xué)生的學(xué)生狀況進(jìn)行評價。下面講述如何將原始成績變換為標(biāo)準(zhǔn)化的成績。第一步：原始成績的正態(tài)化及其檢驗(yàn)假設(shè)(i=1,2,……612)為612個學(xué)生的某一學(xué)期的原始成績,由將偏態(tài)分布變換為正態(tài)分布的對數(shù)變換法，令：此時這些學(xué)生的變換成績yi滿足正態(tài)分布。由于該函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，原始成績高的反而變換成績低，為了與傳統(tǒng)習(xí)慣保持一致，再經(jīng)過下述變換，此時的為正態(tài)化之后的成績。從圖3的頻次直方圖可以看出基本符合正態(tài)分布。為了進(jìn)一步驗(yàn)證成績分布是否為正態(tài)分布，我們用matlab進(jìn)行了正態(tài)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，從圖中可以看出實(shí)際觀測值與期望值在中央橫線的一段，坐標(biāo)點(diǎn)落在中央橫線附近，在中央橫線的兩端則有一定的偏離，但絕大部分偏離值均小于0.05，僅有個別點(diǎn)偏離較大。可見，學(xué)期1～4的成績呈現(xiàn)正態(tài)分布。圖3的頻次直方圖圖4四個學(xué)期的正態(tài)檢驗(yàn)圖第二步：將正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化由于已是正態(tài)分布，因而可由正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的相關(guān)公式，將轉(zhuǎn)化到服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，得：定義有效成績：i=1，2，……612其中均值為，方差為σ2=。此即我們所定義的有效成績。下表是我們應(yīng)用EXCEL，由四學(xué)期原始成績計(jì)算的有效成績(由于篇幅有限成績列表均只列出部分成績，計(jì)算過程及其它見附件)。圖4為有效成績的頻次分布直方圖，可以看出它已很好的符合正態(tài)分布。表2：有效成績學(xué)生序號學(xué)期1學(xué)期2學(xué)期3學(xué)期4總分10.6524554-0.1451857090.0196864720.0497142740.5766720.1965128-0.2937509630.893424606-0.2098942090.5862923-1.152195-1.4502229780.679121693-0.834160597-2.7574641.25424850.9494844990.2731271430.5915252063.06838550.25671820.9353728050.424352450.9882841682.60472860.5486194-1.0135578730.209256812-0.471843181-0.72752……………………6100.8955590.5074742410.1790072360.9804099052.562456111.99943091.6969433821.0353278580.5429677565.27467612-1.666376-0.3046388740.3161521941.600975952-0.05389此時應(yīng)用有效成績已經(jīng)能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行公平、合理的評價，因?yàn)樵挤謹(jǐn)?shù)沒有比較的參照點(diǎn)，故而不可比。而有效成績以學(xué)生整體的平均分?jǐn)?shù)作為比較的基準(zhǔn)，以標(biāo)準(zhǔn)差作為單位，而且它的基本形式都是平均數(shù)為零、標(biāo)準(zhǔn)差為1。因而無論不同學(xué)期成績的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差多么不同，一經(jīng)轉(zhuǎn)換為均值為零和標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，則不同學(xué)期成績所處的相對地位是平行的，從而有了可比性。這時學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的評定不再是簡單的絕對分的比較，名次的提高，也即進(jìn)步成為了決定學(xué)生成績的重要因素。從這些數(shù)據(jù)可以看出，有的同學(xué)總分排名較后，可有效成績排名卻來了個咸魚大翻身，一躍進(jìn)入前列，而且，有的同學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分總分甚至出現(xiàn)負(fù)分，這就說明該考生的分?jǐn)?shù)低于平均分。圖5的頻次直方圖下面為了能夠直觀的了解不同學(xué)生成績在整體中的位置，我們進(jìn)一步對成績進(jìn)行等級評定。2.2基于有效成績的等級評定在將原始成績化為符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)據(jù)之后，我們將建立一種評分制度——標(biāo)準(zhǔn)化分?jǐn)?shù)為基礎(chǔ)的成績標(biāo)準(zhǔn)化評價模型。服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)概率曲線具有對稱性，其數(shù)據(jù)按概率落人一定范圍內(nèi)，如下表所示。