2021-2022學(xué)年江蘇省淮安市洪澤區(qū)、金湖縣九年級第一學(xué)期期

末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）

1.已知一組數(shù)據(jù)：49,50,54,50,55,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）

A.49B.50C.54D.55

2.一個布袋里放有3個紅球和2個白球，它們除顏色外其余都相同.從布袋中任意摸1個

球，摸到紅球的概率是（）

3.若方程g2+標-3=2d是關(guān)于x的一元二次方程，則相的取值范圍是（）

A.m>0B.C.m^2D.-2

4.若a為方程爐+2芯-4=0的解，則層+2。-8的值為（）

A.2B.4C.-4D.-12

5.如圖所示，在7X5的網(wǎng)格中，A、B、D、O均在格點上，則點。是△AB。的（）

A.外心B.重心C.中心D.內(nèi)心

6.如圖，是OO的直徑，C。是OO的弦.ZCAB=50°,則/。=（）度.

7.已知二次函數(shù)y=（a-1）x2,當x<0時，y隨x增大而減小，則實數(shù)a的取值范圍是

（）

A.a>0B.a<lC.aWlD.a>l

8.根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程d+px+qn。，可列表如下：

x0.511.11.21.31.4

j^+px+q-2.75-1-0.59-0.160.290.76

則方程尤2+px+q=0的正數(shù)解滿足（）

A.解的整數(shù)部分是1,十分位是1

B.解的整數(shù)部分是1,十分位是2

C.解的整數(shù)部分是1,十分位是3

D.解的整數(shù)部分是1,十分位是4

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

9.若尤1,X2是方程N+2x-3=0的兩根，則X1+X2=.

10.如圖，在OO內(nèi)接四邊形ABC。中，若NBCO=55°,則°.

2

11.計算一組數(shù)據(jù)的方差時，小明列了一個算式：隆=][（X1-3）+（X2-3）2+…+（x8

O

-3）2],則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是.

12.小麗參加了某電視臺的招聘考試，她在采訪寫作、計算機操作、創(chuàng)意設(shè)計這三種測試中

的成績分別是86分、75分、90分，如果這三種成績按5：2：3計算，那么小麗的最終

得分為分.

13.將拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得拋物線的函數(shù)

表達式是.

14.勞動教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場，該農(nóng)場一種作物的

產(chǎn)量兩年內(nèi)從300千克增加到507千克.設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x,則可列方程

為.

15.如圖是一座截面為拋物線的拱形橋，當拱頂離水面3米高時，水面寬/為6米，則當水

面下降3米時，水面寬度為米.（結(jié)果保留根號）

16.如圖(1),ZVIBC和△A8C是兩個腰長不相等的等腰直角三角形，其中，ZA=ZA'

=90°.點8、C、B、C都在直線/上，ZXABC固定不動，將△A8C在直線/上自左向

右平移，開始時，點C與點2重合，當點8移動到與點C重合時停止.設(shè)△AEC移動

的距離為x,兩個三角形重疊部分的面積為》y與龍之間的函數(shù)關(guān)系如圖(2)所示，則

BC的長是.

三、解答題(本題共11小題，共102分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟)

17.解方程：

(1)x2-4x-45=0；

(2)5x(x+3)=3(x+3).

18.已知x=l時，二次三項式2%2-3〃忒+4的值等于3.

(1)求7"的值；

(2)是否存在x的值，使得這個二次三項式的值為-1?說明理由.

19.九(1)班準備從甲、乙兩名男生中選派一名參加學(xué)校組織的一分鐘仰臥起坐比賽，在

相同的條件下，分別對兩名男生進行了七次一分鐘仰臥起坐測試.并對數(shù)據(jù)進行收集、

整理：

甲乙兩人得分表

序號1234567

甲(個分25353638404646

鐘)

乙（個分30333740404244

鐘）

下面給出兩人測試成績的統(tǒng)計圖表.

甲乙兩人得分統(tǒng)計表

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

甲a3846

乙38b40

解答下列問題：

（1）a=,b=；

⑵從方差的角度看，的成績較穩(wěn)定（填“甲”或“乙”）；

（3）甲、乙都認為自己的成績更好些，請直接結(jié)合統(tǒng)計圖表中的信息分別寫出他們的理

由.

甲乙兩人得分折線統(tǒng)計圖

20.將4張分別寫有數(shù)字1、2、3、4的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在盒子

中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片，求

下列事件發(fā)生的概率.

