§9.3圓方程[考綱要求]

1.掌握確定圓幾何要素.2.掌握圓標準方程與普通方程．1/461．圓定義在平面內(nèi)，到_____距離等于_____點______叫圓．2．確定一個圓最基本要素是_____和______．3．圓標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中______為圓心，__為半徑．定長定點集合圓心半徑(a，b)r2/465．確定圓方程方法和步驟確定圓方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為(1)依據(jù)題意，選擇標準方程或普通方程；(2)依據(jù)條件列出關于a，b，r或D，E，F(xiàn)方程組；(3)解出a，b，r或D，E，F(xiàn)代入標準方程或普通方程．3/466．點與圓位置關系點和圓位置關系有三種．圓標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)(1)點在圓上：______________________；(2)點在圓外：______________________；(3)點在圓內(nèi)：_______________________．(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2>r2(x0－a)2＋(y0－b)2<r24/46【思索辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)確定圓幾何要素是圓心與半徑．(

)(2)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑圓方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(

)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

)5/46【答案】

(1)√

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

(6)√6/461．(教材改編)x2＋y2－4x＋6y＝0圓心坐標是(

)A．(2，3)

B．(－2，3)C．(－2，－3)D．(2，－3)【答案】

D7/46【答案】

D8/463．(·北京)圓心為(1，1)且過原點圓方程是

(

)A．(x－1)2＋(y－1)2＝1

B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2【答案】

D9/464．(教材改編)圓C在圓心在x軸上，而且過點A(－1，1)和B(1，3)，則圓C方程為________．【解析】

設圓心坐標為C(a，0)，∵點A(－1，1)和B(1，3)在圓C上，∴|CA|＝|CB|，10/46【答案】

(x－2)2＋y2＝1011/465．(·湖北)如圖，已知圓C與x軸相切于點T(1，0)，與y軸正半軸交于兩點A，B(B在A上方)，且|AB|＝2.(1)圓C標準方程為____________________________；(2)圓C在點B處切線在x軸上截距為________．12/4613/4614/4615/4616/46(2)依據(jù)以下條件，求圓方程．①經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點，而且在x軸上截得弦長等于6；②圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)．17/4618/46由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0.故所求圓方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.②方法一

如圖，設圓心(x0，－4x0)，19/4620/46【方法規(guī)律】

(1)直接法：依據(jù)圓幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r相關，則設圓標準方程依據(jù)已知條件列出關于a，b，r方程組，從而求出a，b，r值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓普通方程，依據(jù)已知條件列出關于D、E、F方程組，進而求出D、E、F值．21/4622/46【答案】

(1)D

(2)(x－2)2＋y2＝923/4624/4625/4626/46命題點2截距型最值問題【例3】

在例2條件下，求y－x最小值和最大值．27/46命題點3距離型最值問題【例4】

在例2條件下，求x2＋y2最大值和最小值．28/46【方法規(guī)律】

與圓相關最值問題常見類型及解題策略(1)與圓相關長度或距離最值問題解法．普通依據(jù)長度或距離幾何意義，利用圓幾何性質數(shù)形結合求解．29/46跟蹤訓練2(1)(·重慶四校模擬)設P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上動點，Q是直線x＝－3上動點，則|PQ|最小值為(

)A．6

B．4C．3D．2【解析】

|PQ|最小值為圓心到直線距離減去半徑．因為圓圓心為(3，－1)，半徑為2，所以|PQ|最小值d＝3－(－3)－2＝4.【答案】

B30/4631/4632/4633/4634/46題型三與圓相關軌跡問題【例5】

設定點M(－3，4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P軌跡．【解析】

如圖所表示，設P(x，y)，N(x0，y0)，35/4636/4637/46【方法規(guī)律】

求與圓相關軌跡問題時，依據(jù)題設條件不一樣常采取以下方法：①直接法：直接依據(jù)題目提供條件列出方程．②定義法：依據(jù)圓、直線等定義列方程．③幾何法：利用圓幾何性質列方程．④代入法：找到要求點與已知點關系，代入已知點滿足關系式等．38/46跟蹤訓練3

已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2，0)，B(1，1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上動點．(1)求線段AP中點軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點軌跡方程．【解析】

(1)設AP中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x－2，2y)．因為P點在圓x2＋y2＝4上，39/46所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故線段AP中點軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設PQ中點為N(x，y)，連接BN.在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設O為坐標原點，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.40/46思想與方法系列18利用幾何性質巧設方程求半徑【典例】

在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸交點都在圓C上，求圓C方程．【思維點撥】

本題可采取兩種方法解答，即代數(shù)法和幾何法．【規(guī)范解答】

普通解法

(代數(shù)法)曲線y＝x2－6x＋1與y軸交點為(0，1)，41/4642/4643/46【溫馨提醒】(1)普通解法(代數(shù)法)：能夠求出曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸三個交點，設圓方程為普通式，代入點坐標求解析式．(2)巧妙解法(幾何法)：利用圓性質，知道圓心一定在圓上兩點連線垂直平分線上，從而設圓方程為標準式，簡化計算．顯然幾何法比代數(shù)法計算量小，所以平時訓練多采取幾何法解題.44/46?方