范圍概率38%68%86%90%95%99%：為總體算術(shù)平均值：為總體標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)際教學(xué)中，對考試成績約定俗成地選用90分、80分、70分、60分作為等級分?jǐn)?shù)線，評定成績的優(yōu)秀、良好、中等、合格與不臺格。我們根據(jù)落入和內(nèi)外的概率來確定成績的等級，取落人內(nèi)的概率為68％，落入外的概率為10％，落入余下的概率為22％，則可確定優(yōu)秀、不合格各占50％，良好、臺格各占11％，中等占68％。各等級的對應(yīng)分?jǐn)?shù)線為概率等級分?jǐn)?shù)線（DP），經(jīng)對數(shù)變換的成績數(shù)據(jù)還原成原始分?jǐn)?shù)，即為各等級的分?jǐn)?shù)。經(jīng)計(jì)算可得各等級分?jǐn)?shù)線表，如下所示：學(xué)期等級學(xué)期等級學(xué)期1學(xué)期2學(xué)期3學(xué)期4優(yōu)秀（5%）88.1388.3688.5088.90良好（11%）80.2582.3483.0084.00中等（68%）68.2569.5470.0070.68合格（11%）58.3058.0059.4659.50不合格（5%）58.30以下58.00以下59.46以下59.50以下以第一學(xué)期的為例，原始分?jǐn)?shù)高于88.13的認(rèn)定為優(yōu)秀，而低于60.30的認(rèn)定為不合格，但在這種評定標(biāo)準(zhǔn)中優(yōu)秀與不合格所占比例較小，大部分的人集中在中等層次，從來相對于一般的評定標(biāo)準(zhǔn)更多的人上升到了合格或中等。但這一評定標(biāo)準(zhǔn)是建立在整體成績?yōu)檎龖B(tài)分布的基礎(chǔ)上的，從而當(dāng)出現(xiàn)因?yàn)樵嚲砣藶榈倪^于簡單而了導(dǎo)致大量學(xué)生的成績偏高時，運(yùn)用該評定方法則可以提高不合格或合格的分?jǐn)?shù)線，維持整體的正態(tài)分布，從而保證了評價的合理、公平。問題二：學(xué)生成績總體分析參考附件數(shù)據(jù)，運(yùn)用Matlab對數(shù)據(jù)進(jìn)行圖形處理，得出下圖:各學(xué)期分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)直方圖和其正態(tài)分布擬合曲線學(xué)期一學(xué)期二學(xué)期三學(xué)期四由上圖可知，四學(xué)期的成績整體符合正態(tài)分布，對其進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)：學(xué)期分?jǐn)?shù)分布正態(tài)性檢驗(yàn)圖學(xué)期一學(xué)期二學(xué)期三學(xué)期四由上圖可知，這612個離散點(diǎn)非?？拷鼉A斜直線段，圖形為線性的，因此可得出結(jié)論：學(xué)生的成績整體近似服從正態(tài)分布，即“中間大，兩頭小”，根據(jù)教育學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)理論，學(xué)生的成績應(yīng)接近正態(tài)分布，即靠近平均成績的學(xué)生比較多，成績特別優(yōu)秀或者特別差的人很少，這就是621名學(xué)生成績的整體成績情況。模型評價問題一中，模型一：模糊層次分析法模糊層次分析法可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)情況綜合評價指標(biāo)權(quán)重值的科學(xué)性和可信性，從而能夠很好地反映學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，避免了傳統(tǒng)的將各項(xiàng)分?jǐn)?shù)相加求和的不合理性做法，從而使教育管理者能更好的了解學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)，有效的實(shí)施教學(xué)管理。但仍在一定程度受主觀因素的影響，各項(xiàng)指標(biāo)權(quán)重的確定方式有待進(jìn)一步的改進(jìn)。模型二：成績標(biāo)準(zhǔn)化模型通過標(biāo)準(zhǔn)化過程，使學(xué)生成績呈正態(tài)分布，讓一些成績靠后的學(xué)生能進(jìn)入中間水平，同時各個學(xué)期的成績經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化之后具有了可加性，相加的最終結(jié)果能正確的反映學(xué)生的整體水平，而不是在絕對分?jǐn)?shù)中只靠幾次突出的成績就能提高得到好的名次，從而更加公平、合理。但正態(tài)化的方法還要進(jìn)一步探討，從而讓結(jié)果能有更好的正態(tài)性。問題二中，采用描述統(tǒng)計(jì)的方法對學(xué)生成績的總體分布分析時，發(fā)現(xiàn)成績分布接近正態(tài)分布，并且進(jìn)行了正態(tài)分布檢驗(yàn)。分析結(jié)果表明該分布滿足正態(tài)分布的特點(diǎn)，確定為正態(tài)態(tài)分布，并且對學(xué)生成績做出合理性做了定性分析。且較為簡單、直觀。處理方便。但并不很吻合?？梢赃M(jìn)一步的對其進(jìn)行正態(tài)劃分，更為具體的體現(xiàn)學(xué)生成績的科學(xué)分布。對考試結(jié)