（1）取出的1張卡片數(shù)字恰為2的倍數(shù)的概率是；

（2）取出的2張卡片中，至少有1張卡片的數(shù)字為“1”.（請用“畫樹狀圖”或“列

表”等方法寫出分析過程）

21.張大伯家有一塊長8米，寬6米的矩形菜地，現(xiàn)在將這塊菜地長和寬都拓寬x米（如圖

所示），如果要使拓寬后的矩形菜地的面積是原面積的冷，那么x應(yīng)該為多少？

X

22.如圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2）,制作這種外包裝需要用如圖

3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC,將扇形E4歹圍成圓錐時，AE、AF恰

好重合，已知這種加工材料的頂角/BAC=90°.

（1）求圖2中圓錐底面圓直徑與母線AD長的比值；

（2）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積.（結(jié)

果保留TT）

23.如圖是函數(shù)yi=-x?+4的部分圖象.

（1）請補全函數(shù)圖象；

（2）在右圖的直角坐標系中直接畫出刃=2彳+1的圖象，然后根據(jù)圖象回答下列問題:

①當x滿足時，yi=y2,當x滿足時，以＞”；

②當x的取值范圍為時，兩個函數(shù)中的函數(shù)值都隨x的增大而增大？

24.如圖，四邊形。4EC是平行四邊形，以。為圓心，0C為半徑的圓交CE于￡>,延長

C。交。。于B,連接A。、AB,AB是的切線.

(1)求證：是。。的切線.

(2)若。。的半徑為4,AB=8,求平行四邊形OAEC的面積.

25.直播購物逐漸走進了人們的生活，某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行

直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件，通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品

售價每降低5元，日銷售量增加10件，若將每件商品售價定為x元，日銷售量設(shè)為y件.

(1)求y與x的函數(shù)表達式；

(2)當x為多少時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

26.蘇科版教材八年級下冊第94頁第19題，小明在學(xué)過圓之后，對該題進行重新探究，請

你和他一起完成問題探究.

【問題提出】如圖1,點E,尸分別在方形ABC。中的邊A。、上，且BE=CF,連接

BE、CF交于點、M,求證：BE±CF.請你先幫小明加以證明.

【問題探究】小明把原問題轉(zhuǎn)化為動點問題，如圖1,在邊長為6。"的正方形ABCD中，

點E從點A出發(fā)，沿邊AD向點D運動，同時，點廠從點2出發(fā)，沿邊助向點A運動，

它們的運動速度都是2cm/s,當點E運動到點。時，兩點同時停止運動，連接CF、BE

交于點設(shè)點E,尸運動時間為，秒.

(1)如圖1,在點瓦廠的運動過程中，點M也隨之運動，請直接寫出點M的運動路徑

長cm.

(2)如圖2,連接CE,在點E、E的運動過程中.

①試說明點D在ACME的外接圓。。上；

②若①中的。。與正方形的各邊共有6個交點，請直接寫出t的取值范圍.

27.如圖，二次函數(shù)y=-/+bx+c的圖象與x軸交于點A、8,與〉軸交于點C.已知8(3,

0),C(0,4),連接BC.

(1)b=,c=：

(2)點M為直線BC上方拋物線上一動點，當△MBC面積最大時，求點M的坐標；

(3)①點P在拋物線上，若△P4C是以AC為直角邊的直角三角形，求點P的橫坐標；

②在拋物線上是否存在一點Q,連接AC,使NQBA=2NACO,若存在，直接寫出點。

的橫坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

參考答案

一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）

1.已知一組數(shù)據(jù)：49,50,54,50,55,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）

A.49B.50C.54D.55

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義求解即可.

解：這組數(shù)據(jù)中50出現(xiàn)2次，次數(shù)最多，

所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是50,

故選：B.

2.一個布袋里放有3個紅球和2個白球，它們除顏色外其余都相同.從布袋中任意摸1個

球，摸到紅球的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

3355

【分析】根據(jù)概率公式，用白球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即可.

解：???從放有3個紅球和2個白球布袋中摸出一個球，共有5種等可能結(jié)果，其中摸出

的球是紅球的有3種結(jié)果，

從布袋中任意摸出1個球，摸到紅球的概率是!■.

5

故選：D.

