第三章

一階微分方程解存在定理5/7/2024常微分方程1/405/7/2024常微分方程2/40需處理問題5/7/2024常微分方程3/40§3.1解存在唯一性定理與逐步迫近法

5/7/2024常微分方程4/40一存在唯一性定理1定理1考慮初值問題5/7/2024常微分方程5/40(1)初值問題(3.1)解等價(jià)于積分方程連續(xù)解.證實(shí)思緒(2)結(jié)構(gòu)(3.5)近似解函數(shù)列5/7/2024常微分方程6/40(逐步求(3.5)解,逐步迫近法)5/7/2024常微分方程7/40這是為了即5/7/2024常微分方程8/405/7/2024常微分方程9/40下面分五個(gè)命題來證實(shí)定理,為此先給出積分方程解假如一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式中含有定積分符號(hào)且在定積分符號(hào)下含有未知函數(shù),則稱這么關(guān)系式為積分方程.積分方程5/7/2024常微分方程10/40命題1初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程證實(shí):即5/7/2024常微分方程11/40反之故對(duì)上式兩邊求導(dǎo),得且5/7/2024常微分方程12/40結(jié)構(gòu)Picard逐步迫近函數(shù)列問題:這么結(jié)構(gòu)函數(shù)列是否行得通,即上述積分是否有意義?注5/7/2024常微分方程13/40命題2證實(shí):(用數(shù)學(xué)歸納法)5/7/2024常微分方程14/405/7/2024常微分方程15/40命題3證實(shí):考慮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)它前n項(xiàng)部分和為5/7/2024常微分方程16/40對(duì)級(jí)數(shù)(3.9)通項(xiàng)進(jìn)行預(yù)計(jì)5/7/2024常微分方程17/405/7/2024常微分方程18/40于是由數(shù)學(xué)歸納法得知,對(duì)全部正整數(shù)n,有5/7/2024常微分方程19/40現(xiàn)設(shè)命題4證實(shí):5/7/2024常微分方程20/40即5/7/2024常微分方程21/40命題5證實(shí):由5/7/2024常微分方程22/405/7/2024常微分方程23/40綜合命題1—5得到存在唯一性定理證實(shí).5/7/2024常微分方程24/40一存在唯一性定理1定理1考慮初值問題5/7/2024常微分方程25/40命題1初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程結(jié)構(gòu)Picard逐步迫近函數(shù)列命題25/7/2024常微分方程26/40命題3命題4命題55/7/2024常微分方程27/402存在唯一性定理說明5/7/2024常微分方程28/405/7/2024常微分方程29/405/7/2024常微分方程30/405/7/2024常微分方程31/403一階隱方程解存在唯一性定理定理2考慮一階隱方程則方程(3.5)存在唯一解滿足初始條件5/7/2024常微分方程32/40三近似計(jì)算和誤差預(yù)計(jì)求方程近似解方法---Picard逐步迫近法,這里5/7/2024常微分方程33/40注:上式可用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)則5/7/2024常微分方程34/40例1討論初值問題解存在唯一區(qū)間,并求在此區(qū)間上與真正解誤差不超解因?yàn)橛?3.19)5/7/2024常微分方程35/405/7/2024常微分方程36/40例2求初值問題解存在唯一區(qū)間.解5/7/2024常微分方程37/40例3利用Picard迭代法求初值問題解.解與初值問題等價(jià)積分方程為5/7/2024常微分方程38/40其