3.若方程m/+4x-3=2/是關(guān)于尤的一元二次方程，則根的取值范圍是（）

A.m>QB.C.m#2D.mW-2

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的

整式方程.由定義求解即可.

解：；方程52+4%-3=2d是關(guān)于元的一元二次方程，

（m-2）x2+4x-3=0,

.*.m-2W0,

:?m手2,

故選：C.

4.若。為方程/+21-4=0的解，則次+2〃-8的值為（）

A.2B.4C.-4D.-12

【分析】將代入方程好+2%-4=0,求出層+2。=4,再代入所求代入式即可.

解：為方程/+2元-4=0的解，

?\〃2+2Q-4=0,

*+2〃=4,

-8=4-8=-4,

故選：C.

5.如圖所示，在7X5的網(wǎng)格中，A、B、D、。均在格點上，則點。是△A3。的()

?:。-

A.外心B.重心C.中心D.內(nèi)心

【分析】結(jié)合勾股定理求得。A,OB,0c的長，從而根據(jù)三角形外心的概念分析判斷.

解：連接。4,OB,OC,

由題意可得：OA=V12+22=V5-

OB=y]12+2J='后

OD=712+22=''底

：.OA=OB=OD,

...點。是△ABO的外接圓的圓心，即外心，

故選：A.

6.如圖，AB是OO的直徑，C。是OO的弦.ZCAB=50°,則NO=()度.

【分析】根據(jù)圓周角定理得出/ACB=90°,求出NB=90°-ZCAB=4Qa,再根據(jù)圓

周角定理得出即可.

解：???A3是。。的直徑,

ZACB=90°,

VZCAB=50°,

AZB=90°-ZCAB=40°,

???NO=N5=40°,

故選：B.

7.已知二次函數(shù)y=（4z-1）x2,當xVO時，y隨x增大而減小，則實數(shù)〃的取值范圍是

（）

A.a>0B.a<lC.D.a>\

【分析】根據(jù)當尤<0時，y隨X增大而減小可得拋物線開口方向，進而求解.

解：’.?當x<0時，y隨無增大而減小，

.??拋物線開口向上，

?二4-1>0,

故選：D.

8.根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0,可列表如下:

X0.511.11.21.31.4

x1+px+q-2.75-1-0.59-0.160.290.76

則方程N+px+q=O的正數(shù)解滿足（）

A.解的整數(shù)部分是1,十分位是1

B.解的整數(shù)部分是1,十分位是2

C.解的整數(shù)部分是1,十分位是3

D.解的整數(shù)部分是1,十分位是4

【分析】通過觀察表格可得/+px+q=。時，1.2<x<1.3,即可求解.

解：由表格可知，

當無=1.2時，x2+px+q<0,

當x=1.3時，x~+px+q>Q,

.,.x2+px+4=0時，1.2<x<1.3,

???解的整數(shù)部分是1,十分位是2,

故選：B.

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

9.若xi,尤2是方程爐+2尤-3=0的兩根，則為+尤2=-2.

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系為+無2=直接代入計算即可.

解：?.,制，入2是方程12+21-3=0的兩根，

.*.X1+X2--2；

故答案為：-2.

10.如圖，在。。內(nèi)接四邊形A8C0中，若NBCD=55°,則N0A3=125

B

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解：???四邊形A8CD是。。的內(nèi)接四邊形，

AZBCD+ZDAB=1SO°,

VZBCD=55°,

AZDAB=180°-ZBCD=125°,

故答案為：125.

11.計算一組數(shù)據(jù)的方差時，小明列了一個算式：群=][（X1-3）2+（X2-3）2+…+（班

8

-3）2],則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3.

【分析】根據(jù)方差的計算公式即可得出答案.

22

解：VS=—[（xi-3）2+（尤2-3）2+…+（%8-3）],

8

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3,

故答案為：3.

12.小麗參加了某電視臺的招聘考試，她在采訪寫作、計算機操作、創(chuàng)意設(shè)計這三種測試中

的成績分別是86分、75分、90分，如果這三種成績按5：2：3計算，那么小麗的最終

得分為85分.

【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義列式計算即可.

解：小麗的最終得分為86X5+15j?+90X3=85(分)，

5+2+3

故答案為：85.

13.將拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得拋物線的函數(shù)

表達式是y=(x-2)2+1.

【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進行解答即可.

解：將拋物線y=/向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得拋物線的函

數(shù)表達式是y=(x-2)2+1,

故答案為：尸(x-2)2+1,

14.勞動教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場，該農(nóng)場一種作物的

產(chǎn)量兩年內(nèi)從300千克增加到507千克.設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x,則可列方程為

300(1+x)2=507.

【分析】根據(jù)兩年內(nèi)從300千克增加到507千克，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此

題得解.

解：平均每年增產(chǎn)的百分率為X,

根據(jù)題意得，300(1+x)2=507,

故答案為：300(1+x)2=507.

15.如圖是一座截面為拋物線的拱形橋，當拱頂離水面3米高時，水面寬/為6米，則當水

面下降3米時，水面寬度為」米.(結(jié)果保留根號)

【分析】建立平面直角坐標系，根據(jù)題意設(shè)出拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法求出解

析式，根據(jù)題意計算可得結(jié)果.

解：建立平面直角坐標系如圖所示：

則拋物線頂點的坐標為（0,3）,

設(shè)拋物線的解析式為>=加+3,

將A點坐標（-3,0）代入，

可得：0=9a+3,

解得：a=-X

O

故拋物線的解析式為尸-宗+3,

將尸-3代入拋物線解析式得出：-3=-字2+3,

解得：％=±3F，

所以水面寬度為6y米，

故答案為：6近.

16.如圖（1）,△ABC和△A8C是兩個腰長不相等的等腰直角三角形，其中，ZA=ZA'

=90°.點笈、C\B、C都在直線/上，ZVIBC固定不動，將△ABC1在直線/上自左向

右平移，開始時，點C與點8重合，當點F移動到與點C重合時停止.設(shè)△AFC移動

的距離為x,兩個三角形重疊部分的面積為y,y與％之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，則

BC的長是6.

【分析】在點夕到達B之前，重疊部分的面積在增大，當點9到達B點以后，且點C

到達C以前，重疊部分的面積不變，之后在⑶到達C之前，重疊部分的面積開始變小，

由此可得出B'C的長度為a,BC的長度為4+4.

解：如圖，運動過程中，重疊部分的圖形均為等腰直角三角形，當aWxWa+4時面積不

變，都是SAAEC'的值，

由題中的函數(shù)圖象知，SAA'B'C-1.當SAAEE恰為1時(如圖2).

設(shè)2'C'=a,則S/kA，C，=2'XaX"2"=4^a2=^

.,.a=2,

由題意，BC=B'C+4=6,

.?.2C的長為6.

故答案為：6.

三、解答題(本題共11小題，共102分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟)

17.解方程：

(1)x2-4x-45=0；

(2)5x(x+3)=3(x+3).

【分析】(1)用十字相乘法解一元二次方程即可；

(2)用提取公因式法，結(jié)合整體思想解一元二次方程即可.

解：(1)x2-4x-45=0,

(x-9)(x+5)=0

；.xi=9,xi=-5；

(2)5x(x+3)=3(x+3),

5x(尤+3)-3(x+3)=0,

(5x-3)(x+3)=0,

?3-Q

??xi下，X2=-3.

18.已知x=l時，二次三項式2x2-3?u+4的值等于3.

(1)求機的值；

(2)是否存在尤的值，使得這個二次三項式的值為-1?說明理由.

【分析】(1)由題意列出關(guān)于，”的等式，解關(guān)于，"的方程即可得出結(jié)論；

(2)利用反證法解答即可.

解：(1)：x=l時，二次三頂式2x2-3mx+4的值等于3,

.*.2X1-3根+4=3,

解得：〃z=l.

（2）不存在，理由：

假設(shè)這個二次三項式的值為-1,

即2爐-3x+4=-1,

整理得：2/-3x+5=0,

,這里。=2,b=-3,c=4,

：.A=b2-4ac=（-3）2-4X2X5=-31<0,

此方程無解，

不存在x的值，使得這個二次三項式的值為-L

19.九（1）班準備從甲、乙兩名男生中選派一名參加學(xué)校組織的一分鐘仰臥起坐比賽，在

相同的條件下，分別對兩名男生進行了七次一分鐘仰臥起坐測試.并對數(shù)據(jù)進行收集、

整理：

甲乙兩人得分表

序號1234567

甲（個分25353638404646

鐘）

乙（個分30333740404244

鐘）

下面給出兩人測試成績的統(tǒng)計圖表.

甲乙兩人得分統(tǒng)計表

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

甲a3846

乙38b40

解答下列問題:

（1）a=38,b=40；

（2）從方差的角度看，乙的成績較穩(wěn)定（填“甲”或“乙”）；

（3）甲、乙都認為自己的成績更好些，請直接結(jié)合統(tǒng)計圖表中的信息分別寫出他們的理

由.

甲乙兩人得分折線統(tǒng)計圖

【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義即可求解；

(2)答案不唯一，可從平均數(shù)，方差，中位數(shù)等方面，寫出理由；

(2)根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，方差的意義可得答案.

解：⑴由題意可得，°=25+35+36+；+40+46+46=38,

將乙的成績按從小到大的順序排列后，最中間的一個數(shù)是40,所以中位數(shù)6=40.

故答案為：38,40；

(2)乙.理由如下：

由甲、乙兩人得分的大小波動情況，直觀可得S甲2>s乙2,

所以乙的成績較穩(wěn)定.

故答案為：乙；

(3)甲的成績更好些，理由為：甲得分的眾數(shù)比乙的高；

或乙的成績更好些，理由為：乙得分的中位數(shù)比甲的高.

20.將4張分別寫有數(shù)字1、2、3、4的卡片(卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同)放在盒子

中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片，求

下列事件發(fā)生的概率.

(1)取出的1張卡片數(shù)字恰為2的倍數(shù)的概率是4；

一2一

(2)取出的2張卡片中，至少有1張卡片的數(shù)字為“1”.(請用“畫樹狀圖”或“列

表”等方法寫出分析過程)

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)列表得出共有16種等可能的結(jié)果，至少有1張卡片的數(shù)字為“1”的結(jié)果有7種，

再由概率公式求解即可.

解：（1）取出的1張卡片數(shù)字恰為2的倍數(shù)的概率是3=2,

42

故答案為：

（2）到表如下:

1234

11,11,21,31,4

22,12,22,32,4

33,13,23,33,4

44,14,24,34,4

共有16種等可能的結(jié)果，至少有1張卡片的數(shù)字為“1”的結(jié)果有7種,

:.P（至少有1張卡片的數(shù)字為“1"）=￡.

16

21.張大伯家有一塊長8米，寬6米的矩形菜地，現(xiàn)在將這塊菜地長和寬都拓寬x米（如圖

所示），如果要使拓寬后的矩形菜地的面積是原面積的"I,那么尤應(yīng)該為多少？

【分析】根據(jù)使拓寬后的矩形菜地的面積是原面積的當列方程即可得到結(jié)論.

解:由題意得（8+x）（6+x）=8X6乂下，

整理得：尤2+14X-32=0,

解想：尤1=2,X2=-16（舍去），

答：x應(yīng)該為2.

22.如圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2）,制作這種外包裝需要用如圖

3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC,將扇形胡尸圍成圓錐時，AE、AF恰

好重合，已知這種加工材料的頂角/BAC=90°.

（1）求圖2中圓錐底面圓直徑EO與母線長的比值；

（2）若圓錐底面圓的直徑為5/1,求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積.（結(jié)

果保留ir)

【分析】(1)由于圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇

形的半徑等于圓錐的母線長，則利用弧長公式得到B山￡=9°;：；他,從而求出即：

180

AD即可；

(2)先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=2AD=2Qcm,再利用扇形的面積公式，利

用S陰影部分=SAABC-S扇形創(chuàng)F進彳亍計算.

解：(1)根據(jù)題意得TTDE=90'二:皿,

180

：.DE=—AD,

2

ED與母線AD長的比值為去

(2)VZBAC=9Q°,AB=AC,AD±BC,

而AD=2DE=10cm,

BC—2AD—20cm,

?'?S陰影部分=8/\43。-S扇形E4/

=1X1OX2O_90XJT>￡1￡

2360

=(100-25n)cm2.

答：加工材料剩余部分的面積為(100-25H)cm2.

23.如圖是函數(shù)力=-x2+4的部分圖象.

(1)請補全函數(shù)圖象；

(2)在右圖的直角坐標系中直接畫出>2=2x+l的圖象，然后根據(jù)圖象回答下列問題:

①當x滿足尤=-3或尤=1時,y\=yi,當x滿足-3<x<l時,力>”；

②當x的取值范圍為x<0時，兩個函數(shù)中的函數(shù)值都隨尤的增大而增大？

【分析】(1)根據(jù)拋物線解析式及拋物線的對稱性作圖.

(2)①求出直線與拋物線的交點坐標，從而求解.②分別求出一次函數(shù)與二次函數(shù)》隨

x增大而增大的x的取值范圍，進而求解.

解：(1)：yi=-x2+4,

拋物線開口向下，對稱軸為y軸，頂點坐標為(0,4),

根據(jù)拋物線的對稱性作圖如下，

(2)①如圖,

令2x+l=-x2+4,

解得m=-3,X2=l,

當-3<x<l時，拋物線在直線上方，

故答案為：苫=-3或無=1；-3<%<1.

②'.,>2=2了+1,

隨x增大而增大，

*/yi=-N+4,

...x<0時，y隨尤增大而增大.

故答案為：x<0.

24.如圖，四邊形OAEC是平行四邊形，以。為圓心，OC為半徑的圓交CE于。，延長

CO交于B,連接AD、AB,是。。的切線.

(1)求證：4。是OO的切線.

(2)若。。的半徑為4,AB=8,求平行四邊形OAEC的面積.

【分析】(1)要證明是。。的切線，只要求出/OZM=90°即可，所以只要證明△

AOB^AAOD即可解答；

(2)根據(jù)已知可求出△AB。的面積，從而求出△AOO的面積，最后利用平行四邊形OAEC

的面積=2S/\AOD即可解答.

【解答】(1)證明：連接

TAB與。。相切于點3,

???NO8A=90°,

???四邊形OAEC是平行四邊形，

J.AO//EC,

：.ZAOD=ZODC,ZAOB=ZOCD,

?「OD^OC,

：.ZODC=ZOCD,

：.ZAOB=ZAOD,

又???O4=O4,OD=OB,

：.AAOB^AAOD(SAS),

：.ZOBA=ZODAf

：.ZODA^9Q°,

TO。是。。的半徑，

???AO為。。的切線；

(2)角軍：???03=4,AB=Sf

：.S?ABO=—AB-OB=—X4XS=16,

22

,?AAOB^AAOD,

??S/\AOD=16，

，平行四邊形OAEC的面積=2SAAOD=32.

25.直播購物逐漸走進了人們的生活，某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行

直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件，通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品

售價每降低5元，日銷售量增加10件，若將每件商品售價定為x元，日銷售量設(shè)為y件.

(1)求y與x的函數(shù)表達式；

(2)當尤為多少時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

【分析】(1)根據(jù)日利潤=每件利潤X日銷售量，可求出售價為60元時的原利潤，設(shè)

售價應(yīng)定為x元，則每件的利潤為(x-40)元，日銷售量為20+辿警1=140-2x；

5

(2)把二次函數(shù)關(guān)系式整理為頂點式可得答案.

解：(1)y=20+W3Q二」)=140-2x,

5

所以y與x的函數(shù)表達式為y=-2x+140；

(2)設(shè)每個月的銷售利前為w元.

依題意得：w=(x-40)(140-2x),

整理得：w=-2N+220尤-5600,

化成頂點式得w=-2(x-55)2+450,

當尤為55時.每天的銷售利潤最大，最大利潤是450元.

26.蘇科版教材八年級下冊第94頁第19題，小明在學(xué)過圓之后，對該題進行重新探究，請

你和他一起完成問題探究.

【問題提出】如圖1,點E,尸分別在方形ABCO中的邊A。、AB±,且BE=CF,連接

BE、C尸交于點求證：請你先幫小明力口以證明.

【問題探究】小明把原問題轉(zhuǎn)化為動點問題，如圖1,在邊長為6c7〃的正方形ABCC中，

點￡從點A出發(fā)，沿邊AD向點。運動，同時，點廠從點2出發(fā)，沿邊54向點A運動，

它們的運動速度都是2e"/s,當點E運動到點。時，兩點同時停止運動，連接CRBE

交于點設(shè)點E,尸運動時間為/秒.

(1)如圖1,在點E、尸的運動過程中，點M也隨之運動，請直接寫出點M的運動路徑

3

長一ncm.

-2-

(2)如圖2,連接CE,在點E、P的運動過程中.

①試說明點D在ACME的外接圓OO上；

②若①中的。。與正方形的各邊共有6個交點，請直接寫出/的取值范圍.

【分析】【問題提出】利用HL證明AABE絲△BCF,得/ABE=/BCF,從而證明結(jié)論；

【問題探究】（1）由【問題提出】知，ZCMB=90°,則點M在以CB為直徑的圓上，

找到起點和終點時點M的位置，從而解決問題；

（2）①由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知OM=OC=OE=OD,則點

C、M,E在同一個圓（。0）上；

②當0。與相切時，。。與正方形的各邊共有5個交點，如圖5,則有6個交點，所

以“當OO與AB相切時”是臨界情況，當OO與AB相切（切點為G）,連接OG,并

延長GO交CD于點H,則CH=3,設(shè)。。的半徑為R.由題意得：在Rt^CHO中，32+

（6-7?）2=R2,則CE喑，DE=7CE2-DC2=|--可知AE>|，從而解決問題.

【解答】【問題提出】證明：???4BC。是正方形，

：.AB=BC,ZA=ZABC=90°,

在Rt^ABE與中，AB=BC,BE=CF,

：.（H￡）,

ZABE=ZBCF,

VZABE+ZCBM=90°,

ZBCF+ZCBM=90°,

：.ZCMB=90°,

.\BE±CF；

【問題探究】解：（1）由【問題提出】知，/CMB=90。，

.?.點M在以CB為直徑的圓上，

當7=0時，點M與點B重合；如圖2,

圖2

當t=3時，點M為正方形對角線的交點.點M的運動路徑為二圓，其路徑長

iq

亍義6兀=高兀，

42

故答案為:7T;

圖3

由【問題提出】可知：/CME=90°,

/.ACME的外接圓的圓心0是斜邊CE的中點，

貝i」OJI=OC=OEqCE，

在RtzXCDE中，ZD=90°,。是CE的中點，

???OD=yCE）

：.OM=OC=OE=OD,

.?.點。、C、M,E在同一個圓（OO）上，

即點D在ACME的外接圓。。上；

②如圖4,當。。與相切時，。。與正方形的各邊共有5個交點,

圖4

如圖5,則有6個交點，所以''當OO與AB相切時”是臨界情況,

當。。與AB相切(切點為G),連接OG,并延長GO交C。于點”，

與相切，

Z.OG±AB,

又二AB“CD,

：.OH±CD,

；?CH=1-DC=3>

設(shè)。。的半徑為R.由題意得：

在RtZXCHO中，32+(6-7?)2=R2,

解得R4，

?'?CE端?，DE=7cE2-DC2=y>

AE今

即奇

如圖5,當0<t<3時，與正方形的各邊共有6個交點.

4

27.如圖，二次函數(shù)y=-T+bx+c的圖象與x軸交于點A、B,與y軸交于點C.已知8(3,

0),C(0,4),連接BC.

5

(1)b=三，c=4；

-3-

(2)點M為直線2C上方拋物線上一動點，當面積最大時，求點M的坐標；

(3)①點P在拋物線上，若△P4C是以AC為直角邊的直角三角形，求點P的橫坐標；

②在拋物線上是否存在一點Q,連接AC,使NQBA=2NACO,若存在，直接寫出點。

的橫坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

【分析】（1）將3（3,0）,C（0,4）代入y=-d+^x+c,即可求解;

-1^-3)2+紅,

(2)設(shè)M(m,m乙+-m+4)，由SdCBM=SACOM+SABOM-SACOB

o228

即可求解;

（3）①設(shè)P（x,-X2+|"X+4），分兩種情況討論：當/CAP=90°時，過點A作DE〃y

0

4.

軸，分別過點C、尸作于點D,PELDE于點、E,由△DCAS^EAP,可求勺二肯

O

（舍去）或Xs，/^；當/ACP=90°時，過點C作。E〃x軸，分別過點A、尸作

OE于點。、PE_LDE于點、E,由△AOCs/^c",可求為=0（舍去）或乃=2；

②作NOEA=2NACO交y軸于點E,分兩種情況討論：I.作NQ8O=2NACO交y軸

于點。，交拋物線于點Q,設(shè)0E=x,則A^=CE=4-x,在Rt^AOE中，由勾股定理

求出X喏’再由△皿求出D（。，再求皿的解析式為尸一14,

y

聯(lián)立方程組4

，可解得為=3（舍去）或*9=-77；II.作點。關(guān)于x軸

y=~x2-+^-x+4412

對稱的點Di,且作射線BDi交拋物線于點Qi,求得Di（0,-g）,BDi的解析式為y